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2023年云南大学附中中考数学四模试卷（含解析）
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这是一份2023年云南大学附中中考数学四模试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列立体图形中，左视图是圆的是( )
A. B. C. D.
2.我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星距离地面约36000千米．将36000用科学记数法表示应为( )
A. 3.6×103B. 3.6×104C. 36×103D. 0.36×105
3.“小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是( )
A. (a3)2=a6B. (ab)4=ab4C. a6÷a3=a2D. a3⋅a4=a12
4.如图，AB//CD，点E在直线CD上，若∠B=57°，∠AED=38°，则∠AEB的度数为( )
A. 38°B. 57°C. 85°D. 95°
5.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. a>bB. a+b>0C. bc>0D. a<−c
6.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
7.如图是甲、乙两组数据的折线统计图，下列结论中正确的是( )
A. 甲组数据比乙组数据稳定B. 乙组数据比甲组数据稳定
C. 甲、乙两组数据一样稳定D. 不能比较两组数据的稳定性
8.下列一元二次方程两根之和为2的方程为( )
A. x2−2x+3=0B. 2x2+4x−1=0C. 3x2−6x+2=0D. x2−3x+2=0
9.平面直角坐标系中，若点A(x1,2)和B(x2,4)在反比例函数y=kx(k>0)图象上，则下列关系式正确的是( )
A. x1>x2>0B. x2>x1>0C. x110.按一定规律排列的单项式：x3，−x5，x7，−x9，x11，……，第n个单项式是( )
A. (−1)n+1x2n−1B. (−1)nx2n−1C. (−1)n+1x2n+1D. (−1)nx2n+1
11.如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD=6，则阴影部分的面积是( )
A. πB. 2πC. 3πD. 6π
12.昆明“37公里滇池绿道”即将全线贯通，它有机串联了历史文化资源、绿色生态景观和都市休闲风貌等，有望成为滇池片区的新晋热门打卡地．其中的“滇池绿道环草海段”，总长约4千米．甲乙两人同时从该绿道起点出发，沿着绿道徒步，已知甲每小时走x千米，乙的速度是甲的1.5倍，最终乙比甲早20分钟到达绿道终点，则符合题意的方程是( )
A. 4x−41.5x=20B. 41.5x−4x=20C. 41.5x−4x=13D. 4x−41.5x=13
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.若代数式 x+3有意义，则实数x的取值范围是__ ____．
14.因式分解：a3−ab2= ．
15.某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是______．
16.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 8+|2sin45°−1|+(2−π)0−(14)−1．
18.(本小题6分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=CF.求证：△ABC≌△DFE．
19.(本小题7分)
为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______ 名学生，并补全上面条形统计图．
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为______ ；众数为______ ．
(3)该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少人？
20.(本小题7分)
某校准备从八年级1班、2班的团员中选取两名同学作为运动会的志愿者，已知1班有4名团员(其中男生2人，女生2人).2班有3名团员(其中男生1人，女生2人)．
(1)如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为______；
(2)如果分别从1班、2班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．
21.(本小题7分)
某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩.2021年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个.已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变．
(1)求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？
(2)为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装A、B两种型号的充电桩共200个.考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
22.(本小题7分)
如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，OD⊥AC，∠AOD=∠C．
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OD=3，tanC=43，求AE的长．
