宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷（一）(含答案)

这是一份宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷（一）(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、平行六面体中,,则( )
A.1B.C.D.
2、圆与圆的交点为A,B,则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.B.C.D.
3、已知直线和圆相交于M,N两点,当的面积最大时,( )
A.或B.或
C.或D.或
4、如图,某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为的球体,近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为( )
A.B.C.D.
5、双曲线,点A,B均在E上,若四边形OACB为平行四边形,且直线OC,AB的斜率之积为3,则双曲线E的渐近线的倾斜角为( )
A.B.或C.D.或
6、已知倾斜角为的直线与直线垂直,则( )
A.B.－C.D.－
7、若点P为椭圆上的点,、为其左右焦点,且,则的面积为( )
A.1B.C.D.2
8、在如图所示的结构对称的实验装置中,底面框架ABCD是边长为2的正方形,两等腰三角形框架ADE,BCF的腰长均为,框架ABCD所在的平面,,活动弹子M,N分别在EF,AC上移动,M,N之间用有弹性的细线连接,且始终成立,则当MN的长度取得最小值时,( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、方程表示的曲线中,可以是( )
A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线
10、下列结论中正确的是( )
A.若,分别为直线l,m的方向向量,则
B.若为直线的方向向量,为平面的法向量,则或
C.若,分别为两个不同平面,的法向量,则
D.若向量是平面的法向量,向量,,则
11、点A,B为圆上的两点,点P为直线上的一个动点,则下列说法正确的是( )
A.当时,且AB为圆的直径时,的面积最大值为3
B.从点P向圆M引两条切线,切点为A,B,线段的最小值为
C.A,B为圆M上的任意两点,在直线l上存在一点P,使得
D.当,时,的最大值为
12、已知抛物线C的焦点为,点M在C的准线上,过点M作两条均不垂直于x轴的直线,,使得,与抛物线C均只有一个公共点,分别为P,Q,则( )
A.抛物线C的方程为B.
C.直线PQ经过点FD.的面积为定值
三、填空题
13、已知点,,圆 ()上存在唯一的点,使,则实数a的值是___________.
14、已知直线与垂直,则__________.
15、如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,点P在线段上,点P到直线的距离的最小值为____________.
16、若点P是双曲线右支上的一点,点A是圆上的一点,点B是圆上的一点,则的最小值为_____________.
四、解答题
17、如图,在平行六面体中,以顶点A为端点的三条棱长都是1,且它们彼此的夹角都是,M为与的交点.若,,.
(1)求;
(2)求证：直线平面.
18、求适合下列条件的双曲线标准方程：
(1)经过点和;
(2)已知双曲线过点,渐近线方程为,求该双曲线的标准方程.
19、已知直线（a,b均为不等于0的实常数）,直线.
(1)若,求的值;
(2)若当时,l过定点A,O为原点,,求b的值.
20、已知抛物线的焦点为F,F到双曲线的渐近线的距离为2.
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)过动点作抛物线C的切线AB（斜率不为0）,切点为B,求线段AB的中点D的轨迹方程.
21、已知圆.
(1)求圆心C的坐标及半径的大小;
(2)已知直线l与圆C相切,且在x,y轴上的截距相等且不为0,求直线l的方程;
(3)从圆C外一点向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有,求点P的轨迹方程.
22、椭圆的离心率为,过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于A,B两点,与y轴相交于点,若存在实数m,使得,求m的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：由平行六面体可得,
又,
所以,,
则.
故选：B.
2、答案：A
解析：圆的圆心为,
圆的圆心为,
两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN,
其方程为,即;
故选A.
3、答案：C
解析：圆,圆心为,半径为,
则圆心到直线的距离为,
则弦长为,
则的面积为
令,,则,
则当时,取得最大值,
此时,解得或.
故选：C.
4、答案：A
解析：由题意,不妨以椭圆中心为坐标原点,建立如图所示坐标系,
则椭圆方程为,
则,且,
解得,,
故该卫星远地点离地面的距离为
,
又,所以.
故选：A.
5、答案：B
解析：设,显然线段AB的中点坐标为,
因为四边形OACB为平行四边形,
所以线段OC的中点坐标和线段AB的中点坐标相同,即为,
因此C点坐标为,
因为直线OC,AB的斜率之积为3,
所以,
因为点A,B均在E上,
所以,
两式相减得：,
所以两条渐近线方程的倾斜角为或,
故选：B.
6、答案：C
解析：直线的斜率为,因此与此直线垂直的直线的斜率,
,
,
把代入得,
原式.
故选：C.
7、答案：B
解析：依题意,,.
根据椭圆的定义有,解得或,
所以,所以是钝角,
所以,
所以.
故选：B.
8、答案：C
解析：取BC,AD的中点分别为H,G,连接GH,与AC交于点O,
ABCD是边长为2的正方形,BCF是等腰三角形,
则,连接FH,EG,则,
又,GH,平面EFHG,所以平面EFHG,
又平面ABCD,所以平面平面EFHG.
