安徽省阜阳市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题+

这是一份安徽省阜阳市2023-2024学年九年级上学期期中数学试题+，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知线段a=4，b=6，如果线段b是线段a和c的比例中项那么线段c的长度是（ ）
A．26B．8C．9D．10
2．若抛物线y=x2+bx+c经过A（-2，6），B（8，6）两点，则抛物线的对称轴为（ ）
A．直线x=5B．直线x=3C．直线x=1D．直线x=−1
3．对于抛物线y=−5(x+1)2−2的说法正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点坐标是（1，-2）
C．对称轴是直线x=1D．当x<-1时，y随x的增大而增大
4．已知两个相似三角形的相似比为2：3，则它们的周长的比为（ ）
A．4：9B．3：2C．2：3D．4：6
5．已知某抛物线与二次函数y=−5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，且顶点坐标为（1，2023），则该抛物线对应的函数表达式为（ ）
A．y=5(x−1)2+2023B．y=−5(x−1)2+2023
C．y=5(x+1)2+2023D．y=−5(x+1)2+2023
6．如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（ ）
A．ADBD=AECEB．AD⋅DE=AE⋅EC
C．ADAB=DEBCD．AB⋅AD=AE⋅AC．
7．如图所示，是一个长20m、宽16m的矩形花园，根据需要将它的长缩短xm、宽增加xm，要想使修改后的花园面积达到最大，则x应为（ ）
A．1B．1.5C．2D．4
8．如图，在平行四边形ABCD中，AE：BE=1：2，若S△AEF=3，则S△CDP=（ ）
A．27B．18C．9D．3
9．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5，BC=12，将△ABC沿DE折叠，使点C落在△ABC边上C′处，并且C′D//BC，则CD的长是（ ）
A．132B．15625C．254D．265
10．如图，BD是▱ABCD的对角线，BD⊥AD，AB=2AD=6，点E是CD的中点，点F、P分别是线段AB、BD上的动点，若△ABD∽△PBF，且△PDE是等腰三角形，则PF的长为（ ）
A．33−32或233B．3−1或3C．3或33−32D．233或3−1
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．如果线段a=4cm，b=5mm，那么ab的值为 ．
12．如图，在△ABC中，P为边AB上一点，且∠APC=∠ACB，若AP=4，AC=6，则BP的长为 ．
13．若正比例函数y=4kx与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A（m，1），则k的值是 ．
14．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x2−8x+18上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则抛物线y=x2−8x+18的顶点坐标是 ，正方形ABCD周长的最小值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知ab=cd=6，求a+bb和c−dc+d值．
16．如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象分别经过点A（2，0），B（0，6），求该函数的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图，在△ABC中，点D是AB上一点，且AD=2，AB=6，AC=23，CD=5．求BC的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点的坐标分别为A（6，3），O（0，0），B（0，6）．
（1）以原点O为位似中心，在第一象限内将△AOB缩小得到△A1OB1，相似比为12，请画出△A1OB1；
（2）直接写出点A1的坐标（ ， ）；
（3）求出△A1OB1的面积．
五、（本大题共2小题，每小题10分，总计20分）
19．如图，一次函数A，B是反比例函数y=kx(k>0)图象上的两点，点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（4，m），线段AB的延长线交x轴于点C．
（1）求m的值和该反比例函数的函数关系式．
（2）求△AOC的面积．
20．已知：如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O的直线DE//BC，分别交AB、AC于点D、E．
（1）求证：DE=BD+CE；
（2）若AD=4，BD=3，CE=2，求BC的值．
六、（本题满分12分）
21．已知：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，∠ADE=∠B，点F在AD上，且EF//CD．求证：
（1）ΔDEF∽ΔBCD；
（2）AD2=AF⋅AB．
七、（本题满分12分）
22．某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部售出．已知生产x只玩具熊猫的成本为m（元），售价每只为n（元），且m、n与x的关系式分别为m=500+30x，n=170−2x．
（1）当日产量为多少时，每日获得的利润为1750元？
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
23．如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠ADB=∠DCB=90°，E为AB的中点，CE与BD交于点F，
（1）求证：△ABD∽△DBC；
（2）求证：DE//BC；
（3）若DF：BF=2：3，CD=6，求DE的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】比例中项
【解析】【解答】解：∵如果线段b是线段a和c的比例中项 ，
∴ab=bc，
∴ac=b2，
∴c=b2a=624=9.