23.(本小题8分)
如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．
(1)当a=3时，求点D到射线BN的距离；
(2)是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题8分)
已知函数y1=x2+2ax+1与y2=ax+2a+5(a≠−4)．
(1)求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点；
(2)当x>4时，y1>y2，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
故选：D．
左视图是从物体左面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2.【答案】B
【解析】解：36000=3.6×104．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A.由(a3)2=a6，故A选项符合题意；
B. (ab)4=a4b4，故B选项不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故C选项不符合题意；
D.a3⋅a4=a7，故D选项不符合题意．
故选：A．
运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法逐项判定即可．
本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠B+∠BED=180°，
∵∠B=57°，
∴∠BED=180°−∠B=123°，
∵∠AED=38°，
∴∠AEB=∠BED−∠AED=123°−38°=85°，
故选：C．
根据平行线的性质得出∠B+∠BED=180°，进而解答即可．
此题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并能正确运用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
5.【答案】D
【解析】解：A选项，aB选项，∵a<0，b<0，
∴a+b<0，故该选项不符合题意；
C选项，∵b<0，c>0，
∴bc<0，故该选项不符合题意；
D选项，∵a<−4，−c>−1，
∴a<−c，故该选项符合题意；
故选：D．
根据数轴上右边的数总比左边的大判断A选项；根据有理数的加法法则判断B选项；根据有理数的乘法法则判断C选项；根据相反数的意义得到−c的范围来判断D选项．
本题考查了实数与数轴，掌握数轴上互为相反数(不为0)的两个数表示的点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，
(n−2)⋅180°=900°，
解得：n=7．
故选：A．
根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和，体现了方程思想，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：从图中可以看出：甲组数据的折线统计图起伏较大，所以甲组的数据不如乙组的数据稳定，故选B．
折线统计图即可表示各种数量的多少，又可反映出数量的增减变化趋势；图中折线越起伏的表示数据越不稳定，反之，表示数据越稳定，由此即可找出答案．
本题考查对折线统计图的观察分析能力，从折线统计图不仅能看出各种数量的多少，而且还能看出数量的增减变化趋势．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵x2−2x+3=0，
∴Δ=b2−4ac=−8<0，
∴此方程没有实数根，
故此选项错误；
B、∵2x2+4x−1=0，
∴Δ=b2−4ac=24>0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2=−42=−2，
故此选项错误；
C、3x2−6x+2=0，
∴Δ=b2−4ac=12>0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2=−−63=2，
故此选项正确；
D、∵x2−3x+2=0，
∴Δ=b2−4ac=1>0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2=−−31=3，
故此选项错误．
故选：C．
先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用x1+x2=−ba计算即可．
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．利用根的判别式判断时，注意若Δ<0，则方程没有实数根；若△≥0，则方程有实数根．
9.【答案】A
【解析】解：解法一：∵反比例函数y=kx(k>0)，
∴反比例函数y=kx的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A(x1,2)和B(x2,4)都在第一象限，
∵4>2>0，
∴x1>x2>0．
故选：A．
解法二：∵点A(x1,2)和B(x2,4)在反比例函数y=kx(k>0)图象上，
∴2=kx1，4=kx2，
∴x1=k2，x2=k4，
∵k>0，
∴x1>x2>0．
故选：A．
解法一：结合题意根据反比例函数的性质可得，反比例函数y=kx的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，再结合点A，B的坐标即可解答．
解法二：将点A，B的坐标代入反比例函数解析式中，解得x1=k2，x2=k4，根据同分子分式的性质即可比较x1，x2的大小．
本题主要考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比函数的性质或反比例函数图象上点的坐标特征解决问题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
