2023年江苏省南京师范大学附属中学特长生数学试卷

这是一份2023年江苏省南京师范大学附属中学特长生数学试卷，共10页。试卷主要包含了已知方程x2﹣，因式分解等内容，欢迎下载使用。

1．若，则x3+4x2+2x+6＝ ．
2．方程的解为 ．
3．5张卡片上分别写着数字1、1、2、2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为 ．
4．如图，△ABC中，D，E在BC上，AD＝AE，∠BAE＝∠ACB，若AC＝6，CD＝4，则BD＝
5．已知质数x，y，z满足xyz＝7（x+y+z），则x2+y2+z2＝ ．
6．已知方程x2﹣（k2+2k+6）x+（2k2+4k+8）＝0（k为常数）．
（1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实根为x1，x2，求|x1﹣x2|的最小值．
7．因式分解：
（1 ）a3b﹣ab3+a2+b2+1；
（2）9a2﹣4b2+4bc﹣c2．
8．如图，△ABC的外心为O，垂心为H，D为BC的中点．求证：AH＝2OD．
数学加试
9．已知a+b+c＝2023，，求的值．
10．已知方程ax2+2（a+3）x+（a+2）＝0有正根，求a的取值范围．
11．如图，⊙O内切于半径为3，圆心角为60°的扇形中，⊙E与⊙O外切，与扇形内切，求⊙E的半径．
12．已知n，k均为正整数，且对于每一个确定的n，满足不等式的k仅有一个，求n的最大值与最小值．
信息加试
13．已知整数a，b，c满足a＜0＜b＜c，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求所有可能的值．
2023年江苏省南京师大附中特长生数学试卷
参考答案与试题解析
综合卷
1．若，则x3+4x2+2x+6＝ 3 ．
【解答】解：∵＝＝﹣2，
∴x+2＝，
∴x3+4x2+2x+6
＝x3+4x2+4x﹣2x+6
＝x（x2+4x+4）﹣2x+6
＝x（x+2）2﹣2x+6
＝x•（）2﹣2x+6
＝5x﹣2x+6
＝3x+6
＝3（﹣2）+6
＝3﹣6+6
＝3，
故答案为：3．
2．方程的解为 x＝ ．
【解答】解：当1＜x≤2时，0＜≤1，
原方程化为：+1+1﹣＝，
即＝2，
解得x＝，
经检验，x＝是方程的解，
当x＞2时，＞1，
原方程化为：+1+﹣1＝，
即＝2，
方程无解，
所以原方程的解为x＝．
故答案为：x＝．
3．5张卡片上分别写着数字1、1、2、2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为 ．
【解答】解：由题意可知，任意抽取3张所有等可能的结果有：（1，1，2），（1，1，2），（1，1，3），（1，2，2），（1，2，3），（1，2，3），（1，2，2），（1，2，3），（1，2，3），（2，2，3），共10种，
其中这3个数字可以作为三角形三边的边长的结果有：（1，2，2），（1，2，2），（2，2，3），共3种，
∴这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为．
故答案为：．
4．如图，△ABC中，D，E在BC上，AD＝AE，∠BAE＝∠ACB，若AC＝6，CD＝4，则BD＝ 5
【解答】解：∵∠BAE＝∠C，∠AEB＝∠C+∠EAC，∠BAC＝∠BAE+∠EAC，
∴∠AEB＝∠BAC，
∵AD＝AE，
∴∠ADC＝∠AEB＝∠BAC，
又∵∠C＝∠C，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC：CD＝AB：AD＝BC：AC，
∵AC＝6，CD＝4，
∴BC＝9，
∴BD＝BC﹣CD＝5．
故答案为：5．
5．已知质数x，y，z满足xyz＝7（x+y+z），则x2+y2+z2＝ 83 ．
【解答】解：∵xyz＝7（x+y+z），x，y，z是质数；
∴x＝7或y＝7或z＝7；
当x＝7时，yz＝7+y+z，
∵y，z是质数，
∴y＝3，z＝5或y＝5，z＝3；
此时x2+y2+z2＝72+32+52＝83或x2+y2+z2＝72+52+32＝83；
同理当y＝7时，x＝3，z＝5或x＝5，z＝3，此时x2+y2+z2＝83；
当z＝7时，x＝3，y＝5或x＝5，y＝3，此时x2+y2+z2＝83；