故答案为：C.
【分析】根据比例中项的意义，可列出比例式ab=bc，即可求出c的值。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c经过A（-2，6），B（8，6）两点，
∴抛物线的对称轴为 x=−2+82，
即x=3.
故答案为：B.
【分析】根据抛物线的对称性，即可得出抛物线的对称轴。
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A：因为-5＜0，所以抛物线的开口向下，所以A不正确；
B：抛物线的顶点坐标是（-1，-2），所以B不正确；
C： 对称轴是直线x=-1，所以C不正确；
D：对称轴是直线x=-1，且抛物线开口向下，所以当x<-1时，y随x的增大而增大 ，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据解析式可以得出函数的性质，从而得出正确答案。
4．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：因为相似三角形周长的比等于它们的相似比，所以它们的周长的比为2：3。
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的性质，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：设 该抛物线对应的函数表达式为 y=a（x-h）2+k，
∵某抛物线与二次函数y=−5x2的图象的开口大小相同，开口方向相反，
∴a=5，
∵抛物线 的顶点坐标为（1，2023），
∴h=1，k=2023，
∴该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
故答案为：A.
【分析】首先根据抛物线与二次函数y=−5x2的图象的关系可以求得a=5，然后根据顶点坐标，即可得出该抛物线对应的函数表达式为 y=5（x-1）2+2023.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△AED，
∴ADAC=AEAB=DECB，
∴A不成立；C不成立；
B：AD⋅DE=AE⋅EC可得出 ADAE=ECDE，所以B不成立；
D： AB⋅AD=AE⋅AC可得ADAC=AEAB，所以D成立。
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：设花园面积为y，则y=（20-x）（16+x）=-x2+4x+320=-（x-2）2+324，
∵-1＜0，
∴当x=2时，y有最大值。
故答案为：C.
【分析】设花园面积为y，首先根据题意列出y与x之间的函数关系式为：y=（20-x）（16+x）=-（x-2）2+324，然后根据二次函数图象的顶点坐标，求得x的值即可。
8．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE：BE=1：2，
∴AE：AB=1：3，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AE∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴S△AEF∶S△CDF=AE2：CD2=AE2：AB2=12：32，
∴3∶S△CDF=1：9，
∴S△CDF=27.
故答案为：A.
【分析】首先求得 AE：AB=1：3，然后再根据相似三角形的性质得出S△AEF∶S△CDF=AE2：CD2=AE2：AB2，即可求得S△CDF=27.
9．【答案】B
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=52+122=13，
∵C'D∥BC，
∴C'DBC=ADAC，
设CD=x，则AD=13-x，
由折叠性质知：C'D=CD=x，
∴x12=13−x13，
∴x=15625，即可得出
即CD的长是15625。
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理，求得AC=13，然后再根据C'D∥BC，得出C'DBC=ADAC，设CD=x，则AD=13-x，由折叠性质知：C'D=CD=x，x12=13−x13，解得x=15625，即可得出CD的长。
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；相似多边形的性质
【解析】【解答】△PDE是等腰三角形，可分成以下几种情况：当PD=PE时：过点P作PG⊥DE于点G，∴DG=32，
在△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=2AD=6，
∴∠ABD=30°，BD=33，
∵AB∥CD，
∴∠PDG=∠ABD=30°，
∵∠DGP=90°，
∴PD=2PG，
∴PG=32，PD=3，
∴BP=23，
∵△ABD∽△PBF，
∴PFBP=ADAB=12，
∴PF=12BP=3；
当DE=DP=3时，BP=33−3，
∴PF=12BP=33−32；
当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在。
综上，PF的长为3或33−32.
故答案为：C。【分析】△PDE是等腰三角形可分成几种情况进行讨论：当PD=PE时，过点P作PG⊥DE于点G，可得DG=32，进而求得BP的长，然后根据相似三角形的性质得出PF=3；当DE=DP=3时，BP=33−3，PF=12BP=33−32；当DE=PE=3时，点P与点B重合，这种情况不存在
11．【答案】8
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：ab=4cm5mm=40mm5mm=8.
故答案为：8.
【分析】首先转化单位4cm=40mm，再求它们的比。
12．【答案】5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠APC=∠ACB， ∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACP，
∴ABAC=ACAP，
∵AP=4，AC=6，
∴AB6=64，
∴AB=9，
∴BP=AB-AP=9-4=5.
故答案为：5.
