2023-2024学年河南省商丘市虞城县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省商丘市虞城县八年级（上）期中数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中国四大银行的标志如下：其中不是轴对称图形的为( )
A. B. C. D.
2.若一个三角形的两边长分别是3cm，6cm，则它的第三边的长可以是( )
A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm
3.如图，△ABC≌△CDA，AB=5，BC=8，AC=7，则AD的长是( )
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
4.一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是( )
A. 6B. 7C. 8D. 9
5.如图，面积为4的等边三角形ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则△DEF的面积是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.在平面直角坐标系中，点A(a,2)和点B(3,b)关于y轴对称，则( )
A. a=3，b=2B. a=−3，b=2
C. a=2，b=3D. a=−2，b=−3
7.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE/​/BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为( )
A. 38°
B. 39°
C. 40°
D. 44°
8.如图，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=5cm，DE=3cm，则BD等于( )
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 4cm
9.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3，△ABD的周长为10，则△ABC的周长为( )
A. 16
B. 18
C. 20
D. 22
10.如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE/​/BC交AB于点D，交AC于点E.下列结论：①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE，③△ADE的周长等于AB+AC，其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.直角三角形ABC的一个锐角等于55°，则另一个锐角的度数为______ ．
12.如图，D是BC的中点，E是AC的中点，S△ADE=3，则S△ABC= ______ ．
13.点A(2,1)关于直线x=1的对称点A1的坐标是______ ．
14.下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中能判定是等边三角形的是______ ．
15.如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠B=40°，点F为AB边上一点，当△DFA为直角三角形时，∠ADF的度数为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
一个正多边形的一个内角比一个外角的3倍还多20°，求这个正多边形的边数及内角和．
17.(本小题8分)
如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．
(1)若∠ABE=20°，∠BED=50°，求∠BAD的度数．
(2)作△BED的边BD上的高，若△ABC的面积为20，BD=2.5，求△BDE的面积．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(2,−1)，B(1,−2)，C(3,−3)．
(1)将△ABC向上平移4个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．
(3)求△ABC的面积．
19.(本小题9分)
已知a、b、c是三角形的三边长
(1)化简|a−b+c|+|b−a+c|+|c−a−b|．
(2)若a=5，b=4，c=3.求(1)中式子的值．
20.(本小题9分)
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB.点E在AB上，点F在AC上，∠EDF=60°．
(1)求证：△ABD为等边三角形．
(2)求证：AE=CF．
21.(本小题9分)
如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.求证：BE⊥AC．
22.(本小题12分)
如图，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，点D在线段AB上(与A，B不重合)，连接BE．
(1)证明：△ACD≌△BCE．
(2)若BD=2，BE=5，求AB的长．
23.(本小题12分)
如图，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分别过B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为E，F．

(1)当EF与斜边BC不相交时，请证明EF=BE+CF(如图1)；
(2)如图2，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，证明：EF=BE−CF．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形；
选项C的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形；
故选：C．
根据轴对称图形的定义即可解答；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
本题考查轴对称图形的定义，掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得：
6−3解得：3故选：B．
首先设第三边长为x cm，根据三角形的三边关系可得6−3此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
3.【答案】D
【解析】解：∵△ABC≌△CDA，BC=8，
∴AD=BC=8．
故选：D．
根据全等三角形的对应边相等求解即可．
本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握两全等三角形的对应角、对应边．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键，即多边形的内角和=(n−2)×180°．