观察指数规律，系数规律和符号规律，进行解答便可．
此题主要考查了数字的变化规律，关键是要分别找出符号与指数的变化规律．
【详解】
解：
∵第1个式子：x3=(−1)1+1x2×1+1，
第2个式子：−x5=(−1)2+1x2×2+1，
第3个式子：x7=(−1)3+1x2×3+1，
第4个式子：−x9=(−1)4+1x2×4+1，
第5个式子：x11=(−1)5+1x2×5+1，
……
∴由上可知，第n个单项式是：(−1)n+1x2n+1，
故选C．
11.【答案】D
【解析】解：如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=∠AOC=60°，OC=CD=6，
∴CD//AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形OCD=60π×62360=6π．
故选：D．
连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD=60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
12.【答案】D
【解析】解：设甲每小时走x千米，则乙的速度是每小时1.5x千米，
根据题意得4x−41.5x=13，
故选：D．
设甲每小时走x千米，则乙的速度是每小时1.5x千米，根据“乙比甲早20分钟到达绿道终点”即可列出方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据时间差为20分钟找出等量关系是解决问题的关键．
13.【答案】x≥−3
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】
解：∵代数式 x+3有意义，
∴x+3≥0，即x≥−3．
故答案为：x≥−3．
14.【答案】a(a+b)(a−b)
【解析】【分析】
先提取公因式，然后再应用平方差公式即可．
本题主要考查提公因式与公式法因式分解，掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
【解答】
解：a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)．
故答案为a(a+b)(a−b)．
15.【答案】112
【解析】解：P(黄灯亮)=560=112．
故答案为：112．
根据题意可得：在1分钟内，红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，故抬头看信号灯时，是黄灯的概率是560=112．
本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
16.【答案】103
【解析】解：由网格可知：BC=1，AD=2，AC= 32+42=5，BC//AD，
∴△OBC∽△ODA，
∴BCAD=COAO，
∴12=5−AOAO，
∴AO=103，
故答案为：103．
由网格可得BC=1，AD=2，AC= 32+42=5，BC//AD，所以△OBC∽△ODA，对应边成比例即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△OBC∽△ODA．
17.【答案】解：原式=2 2+|2× 22−1|+1−4
=2 2+| 2−1|+1−4
=2 2+ 2−1+1−4
=3 2−4．
【解析】利用二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF．
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)．
【解析】由BE与CF相等，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DFE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】100 1.5 1.5
【解析】解：(1)本次调查的人数为：30÷30%=100(人)，
完成作业时间为1.5小时的有：100−12−30−18=40(人)，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
(2)由(1)中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5，
∵100÷2=50，则中位数是1.5，
故答案为：1.5，1.5；
(3)1700×18100=306(名)，
答：估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有306人．
(1)用天完成作业所用时间为1小时的学生人数除以30%可得样本容量，再用样本容量分别减去其他三组的人数可得“1.5小时”的人数，并补全条形统计图即可；
(2)根据条形统计图分析出中位数和众数；
(3)用样本中每天完成作业所用时间为2小时的学生的比例乘总人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】37
【解析】解：(1)1班、2班共有4+3=7名团员，其中男生有2+1=3人，
因此从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为37，
故答案为：37；
(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种能可能出现的结果数，其中一男一女的有6种，
所以这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为612=12．
(1)一共有7名团员，其中男生有3人，可求出抽取一人为男生的概率；
(2)用列表法列举出从1班、2班各取一名团员所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意，
得200x+300y=1250250x+500y=2000，
解这个方程组，得x=1y=3.5；
