中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：方程与不等式（含答案）

这是一份中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：方程与不等式（含答案），共14页。试卷主要包含了，下列说法等内容，欢迎下载使用。
1．（兰州）关于x的一元一次不等式3x≤4+x的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
3．（黔西南州）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．＝3
4．（北碚区校级模拟）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+5＝0没有实数根，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．（西宁）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
6．（绵阳）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
7．（淮安）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
8．（攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（思茅区校级模拟）若关于x的方程的解为正数，关于x的不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜ B．﹣3≤a＜且a≠
C．﹣3＜a＜且a≠ D．﹣≤a≤3且a≠﹣
10．（思明区校级二模）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：方程与不等式（10题）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（兰州）关于x的一元一次不等式3x≤4+x的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
【专题】计算题；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．
【解答】解：3x≤4+x，
3x﹣x≤4，
2x≤4，
x≤2．

故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式解题步骤，移项、合并同类项、把x系数化为1是解题关键．
2．（阿坝州）已知关于x的分式方程＝3的解是x＝3，则m的值为（ ）
A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】把x＝3代入分式方程求得m的值即可．
【解答】解：把x＝3代入分式方程＝3，得，
整理得6+m＝3，
解得m＝﹣3．
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式方程的解，将分式方程的解代入方程中求未知数即可，比较简单．
3．（黔西南州）高铁为居民出行提供了便利，从铁路沿线相距360km的甲地到乙地，乘坐高铁列车比乘坐普通列车少用3h．已知高铁列车的平均速度是普通列车平均速度的3倍，设普通列车的平均速度为xkm/h，依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．＝3
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用；应用意识．
【分析】设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3x千米/时，根据乘坐高铁比乘坐普通列车少用3h，列出分式方程即可．
【解答】解：设普通列车的平均速度为xkm/h，则高铁的平均速度是3xkm/h，
根据题意得：﹣＝3．
故选：B．
【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程．
4．（北碚区校级模拟）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+5＝0没有实数根，则符合条件的整数a的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【考点】根的判别式；一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元二次方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式组有且仅有4个整数解，确定出a的范围，再由一元二次方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的具体范围，进而确定出整数a的值即可．
【解答】解：不等式组整理得：，
解得：﹣3≤x＜a，
∵不等式组有且仅有4个整数解，即整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，
∴0＜a≤1，
解得：0＜a≤6，
∵关于x的一元二次方程x2﹣（2a+1）x+a2+5＝0没有实数根，
∴Δ＝（2a+1）2﹣4（a2+5）＜0，
整理得：4a＜19，
解得：a＜，
综上所述，a的范围是0＜a＜，
则整数a的值为1，2，3，4，共4个．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元一次不等式组的整数解，根的判别式大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．
5．（西宁）某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是（ ）
A．6.5（1﹣x）2＝5.265 B．6.5（1+x）2＝5.265
C．5.265（1﹣x）2＝6.5 D．5.265（1+x）2＝6.5
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【分析】首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．
【解答】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，
则2019年的用水量为6.5（1﹣x），
2020年的用水量为6.5（1﹣x）2，
故选：A．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．（绵阳）关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，若x2＝2x1，则4b﹣9ac的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣，由x2＝2x1得出3x1＝﹣，即x1＝﹣，可解出x2，由两根之积可得9ac＝2b2，代入代数式即可得到4b﹣9ac＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，从而求得4b﹣9ac的最大值是2．
【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根x1、x2，
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，
∵x2＝2x1，
∴3x1＝﹣，即x1＝﹣，
∴x2＝﹣，
∴＝，
∴9ac＝2b2，
∴4b﹣9ac＝4b﹣9a•＝4b﹣2b2＝﹣2（b﹣1）2+2，
∵﹣2＜0，
∴4b﹣9ac的最大值是2，
故选：D．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，由x1+x2＝﹣，x2＝2x1，得出x1＝﹣，代入方程得到9ac＝2b2是解决问题的关键．
7．（淮安）《九章算术》是古代中国第一部自成体系的数学专著，其中《卷第八方程》记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱．问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x、y的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【分析】根据“甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱”，列出二元一次方程组解答即可．
【解答】解：设甲、乙的持钱数分别为x，y，
根据题意可得：，
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的A、B两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；推理能力；应用意识．
【分析】设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，由题意：A种笔记本的数量不多于B种笔记本数量的3倍，不少于B种笔记本数量的2倍，列出不等式组，解不等式组，取正整数解即可．
【解答】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为（50﹣x）本，
由题意得：，
解得：33≤x≤37，
∵x为正整数，
∴x的取值为34，、35、36、37，
则不同的购买方案种数为4种，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．
9．（思茅区校级模拟）若关于x的方程的解为正数，关于x的不等式组有解，则a的取值范围是（ ）
A．﹣3≤a＜ B．﹣3≤a＜且a≠
C．﹣3＜a＜且a≠ D．﹣≤a≤3且a≠﹣
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【分析】先根据关于x的方程的解为正数，得到a的取值范围，再根据关于x的不等式组有解，得到a的取值范围，两者联立即可求解．
【解答】解：，
方程两边都乘以（x﹣3）得，
x+a﹣3a＝3（x﹣3），
去括号得，x﹣2a＝3x﹣9，
移项合并同类项得，2x＝9﹣2a，
系数化为1得x＝，
∵关于x的方程的解为正数，
∴＞0且≠3，
解得a＜且a≠，
解不等式得，
∵关于x的不等式组有解，
∴a+6≥3，
解得a≥﹣3，
故a的取值范围是﹣3≤a＜且a≠，
故选：B．
【点评】考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，一元一次不等式组解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
10．（思明区校级二模）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】根的判别式；等式的性质．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【分析】根据一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质解决此题．
【解答】解：①当x＝1时，a×12+b×1+c＝a+b+c＝0，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2﹣4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则﹣4ac＞0，那么b2﹣4ac＞0，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，得ac2+bc+c＝0．当c≠0，则ac+b+1＝0；当c＝0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④，由b2﹣4ac＝，得．由x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．
考点卡片
1．等式的性质
（1）等式的性质
性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
（2）利用等式的性质解方程
利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x＝a的形式转化．
应用时要注意把握两关：
①怎样变形；
②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的．
2．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
3．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
4．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．
5．由实际问题抽象出一元二次方程
在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
6．分式方程的解
求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
7．由实际问题抽象出分式方程
由实际问题抽象出分式方程的关键是分析题意找出相等关系．
（1）在确定相等关系时，一是要理解一些常用的数量关系和一些基本做法，如行程问题中的相遇问题和追击问题，最重要的是相遇的时间相等、追击的时间相等．
（2）列分式方程解应用题要多思、细想、深思，寻求多种解法思路．
8．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
9．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
10．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
11．一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
12．一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；
（5）作答．