以O为坐标原点,过O作平行于AD的直线为x轴,
在平面EFHG内过O作垂直于平面ABCD的直线为z轴,OH所在直线为y轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,在等腰三角形BCF中,
,易知梯形EFHG为等腰梯形,过F作,
则,则,
则,
所以,
当时,取得最小值.
故选：C.
9、答案：AB
解析：因为,则该曲线不表示圆,故C错误;
若,即时,方程表示的曲线是双曲线,故A正确;
若,即时,方程表示的曲线是椭圆,故B正确;
该方程为二元二次方程,则不可能表示抛物线,故D错误;
故选：AB.
10、答案：BD
解析：,,,
直线l与m不垂直,故A错误;
,或,故B正确;
,与不共线,不成立,故C错误;
由题可知即解得,故D正确.
故选：BD.
11、答案：ABD
解析：对于选项A,当,AB为直径时,显然当时,
的面积取得最大值,所以A正确;
对于选项B,设,则,
所以,越大,越小,
显然当点P在处时,最大,
此时,,即,选项B正确;
对于选项C,由上可知当点P在处时,且PA,PB为切线时,最大,
此时,即,
所以不存在符合的点,故选项C不正确;
对于D选项,设AB的中点D,则,
所以点D在以M为圆心,为半径的圆上,
易知,
设小圆半径为,则,则的最大值为,
故D正确.
故选：ABD.
12、答案：ABC
解析：选项A：由题可设抛物线C的方程为,
所以,所以抛物线C的方程为,故A正确.
选项B：易知C的准线方程为,故可设点M的坐标为,
直线的斜率为,则直线的方程为,即,
与抛物线C的方程联立,消去y并整理得.
因为与抛物线C只有一个公共点P,所以,
所以.设直线的斜率为,同理可得,
所以,是一元二次方程的两个实数根,
所以,所以,故B正确.
选项C：设,则直线PQ的方程为,
由B可得,,,,,
所以,化简并整理得,
所以直线PQ经过点,故C正确.
选项D：解法一:因为,所以
当且仅当时取等号,所以D错误.
解法二:设直线PQ的方程为,代入抛物线方程,
整理得,设,
则,.
所以,
因为,所以,
则点M到直线PQ的距离,
所以,当且仅当时取等号,故D错误.
故选：ABC.
13、答案：或
解析：设,则,
因为,整理得,即,
所以点P的轨迹方程为,
又因为圆C上存在唯一的点P符合题意,所以两圆内相切,
因为圆,可得圆心,半径,
圆,可得圆心,半径,
可得或,解得或,又,
所以实数a的值为或.
故答案为：或.
14、答案：
解析：将化为斜截式方程可得,.
因为,所以,解得.
故答案为：.
15、答案：
解析：点P到直线的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,
设点P在平面ABCD上的射影为,
显然点P到直线的距离的最小值为的长度的最小值,
当时,的长度最小,
此时.
16、答案：
解析：双曲线,则,,所以,设右焦点为,
圆,圆心为,半径,
圆,圆心为,半径,
且恰为双曲线的左焦点,,
又点P是双曲线C右支上的一点,则,
所以,
当且仅当E、P、三点共线（P在之间）时取等号.
故答案为：.
17、答案：(1)
(2)证明见解析
解析：（1）由题意得,,
所以
,
,
,
所以.
（2）,,,
因为,
,
所以,,
因为,BD,平面,
所以平面.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）设双曲线的方程为,
点P,Q在双曲线上,
,解得,.
双曲线的标准方程为.
（2）由题意,渐近线方程为,令,
又在双曲线上,
,即.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）由有
解得.
（2）时
按b整理得
令得,故
OA的斜率,故
解得
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）双曲线的一条渐近线为,
又抛物线的焦点F的坐标为,
由题可得：,解得,故抛物线方程为：.
（2）设过点与抛物线C相切的直线方程为,
联立抛物线方程可得,
则,又,则,
所以,,
设点D的坐标为,则,
即,代入,
可得,又,故;
则点D的轨迹方程为：.
21、答案：(1)圆心坐标,半径;
(2)或;
(3)
解析：（1）由圆,得：,
圆心坐标,半径;
（2）切线在两坐标轴上的截距相等且不为零,
设直线方程,
圆,
圆心到切线的距离等于圆半径,
即：
或,
所求切线方程为：或;
（3）切线PM与半径CM垂直,设
,
由可得
所以点P的轨迹方程为.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为该椭圆的离心率为,所以有,
在方程中,令,解得,
因为过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1,
所以有,由(1),(2)可得：,
所以椭圆的方程为;
（2）当直线l不存在斜率时,由题意可知直线与椭圆有两个交点,与纵轴也有两个交点不符合题意;
当直线l存在斜率时,设为k,所以直线l的方程设为,
于是有,
因为该直线与椭圆有两个交点,所以一定有,
化简,得,
设,于是有,
因为,
所以,
代入中,得,
于是有,
化简,得,代入中,
得.