答：安装A型充电桩和B型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元．
(2)设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了(200−m)个，投入的总费用为w万元，根据题意，得
m≤12(200−m)．
解这个不等式，得m≤6623．
投入的总费用w=1×m+3.5(200−m)．
∴w=−2.5m+700，
∵−2.5<0，
∴w随m增大而减小，
∵m为正整数，当m取最大值66时，w的最小值为w=−2.5×66+700=535(万元)．
答：当A型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元．
【解析】【分析】
(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意即可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求出答案；
(2)设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了(200−m)个，投入的总费用为w万元，根据题意可列出不等式，进而可求出m的取值范围，然后得出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，正确理解题意、列出方程组、不等式及一次函数关系式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)BC与⊙O相切，
理由：∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠A=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE⊥AE，
∵OD⊥AC，
∴OD//BE，AD=DE，
∵AO=OB，
∴BE=2OD=6，
∵∠ABC=∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠A=∠A+∠C=90°，
∴∠ABE=∠C，
∵tanC=43，
∴tan∠ABE=AEBE=43，
∴AE=8．
【解析】(1)由OD⊥AC得到∠AOD+∠A=90°，而∠AOD=∠C，则∠A+∠C=90°，所以∠ABC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
(2)根据三角函数的定义和勾股定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理和三角形中位线定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，过点D作DF⊥BN于点F，
∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°−90°=90°，
∴∠FDC=∠ACB，
∵∠B=∠DFC=90°，
∴∠FDC=∠ACB，
∵∠B=∠DFC=90°，
∴△DFC∽△CBA，
∴DFBC=DCAC=12，
∴DF=12BC=12a，
∵a=3，
∴DF=12a=32，
∴D到射线BN的距离为32；
(2)存在，
①当EC=EA时，
∵∠ACD=90°，
∴EC=EA=12AD，
∵AB//CE//DF，
∴BC=FC=a，
由(1)知，△DFC∽△CBA，
∴FCBA=DCAC=12，
∴FC=12AB=2，
∴a=2，
②当AE=AC时，如图2，AM⊥CE，
∴∠1=∠2，
∵AM//BN，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠4，
由(1)知，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∵∠AGD=∠DFC=90°，
∴△ADG∽△DCF，
∴ADCD=AGDF，
∵AD= AC2+CD2= 5(a2+16)2，AG=a+2，CD= a2+162，
∴ 5212=a+2a2，
∴a=4 5+8，
即：满足条件的a的值为2或4 5+8．
【解析】(1)先判断出∠FDC=∠ACB，进而判断出△DFC∽△CBA，得出DFBC=DCAC=12，即可求出DF，即可；
(2)分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解(1)的关键是判断出∠FDC=∠ACB，解(2)的关键是判断出△DFC∽△CBA和△ADG∽△DCF，解决本题还用到方程的思想，是一道中等难度的中考常考题．
24.【答案】(1)证明：令y1=y2，得x2+2ax+1=ax+2a+5，
∴x2+ax−2a−4=0，
∴Δ=a2−4×(−2a−4)=a2+8a+16=(a+4)2，
∵a≠−4，
∴Δ>0，
∴方程x2+ax−2a−4=0有两个不相等的实数根，
即y1与y2的函数图象总有两个公共点．
(2)解：设y=y1−y2=x2+ax−2a−4，
可知抛物线y=x2+ax−2a−4的图象开口向上．
令y=0，得x2+ax−2a−4=(x−2)(x+a+2)=0，
解得x1=2，x2=−a−2．
若−a−2≤2，满足当x>4时，y>0，
即y1>y2，
∴a≥−4，
∵a≠−4，
∴a>−4；
若2<−a−2，
得a<−4，
∵当x>4时，y1>y2，即y>0，
∴−a−2≤4，
解得a≥−6，
∴−6≤a<−4．
综上所述，a的取值范围为a≥−6且a≠−4．
【解析】(1)令y1=y2，可得x2+ax−2a−4=0，由根的判别式可知，一元二次方程x2+ax−2a−4=0有两个不相等的实数根，即y1与y2的函数图象总有两个公共点．
(2)设y=y1−y2=x2+ax−2a−4，令y=0，可得x1=2，x2=−a−2.分别讨论−a−2≤2和2<−a−2两种情况，结合二次函数的图象可得答案．
本题考查二次函数与不等式(组)、二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
1.下列立体图形中，左视图是圆的是( )
A. B. C. D.