设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数．
【解答】
解：设这个多边形的边数为n，
由题意可得：(n−2)×180°=1260°，
解得n=9，
∴这个多边形的边数为9，
故选：D．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接AE，交DF于点H，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=60°，
∵BE=EC，
∴AE⊥BC，
∵点D、F分别是AB、CA的中点，
∴DF=12BC，DF/​/BC，
∴AH⊥DF，AH=HE=12AE，
∵S△ABC=4，
∴12BC⋅AE=4，
∴S△DEF=12DF⋅HE=12×12BC×12AE=1，
故选：A．
连接AE，交DF于点H，根据等边三角形的性质得到AB=AC，根据等腰三角形的性质得到AE⊥BC，根据三角形中位线定理得到DF=12BC，DF/​/BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质、三角形的面积公式，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
6.【答案】B
【解析】解：在平面直角坐标系中，点A(a,2)与点B(3,b)关于y轴对称，
∴a=−3，b=2．
故选：B．
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
本题考查的是关于x、y轴对称点的坐标特点，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7.【答案】B
【解析】[分析]
利用三角形的内角和定理求出∠ACB，再利用角平分线的定义求出∠BCD，利用平行线的性质即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
[详解]
解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=12∠ACB，
∵∠ACB=180°−∠A−∠B=180°−54°−48°=78°，
∴∠BCD=39°，
∵DE/​/BC，
∴∠CDE=∠BCD=39°，
故选B．
8.【答案】B
【解析】【分析】
由题意可证△ABC≌△CDE，即可得CD=AB=5cm，DE=BC=3cm，进而可求BD的长。
【解答】
解：∵AB⊥BD，∠ACE=90°
∴∠BAC+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°
∴∠DCE=∠BAC
在△ABC与△CDE中，
∠BAC=∠DCE，∠B=∠D，AC=CE
∴△ABC≌△CDE(AAS)
∴CD=AB=5cm，DE=BC=3cm
∴BD=BC+CD=8(cm)
故选B。
9.【答案】A
【解析】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=3，
∴DA=DC，AC=2AE=6，
∵△ABD的周长为10，
∴AB+BD+AD=10，
∴AB+BD+DC=AB+BC=10，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=10+6=16．
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，AC=2AE=6，再根据△ABD的周长为10可得AB+BD+AD=10，进而可得AB+BC=10，最后根据三角形的周长公式计算即可
本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：①∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
又∵DE/​/BC，
∴∠CBF=∠DFB，
∴∠ABF=∠DFB，
∴DB=DF，即△BDF是等腰三角形，
同理可得△CEF是等腰三角形，故①正确；
②∵△BDF是等腰三角形，
∴DB=DF，
同理：EF=EC，
∴DE=DF+EF=BD+CE，故②正确；
③∵DF=BD，EF=EC，
∴△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+DF+AE+EF=AD+BD+AE+CE=AB+AC，故③正确；
故选：D．
①根据角平分线的性质、平行线的性质可证△BDF是等腰三角形，同理△CEF也是等腰三角形；
②根据等量代换即可判定；
③根据等量代换即可判定．
本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的定义，熟练掌握等角对等边是解答本题的关键．
11.【答案】35°
【解析】解：直角三角形ABC的一个锐角等于55°，则另一个锐角的度数是90°−55°=35°．
故答案为：35°．
直角三角形中，两个锐角互余，由此即可计算．
本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的两锐角互余．
12.【答案】12
【解析】解：∵E是AC的中点，
∴S△ACD=2S△ADE=2×3=6，
∵D是BC的中点，
∴S△ABC=2S△ACD=2×6=12．
故答案为：12．
根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形先求出△ACD的面积，再求解即可．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键．
13.【答案】(0,1)
【解析】解：∵点A(2,1)，
∴点A到直线x=1的距离为2−1=1，
∴点A(2,1)关于直线x=1的对称点A1到直线x=1的距离为1，
∴点A1的横坐标为1−1=0，
∴对称点A1的坐标为(0,1)．
故答案为：(0,1)．
先求出点A到直线x=1的距离，再根据对称性求出对称点A1到直线x=1的距离，从而得到点A1的横坐标．
本题考查坐标图形的变化，根据轴对称性求出对称点A1到直线x=1的距离是解题的关键．
14.【答案】①②③
【解析】解：①两个角为60度，则第三个角也是60度，则其是等边三角形，故正确；
②这是等边三角形的判定2，故正确；
③根据等边三角形三线合一性质，故正确．
所以能判定是等边三角形的是①②③．
故答案为：①②③．
根据等边三角形的判定定理逐项判断即可．等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
本题考查了对等边三角形的判定定理的应用，注意：等边三角形的判定定理有：①三边都相等的三角形是等边三角形，②三角都相等的三角形是等边三角形，③有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
15.【答案】90°或60°
【解析】解：如图1：当∠AFD=90°时，
∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=12∠BAC=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=90°−∠BAD=60°；
如图2：当∠ADF=90°时，
．
故答案为：90°或60°．
分∠AFD=90°、∠ADF=90°两种情况、分别画出图形，再依据三角形内角和定理以及角平分线的定义即可解答