【分析】首先证明△ABC∽△ACP，得出ABAC=ACAP，可求得AB的长度，然后减去AP的长度，即可得出BP的长。
13．【答案】±12
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵点A（m，1） 在 正比例函数y=4kx 图象上，
∴1=4km，
∴k=14m；
∵点A（m，1） 在 正比例函数y=kx 图象上，
∴k=m，
∴14m=m，
∴m=±12.
故答案为：±12.
【分析】根据 点A（m，1） 是 正比例函数y=4kx与反比例函数y=kx(k≠0)的图象的交点，可得k=14m=m，即可解得m的值。
14．【答案】（4，2）；42
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：y=x2−8x+18=（x-4）2+2，
∴抛物线y=x2−8x+18的顶点坐标是 （4，2）；
当点A在抛物线的顶点时，AC的长度最小，即 正方形ABCD周长值最小 ，设此时正方形的边长为a，
则：a2+a2=22，
∴a=2（负值舍去），
∴正方形ABCD周长的最小值是 42。
故第1空答案为：（4，2）；故第2空答案为：42。
【分析】首先把抛物线的一般式转化成顶点式，即可得出y=x2−8x+18=（x-4）2+2，即可得出 抛物线的顶点坐标是 （4，2）；然后得出当点A在抛物线的顶点时，AC的长度最小，即 正方形ABCD周长值最小 ，设此时正方形的边长为a，根据正方形的性质和勾股定理，即可得出a2+a2=22，解得a=2（负值舍去），即可得出正方形ABCD周长的最小值是 42。
15．【答案】解：∵ab=cd=6，∴a=6b，c=6d．
∴a+bb=6b+bb=7，c−dc+d=6d−d6d+d=57．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】首先根据ab=cd=6，可得出 a=6b，c=6d，然后分别代入代数式a+bb和c−dc+d中，即可求得它们的值。
16．【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c过点A（2，0），B（0，6），
∴4+2b+c=0c=6，解得b=−5c=6，
∴二次函数的解析式为y=x2−5x+6
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】由点 A（2，0），B（0，6）， 根据待定系数法，即可求得该函数的解析式．
17．【答案】解：证明：∵AD=2，AB=6，AC=23，CD=5
∴ACAB=236=33，ADAC=223=33，∴ACAB=ADAC
又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC.5分
∴CDBC=ADAC，即5BC=223
∴BC=53
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】首先证明 △ACD∽△ABC ，然后得出 CDBC=ADAC， 即可求得BC的长度。
18．【答案】（1）解：如图，△A1OB1即为所求；
（2）3；32
（3）解：12×3×3=92
答：△A1OB1的面积为92．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；位似变换
【解析】【解答】解：（2）设点A1的坐标为（x，y），则x=0+62=3，y=0+32=32，
所以点A1的坐标为（3，32）；
故第1空答案为：3；故第2空答案为：32；
【分析】（1）根据位似图形的画法，画出 △A1OB1即可；
（2）根据中点坐标公式，即可得出点A1的坐标；
（3）根据三角形面积计算公式直接可以求得△A1OB1的面积。
19．【答案】（1）解：把A（2，4）代入y=kx得4=k2，解得k=8．
把B（4，m）代入y=8x得m=84，解得m=2；
∴m=2，该反比例函数的函数关系式为y=8x
（2）解：设直线AB的函数关系式为y=ax+b，把A（2，4），B（4，2）分別代入得2a+b=44a+b=2，
解得a=−1b=6，∴直线AB的函数关系式为y=−x+6，
当y=0时，x=6，即点C的坐标为（6，0）
∴S△AOC=12×6×4=12，即△AOC的面积为12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积
【解析】【分析】（1）首先根据点（2，4），利用待定系数法即可得出反比例函数关系式；再把 （4，m） 代入反比例函数关系式中，即可求得m的值；
（2） 设直线AB的函数关系式为y=ax+b， 利用待定系数法先求出一次函数关系式为：y=−x+6， 再分别求得直线与x标轴的交点（6，0），然后根据三角形面积计算公式即可求得 △AOC的面积为12．
20．【答案】（1）证明：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB，