2.我国成功发射北斗系统第55颗导航卫星，暨北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星距离地面约36000千米．将36000用科学记数法表示应为( )
A. 3.6×103B. 3.6×104C. 36×103D. 0.36×105
3.“小马虎”在下面的计算中只做对一道题，你认为他做对的题目是( )
A. (a3)2=a6B. (ab)4=ab4C. a6÷a3=a2D. a3⋅a4=a12
4.如图，AB//CD，点E在直线CD上，若∠B=57°，∠AED=38°，则∠AEB的度数为( )
A. 38°B. 57°C. 85°D. 95°
5.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是( )
A. a>bB. a+b>0C. bc>0D. a<−c
6.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( )
A. 七边形B. 八边形C. 九边形D. 十边形
7.如图是甲、乙两组数据的折线统计图，下列结论中正确的是( )
A. 甲组数据比乙组数据稳定B. 乙组数据比甲组数据稳定
C. 甲、乙两组数据一样稳定D. 不能比较两组数据的稳定性
8.下列一元二次方程两根之和为2的方程为( )
A. x2−2x+3=0B. 2x2+4x−1=0C. 3x2−6x+2=0D. x2−3x+2=0
9.平面直角坐标系中，若点A(x1,2)和B(x2,4)在反比例函数y=kx(k>0)图象上，则下列关系式正确的是( )
A. x1>x2>0B. x2>x1>0C. x1
A. (−1)n+1x2n−1B. (−1)nx2n−1C. (−1)n+1x2n+1D. (−1)nx2n+1
11.如图，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD=6，则阴影部分的面积是( )
A. πB. 2πC. 3πD. 6π
12.昆明“37公里滇池绿道”即将全线贯通，它有机串联了历史文化资源、绿色生态景观和都市休闲风貌等，有望成为滇池片区的新晋热门打卡地．其中的“滇池绿道环草海段”，总长约4千米．甲乙两人同时从该绿道起点出发，沿着绿道徒步，已知甲每小时走x千米，乙的速度是甲的1.5倍，最终乙比甲早20分钟到达绿道终点，则符合题意的方程是( )
A. 4x−41.5x=20B. 41.5x−4x=20C. 41.5x−4x=13D. 4x−41.5x=13
二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分。
13.若代数式 x+3有意义，则实数x的取值范围是__ ____．
14.因式分解：a3−ab2= ．
15.某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是______．
16.如图，在正方形网格中，A，B，C，D是网格线交点，AC与BD相交于点O，小正方形的边长为1，则AO的长为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 8+|2sin45°−1|+(2−π)0−(14)−1．
18.(本小题6分)
如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=CF.求证：△ABC≌△DFE．
19.(本小题7分)
为积极落实“双减”政策，让作业布置更加精准高效，某市教育部门对友谊中学九年级部分学生每天完成作业所用的时间进行调查，并用得到的数据绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______ 名学生，并补全上面条形统计图．
(2)本次抽查学生每天完成作业所用时间的中位数为______ ；众数为______ ．
(3)该校九年级有1700名学生，请你估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有多少人？
20.(本小题7分)
某校准备从八年级1班、2班的团员中选取两名同学作为运动会的志愿者，已知1班有4名团员(其中男生2人，女生2人).2班有3名团员(其中男生1人，女生2人)．
(1)如果从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为______；
(2)如果分别从1班、2班的团员中随机各选取一人，请用画树状图或列表的方法求这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率．
21.(本小题7分)
某市为助力新能源汽车产业的健康发展，打造新能源交通生态城市，近几年在全市范围内安装电动汽车充电桩.2021年该市投入资金1250万元，安装A型充电桩200个和B型充电桩300个；2022年又投入2000万元，安装A型充电桩250个和B型充电桩500个.已知这两年安装A、B两种型号的充电桩单价不变．
(1)求安装A型充电桩和B型充电桩的单价各是多少万元？
(2)为适应电动汽车快速发展的需要，市政府计划2023年再安装A、B两种型号的充电桩共200个.考虑到充电容量等综合因素，决定安装A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.在安装单价不变的前提下，当安装A型充电桩多少个时，所需投入的总费用最少，最少费用是多少万元？
22.(本小题7分)
如图，AB为⊙O的直径，AC交⊙O于点E，OD⊥AC，∠AOD=∠C．
(1)判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若OD=3，tanC=43，求AE的长．
23.(本小题8分)
如图，射线AM平行于射线BN，∠B=90°，AB=4，C是射线BN上的一个动点，连接AC，作CD⊥AC，且AC=2CD，过C作CE⊥BN交AD于点E，设BC长为a．
(1)当a=3时，求点D到射线BN的距离；
(2)是否存在点C，使△ACE是以AE为腰的等腰三角形？若存在，请求出此时a的值；若不存在，请说明理由．