本题考查的是三角形内角和定理，灵活利用三角形内角和定理和分类讨论思想是解题的关键．
16.【答案】解：设这个正多边形的一个外角的度数为x，
则内角的度数为(3x+20)；
∴x+3x+20°=180°，
∴x=40°，
∴这个正多边形的边数为360°÷40°=9，
∴这个正多边形的内角和为9×(9−2)×180°=1260°，
答：这个正多边形的边数为9，内角和为1260°．
【解析】设这个正多边形的外角为x，则内角为3x+20，根据内角和外角互补可得x+3x+20°=180°，解可得x的值，再利用外角和360°÷外角度数可得边数，根据内角和公式：(n−2)×180°计算内角和即可．
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
17.【答案】解：(1)∠BAD+∠ABE=∠BED
∴∠BAD=∠BED−∠ABE=50°−20°=30°
(2)如图所示，过点E向BC作垂线，设垂足为F，则EF为△BED的边BD上的高．

∵AD为△ABC的中线，
∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC，
∵BE为△ABD的中线，
∴S△BED=12S△ABD=14S△ABC=14×20=5
【解析】(1)利用三角形外角的性质即可求得；
(2)过E点作EF⊥BC于F，EF即为△BED的边BD边上的高；三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求出△BDE的面积．
本题主要考查了三角形外角以及三角形中线的性质，作三角形的高，解题的关键是理解三角形的中线，高的定义．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图：△A2B2C2为所求．

(3)S△ABC=2×2−12×1×1−12×2×1−12×1×2=4−12−1−1=32．
【解析】(1)由平移规律先确定A1、B1、C1的坐标，然后再描点、连线即可；
(2)由轴对称的性质先确定A2、B2、C2的坐标，然后再描点、连线即可；
(3)直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积即可解答．
此题考查的是作作图−轴对称变换、平移变换，掌握平移规律是解题的关键．
19.【答案】解(1)∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a−b+c>0，b−a+c>0，c−a−b<0，
|a−b+c|+|b−a+c|+|c−a−b|
=a−b+c+b−a+c+a+b−c
=a+b+c；
(2)当a=5，b=4，c=3时，
原式=a+b+c=5+4+3=12．
【解析】(1)根据三角形的三边关系判断出a−b+c，b−c−a及c−a−b的符号，再根据绝对值的性质化简；
(2)将a=5，b=4，c=3代入(1)化简的结果即可．
本题考查的是三角形的三边关系，化简绝对值，整式的加减，求代数式的值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．
20.【答案】证明：(1)连接BD．

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=12∠BAC．
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=∠DAC=12×120°=60°．
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形；
(2)∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD．
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE=∠ADF．
在△BDE和△ADF中，
∠DBE=∠DAF=60°BD=AD∠BDE=∠ADF，
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF．
【解析】(1)由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD=∠DAC=12×120°=60°，再由AD=AB，即可得出结论；
(2)由△ABD是等边三角形，得出BD=AD，∠ABD=∠ADB=60°，证出∠BDE=∠ADF，由ASA证明△BDE≌△ADF，得出BE=AF．
本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
21.【答案】证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠BDF=90°，
∵BF=AC，FD=CD，
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，
∴∠C=∠BFD，
∵∠DBF+∠BFD=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，
∵∠C+∠DBF+∠BEC=180°
∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．
【解析】由题中条件可得Rt△BDF≌Rt△ADC，得出对应角相等，再通过角之间的转化，进而可得出结论．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，能够熟练运用其性质求解一些简单的计算、证明问题．
22.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)；
(2)解：由(1)知：△ACD≌△BCE，
∴AD=BE=5，
∴AB=AD+BD=5+2=7．
【解析】(1)由∠ACB=∠DCE，得出∠ACD=∠BCE，由SAS证得△ACD≌△BCE；
(2)由(1)知：△ACD≌△BCE，得出AD=BE=5，则AB=AD+BD=7．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
在△ABE和△CAF中，
∠BEA=∠AFC=90°∠EBA=∠CAFAB=AC，
∴△BEA≌△AFC(AAS)．
∴EA=FC，BE=AF，
∴EF=EA+AF=BE+CF；
(2)∵BE⊥EA，CF⊥AF，
∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，
∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△ACF中，
∠BEA=∠AFC=90°∠EBA=∠CAFAB=AC，
∴△BEA≌△AFC(AAS)，
∴EA=FC，BE=AF，
∵EF=AF−AE，
∴EF=BE−CF．
【解析】(1)根据已知条件容易证明△BEA≌△AFC，然后利用对应边相等就可以证明题目的结论；
(2)证明△BEA≌△AFC，则BE=AF，AE=CF，就可以求出EF=BE−CF．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，利用它们解决问题，经常用全等来证线段和的问题．