2023-2024学年贵州省六盘水市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年贵州省六盘水市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若线段a，b，c，d是成比例线段，且a=2cm，b=4cm，c=3cm，则d=( )
A. 6cmB. 83cmC. 1.5cmD. 3cm
2.用配方法解方程x2−2x−5=0时，原方程变形为( )
A. (x+1)2=6B. (x−1)2=6C. (x+2)2=9D. (x−1)2=9
3.如图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”对这条信息的下列说法中，正确的是( )
A. 仙游明天将有85%的时间下雨B. 仙游明天将有85%的地区下雨
C. 仙游明天下雨的可能性较大D. 仙游明天下雨的可能性较小
4.如图，直线a，b，c被直线l1，l2所截，交点分别为点A，C，E和点B，D，F，已知a/​/b/​/c，且ACCE=45，DF=10，则BF的长是( )
A. 8
B. 10
C. 16
D. 18
5.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是( )
A. ①，对角相等B. ③，有一组邻边相等
C. ②，对角线互相垂直D. ④，有一个角是直角
6.如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A、C两点坐标分别为(−2,2)、(1,−1)，则点B的坐标是( )
A. (−1,−2)
B. (−1,−3)
C. (−2,−1)
D. (−3,−1)
7.如图是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为( )
A. ±2B. ±3C. 3或−1D. 2或−1
8.对于实数a，b定义新运算：a⊗b=ab2−b，若关于x的方程1⊗x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围( )
A. k>−14B. k−14且k≠0D. k≥−14且k≠0
9.“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6)，是采用“三分损益法”通过数学方法获得.现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中可能性大小相同.现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是( )
A. 125B. 120C. 110D. 15
10.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. 3(x+1)x=6210B. 3 (x−1)=6210
C. (3x−1)x=6210D. 3(x−1)x=6210
11.如图，AC是矩形ABCD的对角线，分别以点A，C为圆心，以大于12AC的长为半径画弧，两弧交于点E、F，直线EF交AD于点M，交BC于点N，若AM=8，DM=2，则边AB的长为( )
A. 6
B. 10
C. 2 5
D. 2 15
12.如图所示，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，在下列结论中错误的是( )
A. S△ADE=S△EOD
B. 四边形BFDE是中心对称图形
C. △DEF是轴对称图形
D. ∠ADE=∠EDO
二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
13.在比例尺是1：20的图纸上，量得一个零件的长是16cm，则它的实际长是______ cm．
14.老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别的卡片(如图).从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是______．
15.已知矩形ABCD的周长为12，面积为5，且AB和BC的长恰好是方程x2+mx+n=0的两根，则mn= ______ ．
16.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点B，C分别在边OM，ON上，当点在OM上运动时，点C随之在ON上运动，矩形ABCD的形状保持不变其中CD=5，BC=24，运动过程中，点D到点O的最大距离是______ ．
三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
嘉嘉与淇淇两位同学解方程3(x−3)=(x−3)2的过程如下．
(1)嘉嘉的解法______ ，淇淇的解法______ .(填“正确”或“不正确”)
(2)请你给出正确的解法，并结合你的经验提出一条解题注意事项．
18.(本小题10分)
为决定谁获得仅有的一张电影票，甲和乙设计了如下的游戏：在三张完全相同的卡片上分别写上字母A，B，B，背面朝上，每次抽取之前先洗匀，甲说：“我随机抽取一张，抽到字母B，电影票归我．”乙说：“我随机抽取一张后放回，再随机抽取一张，若两次抽取的字母相同，电影票归我．”试问：此游戏对谁更有利？并说明理由．
19.(本小题10分)
如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠OBC=∠OCB．
(1)如果______，那么四边形ABCD为正方形(请你填上能使结论成立的一个条件)；
(2)根据题目中的条件和你添加上的条件进行证明．
20.(本小题10分)
某商店以每件50元的价格购进若干件衬衫，第一个月以单价80元销售，售出200件，第二个月为增加销售量，且能够让顾客得到更大的实惠，决定降价处理，经市场调查，______，如何定价，才能使以后每个月的利润达到7920元？