综上所述，x2+y2+z2＝83；
故答案为：83．
6．已知方程x2﹣（k2+2k+6）x+（2k2+4k+8）＝0（k为常数）．
（1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根；
（2）设该方程的两个实根为x1，x2，求|x1﹣x2|的最小值．
【解答】（1）证明：原方程可化为：（x﹣2）[x﹣（k2+2k+4）]＝0，
∴原方程的两根为2和k2+2k+4，
又∵k2+2k+4＝（k+1）2+3＞2，
∴该方程恒有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
所以|x1﹣x2|的最小值为1．
7．因式分解：
（1 ）a3b﹣ab3+a2+b2+1；
（2）9a2﹣4b2+4bc﹣c2．
【解答】解：（1）原式＝a3b﹣ab3+a2+b2+1+ab﹣ab
＝（a3b﹣ab3）+（a2﹣ab）+（ab+b2+1）
＝ab（a2﹣b2）+（a2﹣ab）+（ab+b2+1）
＝ab（a+b）（a﹣b）+（a2﹣ab）+（ab+b2+1）
＝b（a+b）•a（a﹣b）+（a2﹣ab）+（ab+b2+1）
＝（ab+b2）（a2﹣ab）+（a2﹣ab）+（ab+b2+1）
＝（ab+b2+1）（a2﹣ab）+（ab+b2+1）
＝（ab+b2+1）（a2﹣ab+1）；
（2）原式＝9a2﹣（4b2﹣4bc+c2）
＝9a2﹣（2b﹣c）2
＝[3a+（2b﹣c）][3a﹣（2b﹣c）]
＝（3a+2b﹣c）（3a﹣2b+c）．
8．如图，△ABC的外心为O，垂心为H，D为BC的中点．求证：AH＝2OD．
【解答】证明：过点B作圆O的直径BE，连接AE，CE，CH．如图，
∵H为△ABC的垂心，
∴AH⊥BC，
∵BE为圆O的直径，
∴CE⊥BC，
∴AH∥CE，
同理AE∥CH，
∴四边形AHCE是平行四边形，
∴AH＝CE．
又∵D为BC的中点，O为BE的中点，
∴CE＝2OD．
∴AH＝2OD．
数学加试
9．已知a+b+c＝2023，，求的值．
【解答】解：由题意，设，
∴a＝k（x2﹣yz），b＝k（y2﹣xz），c＝k（z2﹣xy）．
∴原式＝
＝
＝
＝
＝k（x2﹣yz）+k（y2﹣xz）+k（z2﹣xy）
＝a+b+c
＝2023．
10．已知方程ax2+2（a+3）x+（a+2）＝0有正根，求a的取值范围．
【解答】解：∵当a＝0时，方程简化为：6x+2＝0，x＝﹣，这与方程有正根矛盾，
∴a≠0，
∴原方程是关于x的一元二次方程，
∵方程有根，
∴Δ＝4（a+3）2﹣4a（a+2）＝16a+36≥0，
∴a≥，
设方程两根为x1、x2当两根都为正时，
x1x2＝＞0，
即或，
解得a＞0或a＜﹣2（舍去），
结合根的判别式得a≥，
当两根一正一负时，
x1x2＝＜0，
即或，
解得﹣2＜a＜0或无解，
综合分析a的取值范围为：a≥．
11．如图，⊙O内切于半径为3，圆心角为60°的扇形中，⊙E与⊙O外切，与扇形内切，求⊙E的半径．
【解答】解：设扇形的圆心为A，⊙O与扇形的弧切于点B，与扇形的半径切于点C，⊙E与扇形的半径切于点F，连接AB，OC，EF，AE，OE，过E作ED⊥OC于点D．
由题可知，A，O，B共线，直角△AOC中∠OAC＝30°，
∴OA＝2OC＝2OB，
∴AB＝OA+OB＝3OB＝3，
∴OB＝1，即⊙O的半径为1．
设⊙E的半径为r，则EF＝CD＝r，
在直角△DOE中，∠ODE＝90°，OD＝1﹣r，OE＝1+r，则．
在直角△AEF中，∠AFE＝90°，AE＝3﹣r，EF＝r，，
由勾股定理可得：，
解得：．
又因为r＜1，
∴，即⊙E的半径为．
12．已知n，k均为正整数，且对于每一个确定的n，满足不等式的k仅有一个，求n的最大值与最小值．
【解答】解：∵，
∴5（n+k）＜9n，7n＜4（n+k）
∴n＜k＜n，即＜k＜，
∵k有唯一正整数解，
∴21≤n≤40，
∴n的最大值为40，最小值为21．
信息加试
13．已知整数a，b，c满足a＜0＜b＜c，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求所有可能的值．
【解答】解：∵整数a，b，c满足a＜0＜b＜c，
∴＜＜1，
∴≤0，
∵是负整数，
∴≤﹣1，
∴a+b+c≥0，
∴≥﹣1，
∴﹣1≤≤0，
∴可能的值是﹣1或0．