24.(本小题8分)
已知函数y1=x2+2ax+1与y2=ax+2a+5(a≠−4)．
(1)求证：y1与y2的函数图象总有两个公共点；
(2)当x>4时，y1>y2，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
故选：D．
左视图是从物体左面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
2.【答案】B
【解析】解：36000=3.6×104．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：A.由(a3)2=a6，故A选项符合题意；
B. (ab)4=a4b4，故B选项不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故C选项不符合题意；
D.a3⋅a4=a7，故D选项不符合题意．
故选：A．
运用幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法逐项判定即可．
本题主要考查了幂的乘方、积的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘法等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠B+∠BED=180°，
∵∠B=57°，
∴∠BED=180°−∠B=123°，
∵∠AED=38°，
∴∠AEB=∠BED−∠AED=123°−38°=85°，
故选：C．
根据平行线的性质得出∠B+∠BED=180°，进而解答即可．
此题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握并能正确运用平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
5.【答案】D
【解析】解：A选项，a
∴a+b<0，故该选项不符合题意；
C选项，∵b<0，c>0，
∴bc<0，故该选项不符合题意；
D选项，∵a<−4，−c>−1，
∴a<−c，故该选项符合题意；
故选：D．
根据数轴上右边的数总比左边的大判断A选项；根据有理数的加法法则判断B选项；根据有理数的乘法法则判断C选项；根据相反数的意义得到−c的范围来判断D选项．
本题考查了实数与数轴，掌握数轴上互为相反数(不为0)的两个数表示的点位于原点的两侧，且到原点的距离相等是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设多边形的边数为n，
(n−2)⋅180°=900°，
解得：n=7．
故选：A．
根据多边形的内角和公式：(n−2)⋅180°列出方程，解方程即可得出答案．
本题考查了多边形的内角和，体现了方程思想，掌握多边形的内角和=(n−2)⋅180°是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：从图中可以看出：甲组数据的折线统计图起伏较大，所以甲组的数据不如乙组的数据稳定，故选B．
折线统计图即可表示各种数量的多少，又可反映出数量的增减变化趋势；图中折线越起伏的表示数据越不稳定，反之，表示数据越稳定，由此即可找出答案．
本题考查对折线统计图的观察分析能力，从折线统计图不仅能看出各种数量的多少，而且还能看出数量的增减变化趋势．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵x2−2x+3=0，
∴Δ=b2−4ac=−8<0，
∴此方程没有实数根，
故此选项错误；
B、∵2x2+4x−1=0，
∴Δ=b2−4ac=24>0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2=−42=−2，
故此选项错误；
C、3x2−6x+2=0，
∴Δ=b2−4ac=12>0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2=−−63=2，
故此选项正确；
D、∵x2−3x+2=0，
∴Δ=b2−4ac=1>0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2=−−31=3，
故此选项错误．
故选：C．
先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用x1+x2=−ba计算即可．
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系．利用根的判别式判断时，注意若Δ<0，则方程没有实数根；若△≥0，则方程有实数根．
9.【答案】A
【解析】解：解法一：∵反比例函数y=kx(k>0)，
∴反比例函数y=kx的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，
∴A(x1,2)和B(x2,4)都在第一象限，
∵4>2>0，
∴x1>x2>0．
故选：A．
解法二：∵点A(x1,2)和B(x2,4)在反比例函数y=kx(k>0)图象上，
∴2=kx1，4=kx2，
∴x1=k2，x2=k4，
∵k>0，
∴x1>x2>0．
故选：A．
解法一：结合题意根据反比例函数的性质可得，反比例函数y=kx的图象经过一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小，再结合点A，B的坐标即可解答．
解法二：将点A，B的坐标代入反比例函数解析式中，解得x1=k2，x2=k4，根据同分子分式的性质即可比较x1，x2的大小．
本题主要考查反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是明确题意，利用反比函数的性质或反比例函数图象上点的坐标特征解决问题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
观察指数规律，系数规律和符号规律，进行解答便可．
此题主要考查了数字的变化规律，关键是要分别找出符号与指数的变化规律．