解：设……
根据题意，得(80−50−x)(200+x2×40)=7920
……
根据上面所列方程，完成下列任务：
(1)数学问题中括号处短缺的条件是______；
(2)所列方程中未知数x的实际意义是______；
(3)请写出解决上面的数学问题的完整的解题过程．
21.(本小题10分)
在学习《用频率估计概率》时，小明和他的伙伴们设计了一个摸球试验：在一个不透明帆布袋中装有白球和红球共4个，这4个球除颜色外无其他差别.每次摸球前先将袋中的球搅匀，然后从袋中随机摸出1个球，观察该球的颜色并记录，再把它放回.在老师的帮助下，小明和他的伙伴们用计算机模拟这个摸球试验.如图显示的是这个试验中摸出一个球是红球的结果．

(1)根据所学的频率与概率关系的知识，估计从这个不透明的帆布袋中随机摸出一个球是红球的概率是______ ，其中红球的个数是______ ；
(2)如果从这个不透明的帆布袋中同时摸出两个球，用列举法求摸出的两个球刚好一个是红球和一个是白球的概率．
22.(本小题10分)
如图，已知在△ABC中，EF//CD，AF=3，AD=5，AE=4．
(1)求AC的长；
(2)当AB=253时，求证：DE/​/BC．
23.(本小题12分)
下面是多媒体上的一道试题：
如图，在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E，点F在边AB上，AF=CE，连接BD，DF.求证：四边形BFDE是矩形．
小星和小红分别给出了自己的思路．
小星：先证明四边形BFDE是平行四边形，然后利用矩形定义即可得证；
小红：先证明△ADF与△CBE全等，然后利用“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证．
(1)请你选择一位同学的思路，并进行证明；
(2)若BD=2 5，BE=4，求BC的长．
24.(本小题12分)
阅读下列材料，并完成相应任务．
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x−35=0为例，说明如下：将方程x2+2x−35=0变形为x(x+2)=35，然后画四个长为(x+2)，宽为x的矩形，按如图①所示的方式拼成一个“空心”大正方形.图中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4=144，可得新方程(x+x+2)2=144，
∵x表示边长，
∴2x+2=12，
∴x=5.遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
任务一：这种构造图形解一元二次方程的方法体现的数学思想是______ ；
A.分类讨论思想
B.数形结合思想
C.演绎思想
D.公理化思想
任务二：请根据赵爽的办法求方程x2+3x−4=0的正根，需要在图②中画出相应的图形标明各边长，并写出完整的解答过程．
25.(本小题14分)
【课本再现】
(1)如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF为两个正方形重叠部分.正方形A1B1C1O可绕点O转动.则下列结论正确的是______ (填序号即可)．
①△AEO≌△BFO；
②OE=OF；
③四边形OEBF的面积总等于14S正方形ABCD；
④连接EF，总有AE2+CF2=EF2．
【类比迁移】
(2)如图2，矩形ABCD的中心O是矩形A1B1C1O的一个顶点，A1O与边AB相交于点E，C1O与边CB相交于点F，连接EF，矩形A1B1C1O可绕着点O旋转，猜想AE，CF，EF之间的数量关系，并进行证明；
【拓展应用】
(3)如图3，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，直角∠EDF的顶点D在边AB的中点处，它的两条边DE和DF分别与直线AC，BC相交于点E，F，∠EDF可绕着点D旋转，当AE=2cm时，求线段EF的长度．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b=c：d，
即2：4=3：d，
解得d=6(cm)．
故选：A．
根据成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后利用比例的性质可求出d．
本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了利用配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关键．
首先把常数项移到右边，再将方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，即可得解．
【解答】
解：x2−2x−5=0，
x2−2x=5，
x2−2x+1=5+1，
∴(x−1)2=6．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：如上图，某天气预报软件显示“仙游明天的降水概率为85%”，对这条信息的上列说法中，正确的是仙游明天下雨的可能性较大，
故选：C．
根据概率的意义，即可解答．
本题考查了概率的意义，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵a/​/b/​/c，
∴BDDF=ACCE，即BD10=45，
解得：BD=8，
∴BF=BD+DF=10+8=18，
故选：D．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意；
B、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故B不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故C不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，正确，故D不符合题意．