又∵DE//BC，∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，
∴DB=DO，OE=EC，
∵DE=DO+OE，
∴DE=BD+EC；
（2）解：∵AD=4，BD=3，CE=2
∴DE=BD+EC=5，AB=AD+BD=7
∵DE//BC，∴ΔADE∽ΔABC，
∴ADAB=DEBC，即47=5BC，∴BC=354
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质，可得出△BOD和△COE是等腰三角形，即可得出OD=BD，OE=CE，故而可得 DE=BD+CE；
（2）首先根据（1）的结论DE=BD+CE，可求得DE=5，然后根据DE∥BC，可得出ΔADE∽ΔABC， 故而得出比例式 ADAB=DEBC， 即可得出BC的值。
21．【答案】（1）证明：∵∠ADE=∠B，
∴DE//BC，∴∠CDE=∠BCD，
∵EF//CD，∴∠CDE=∠DEF，∴∠BCD=∠DEF，
又∵∠ADE=∠B，
∴△DEF∽△BCD
（2）证明：∵∠ADE=∠B，∴DE//BC，∴ADAB=AEAC，
∵EF//CD，∴AFAD=AEAC，∴ADAB=AFAD，
∴AD2=AF⋅AB．
【知识点】比例的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等即可证明 △DEF∽△BCD ；
（2）根据DE∥BC，可得出ADAB=AEAC，再根据EF∥CD，可得AFAD=AEAC，故而可得ADAB=AFAD，即 AD2=AF⋅AB．
22．【答案】（1）解：由题意得：(170−2x)x−(500+30x)=1750，
解得x1=25，x2=45
又∵x≤40，∴x=25
答：当日产量为25只时，每日获得的利润为1750元
（2）解：设每天所获利润为w元，
由题意得，w=(170−2x)x−(500+30x)=−2(x−35)2+1950．
答：当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润是1950元
【知识点】二次函数的最值；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据售价-成本=利润，即可得出方程 (170−2x)x−(500+30x)=1750，解方程得x1=25，x2=45，因每日最高产量为40只，所以x2舍去，即可得出答案为日产量为25只时，每日获得的利润为1750元；
（2）设每天所获利润为w元，仍然根据利润=售价-成本，可得 w=(170−2x)x−(500+30x)，整理为顶点式w=−2(x−35)2+1950，根据二次函数性质，即可得出当日产量为35只时，可获得最大利润，最大利润是1950元 。
23．【答案】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD．
又∵∠ADB=∠DCB，
∴△ABD∽△DBC
（2）证明：∵点E是AB的中点，∠ADB=90°，
∴DE=BE=AE，
∴∠EDB=∠ABD．
又∵∠CBD=∠ABD，
∴∠CBD=∠EDB．
∴DE//BC
（3）解：解法一：过点D作DH⊥AB
易证△DHB≌△DCB
∴ΔDEF∽ΔBCF，∴DEBC=DFBF，
设DE=2k，BC=3k，则BH=3k．
DE=BE=2k，HE=k．
∵BD平分∠ABC
∴DH=CD=6
在Rt△DHE中，DE2=DH2+HE2
(2k)2=62+k2
3k2=36
k=23
DE=2k=43．
解法二：
∵DE//BC
∴ΔDEF∽ΔBCF
∴DEBC=DFBF
又∵DF：BF=2：3
∴DEBC=23
设DE=2k，则BC=3k．
∵E是AB的中点，∠ADB=90°．
∴AB=2DE=4k
∵ΔABD∽ΔDBC
∴ABDB=DBBC
∴DB2=AB⋅BC=4k⋅3k=12k2
∵∠BCD=90°，CD=6
∴BC2+CD2=BD2，即(3k)2+62=12k2
解得k=23
∴DE=2k=43．
【知识点】平行线的判定；直角三角形全等的判定（HL）；相似三角形的判定与性质；角平分线的定义；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）根据两角对应相等，即可得出 △ABD∽△DBC ；
（2）首先根据直角三角形斜边上的中线得出 DE=BE=AE， 即可得出 ∠EDB=∠ABD ，再根据角平分线的定义，得出 ∠CBD=∠ABD ，从而得出∠CBD=∠EDB ，进而根据平行线的判定，即可得出DE∥BC；
（3） 过点D作DH⊥AB ，由（2）知DE∥BC， ΔDEF∽ΔBCF ，从而得出 DEBC=DFBF=23，设DE=2k，BC=3k，根据HL可证得 △DHB≌△DCB ，则BH=3k ， DE=BE=2k，HE=k，DH=CD=6 ， 在Rt△DHE中，DE2=DH2+HE2，即可得出方程：(2k)2=62+k2，解方程即可求得k=23（负值舍去），进一步即可求出DE=43。