【详解】
解：
∵第1个式子：x3=(−1)1+1x2×1+1，
第2个式子：−x5=(−1)2+1x2×2+1，
第3个式子：x7=(−1)3+1x2×3+1，
第4个式子：−x9=(−1)4+1x2×4+1，
第5个式子：x11=(−1)5+1x2×5+1，
……
∴由上可知，第n个单项式是：(−1)n+1x2n+1，
故选C．
11.【答案】D
【解析】解：如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
又∵OC=OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠OCD=∠AOC=60°，OC=CD=6，
∴CD//AB，
∴S△ACD=S△OCD，
∴S阴影=S扇形OCD=60π×62360=6π．
故选：D．
连接OC、OD，根据C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，可得∠COD=60°，△OCD是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积求解即可．
本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，难度一般．
12.【答案】D
【解析】解：设甲每小时走x千米，则乙的速度是每小时1.5x千米，
根据题意得4x−41.5x=13，
故选：D．
设甲每小时走x千米，则乙的速度是每小时1.5x千米，根据“乙比甲早20分钟到达绿道终点”即可列出方程．
本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据时间差为20分钟找出等量关系是解决问题的关键．
13.【答案】x≥−3
【解析】【分析】
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】
解：∵代数式 x+3有意义，
∴x+3≥0，即x≥−3．
故答案为：x≥−3．
14.【答案】a(a+b)(a−b)
【解析】【分析】
先提取公因式，然后再应用平方差公式即可．
本题主要考查提公因式与公式法因式分解，掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
【解答】
解：a3−ab2=a(a2−b2)=a(a+b)(a−b)．
故答案为a(a+b)(a−b)．
15.【答案】112
【解析】解：P(黄灯亮)=560=112．
故答案为：112．
根据题意可得：在1分钟内，红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，故抬头看信号灯时，是黄灯的概率是560=112．
本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
16.【答案】103
【解析】解：由网格可知：BC=1，AD=2，AC= 32+42=5，BC//AD，
∴△OBC∽△ODA，
∴BCAD=COAO，
∴12=5−AOAO，
∴AO=103，
故答案为：103．
由网格可得BC=1，AD=2，AC= 32+42=5，BC//AD，所以△OBC∽△ODA，对应边成比例即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△OBC∽△ODA．
17.【答案】解：原式=2 2+|2× 22−1|+1−4
=2 2+| 2−1|+1−4
=2 2+ 2−1+1−4
=3 2−4．
【解析】利用二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂计算即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18.【答案】证明：∵BE=CF，
∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF．
在△ABC和△DFE中，
AB=DFAC=DEBC=FE，
∴△ABC≌△DFE(SSS)．
【解析】由BE与CF相等，利用等式的性质得到BC=EF，利用SSS得到三角形ABC与三角形DFE全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
19.【答案】100 1.5 1.5
【解析】解：(1)本次调查的人数为：30÷30%=100(人)，
完成作业时间为1.5小时的有：100−12−30−18=40(人)，
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：100；
(2)由(1)中的条形统计图可知，抽查学生完成作业所用时间的众数是1.5，
∵100÷2=50，则中位数是1.5，
故答案为：1.5，1.5；
(3)1700×18100=306(名)，
答：估计九年级学生中，每天完成作业所用时间为2小时的学生约有306人．
(1)用天完成作业所用时间为1小时的学生人数除以30%可得样本容量，再用样本容量分别减去其他三组的人数可得“1.5小时”的人数，并补全条形统计图即可；
(2)根据条形统计图分析出中位数和众数；
(3)用样本中每天完成作业所用时间为2小时的学生的比例乘总人数即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20.【答案】37
【解析】解：(1)1班、2班共有4+3=7名团员，其中男生有2+1=3人，
因此从这两个班的全体团员中随机选取一名同学作为志愿者的组长，则这名同学是男生的概率为37，
故答案为：37；
(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种能可能出现的结果数，其中一男一女的有6种，
所以这两名同学恰好是一名男生、一名女生的概率为612=12．
(1)一共有7名团员，其中男生有3人，可求出抽取一人为男生的概率；
(2)用列表法列举出从1班、2班各取一名团员所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意，