故选：A．
由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断．
本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．
6.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC/​/AD，AB/​/CD，
∵A、C两点坐标分别为(−2,2)、(1,−1)，
∴点B坐标为(−2,−1)，
故选：C．
由正方形的性质可得BC/​/AD，AB/​/CD，即可求解．
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意2(x−1)2=8，
∴(x−1)2=4，
∴x−1=±2，
∴x1=3，x2=−1．
故选：C．
利用运算程序得到2(x−1)2=8，利用直接开平方法解方程即可．
本题考查了解一元二次方程−直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
8.【答案】A
【解析】解：∵1⊗x=k，
∴x2−x=k，
方程化为一般式为x2−x−k=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1)2−4×(−k)>0，
解得k>−14．
故选：A．
先利用新定义得到x2−x=k，再把方程化为一般式，然后根据根的判别式的意义得到Δ=(−1)2−4×(−k)>0，再解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当ΔOD，AE=OE，
∴∠ADE≠∠ODE，
故本选项错误．
故选：D．
由O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点，易证得四边形BFDE是菱形，△DEF是等腰三角形，即可判定B，D正确；又由等底等高三角形的面积相等，即可判定A正确，继而求得答案．
此题考查了菱形的性质与判定、轴对称性与中心对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13.【答案】320
【解析】解：∵比例尺是1：20，一个零件的图上距离是16cm，
∴这个零件的实际长是16÷120=320(cm)．
故答案为：320．
根据比例尺=图上距离实际距离得出这个零件的实际长是16÷120，再求出答案即可．
本题考查了比例尺，能熟记比例尺=图上距离实际距离是解此题的关键．
14.【答案】13
【解析】解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为26=13，
故答案为：13．
用物理变化的张数除以总张数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
15.【答案】−30
【解析】解：∵AB和BC的长恰好是方程x2+mx+n=0的两根，
∴AB+BC=−m，AB⋅BC=n，
∵矩形ABCD的周长为12，面积为5，
∴AB+BC=6，AB⋅BC=5，
∴m=−6，n=5，
∴mn=−6×5=−30，
故答案为：−30．
根据根与系数的关系可得AB+BC=−m，AB⋅BC=n，由此解答即可．
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系是解此题的关键，已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c为常数，a≠0)的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
16.【答案】25
【解析】解：如图，取BC的中点E，连接OD、OE、DE，
∵OD≤OE+DE，
∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE，
∵∠MON=90°，
∴△BOC是直角三角形，
∵△BOC是直角三角形，点E是BC的中点，BC=24，
∴OE=CE=BC=×24=12，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ECD=90°，由勾股定理得：DE= CD2+CE2= 25+144=13，
∴OD的最大值为OE+DE=12+13=25，
故答案为：25．
取BC的中点E，连接OD、OE、DE，由三角形的三边关系可知当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE的长，然后由勾股定理求出DE的长，即可得出答案．
本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系、矩形的性质、勾股定理等知识，根据三角形的三边关系判断出点O、E、D三点共线时，点D到点O的距离最大是解题的关键．
17.【答案】不正确 不正确
【解析】解：(1)嘉嘉的解法不正确，淇淇的解法不正确，
故答案为：不正确，不正确；
(2)正确的解法是：3(x−3)=(x−3)2，
移项，得3(x−3)−(x−3)2=0，
提取公因式，得(x−3)(3−x+3)=0，
则x−3=0或3−x+3=0，
解得x1=3，x2=6，
在利用因式分解法解一元二次方程时，注意把方程一边的多项式正确因式分解．
(1)根据等式的性质即可得出答案；
(2)利用因式分解法解答即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18.【答案】解：此游戏对乙更有利，理由如下：
甲获得电影票的概率=23；
画树状图为：

共有9种等可能的结果数，其中两次抽取的字母相同的结果数为5，
所以乙获得电影票的概率=59．
∵23