得200x+300y=1250250x+500y=2000，
解这个方程组，得x=1y=3.5；
答：安装A型充电桩和B型充电桩的单价分别是1万元和3.5万元．
(2)设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了(200−m)个，投入的总费用为w万元，根据题意，得
m≤12(200−m)．
解这个不等式，得m≤6623．
投入的总费用w=1×m+3.5(200−m)．
∴w=−2.5m+700，
∵−2.5<0，
∴w随m增大而减小，
∵m为正整数，当m取最大值66时，w的最小值为w=−2.5×66+700=535(万元)．
答：当A型充电桩安装66个时，所需投入的总费用最少，最少的费用为535万元．
【解析】【分析】
(1)设安装A型充电桩的单价为x万元，B型充电桩的单价y万元，根据题意即可列出关于x、y的方程组，解方程组即可求出答案；
(2)设A型充电桩安装了m个，则B型充电桩安装了(200−m)个，投入的总费用为w万元，根据题意可列出不等式，进而可求出m的取值范围，然后得出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质求最值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用等知识，正确理解题意、列出方程组、不等式及一次函数关系式是解题的关键．
22.【答案】解：(1)BC与⊙O相切，
理由：∵OD⊥AC，
∴∠ADO=90°，
∴∠AOD+∠A=90°，
又∵∠AOD=∠C，
∴∠A+∠C=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)连接BE，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE⊥AE，
∵OD⊥AC，
∴OD//BE，AD=DE，
∵AO=OB，
∴BE=2OD=6，
∵∠ABC=∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠A=∠A+∠C=90°，
∴∠ABE=∠C，
∵tanC=43，
∴tan∠ABE=AEBE=43，
∴AE=8．
【解析】(1)由OD⊥AC得到∠AOD+∠A=90°，而∠AOD=∠C，则∠A+∠C=90°，所以∠ABC=90°，然后根据切线的判定定理即可得到BC是⊙O的切线；
(2)根据三角函数的定义和勾股定理即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理和三角形中位线定理，三角函数的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，过点D作DF⊥BN于点F，
∵∠FDC+∠FCD=90°，∠FCD+∠ACB=180°−90°=90°，
∴∠FDC=∠ACB，
∵∠B=∠DFC=90°，
∴∠FDC=∠ACB，
∵∠B=∠DFC=90°，
∴△DFC∽△CBA，
∴DFBC=DCAC=12，
∴DF=12BC=12a，
∵a=3，
∴DF=12a=32，
∴D到射线BN的距离为32；
(2)存在，
①当EC=EA时，
∵∠ACD=90°，
∴EC=EA=12AD，
∵AB//CE//DF，
∴BC=FC=a，
由(1)知，△DFC∽△CBA，
∴FCBA=DCAC=12，
∴FC=12AB=2，
∴a=2，
②当AE=AC时，如图2，AM⊥CE，
∴∠1=∠2，
∵AM//BN，
∴∠2=∠4，
∴∠1=∠4，
由(1)知，∠3=∠4，
∴∠1=∠3，
∵∠AGD=∠DFC=90°，
∴△ADG∽△DCF，
∴ADCD=AGDF，
∵AD= AC2+CD2= 5(a2+16)2，AG=a+2，CD= a2+162，
∴ 5212=a+2a2，
∴a=4 5+8，
即：满足条件的a的值为2或4 5+8．
【解析】(1)先判断出∠FDC=∠ACB，进而判断出△DFC∽△CBA，得出DFBC=DCAC=12，即可求出DF，即可；
(2)分两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可得出结论．
此题是三角形综合题，主要考查勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解(1)的关键是判断出∠FDC=∠ACB，解(2)的关键是判断出△DFC∽△CBA和△ADG∽△DCF，解决本题还用到方程的思想，是一道中等难度的中考常考题．
24.【答案】(1)证明：令y1=y2，得x2+2ax+1=ax+2a+5，
∴x2+ax−2a−4=0，
∴Δ=a2−4×(−2a−4)=a2+8a+16=(a+4)2，
∵a≠−4，
∴Δ>0，
∴方程x2+ax−2a−4=0有两个不相等的实数根，
即y1与y2的函数图象总有两个公共点．
(2)解：设y=y1−y2=x2+ax−2a−4，
可知抛物线y=x2+ax−2a−4的图象开口向上．
令y=0，得x2+ax−2a−4=(x−2)(x+a+2)=0，
解得x1=2，x2=−a−2．
若−a−2≤2，满足当x>4时，y>0，
即y1>y2，
∴a≥−4，
∵a≠−4，
∴a>−4；
若2<−a−2，
得a<−4，
∵当x>4时，y1>y2，即y>0，
∴−a−2≤4，
解得a≥−6，
∴−6≤a<−4．
综上所述，a的取值范围为a≥−6且a≠−4．
【解析】(1)令y1=y2，可得x2+ax−2a−4=0，由根的判别式可知，一元二次方程x2+ax−2a−4=0有两个不相等的实数根，即y1与y2的函数图象总有两个公共点．
(2)设y=y1−y2=x2+ax−2a−4，令y=0，可得x1=2，x2=−a−2.分别讨论−a−2≤2和2<−a−2两种情况，结合二次函数的图象可得答案．
本题考查二次函数与不等式(组)、二次函数图象与系数的关系、二次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
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