精品解析：广东省深圳市龙华区万安学校2021-2022学年九年级下学期数学期末试卷

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一．选择题（共10小题）
1. ﹣2022的绝对值是（ ）
A. B. C. 2022D. ﹣2022
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的意义可直接得出答案．
【详解】解：−2022的绝对值是2022，
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是解题的关键．
2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；根据中心对称图形的概念作出判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查中心对称图形的判断，熟记中心对称图形的概念是解答本题的关键．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3. 中国科学技术大学构建的量子计算原型机，被命名为“九章”，可在一分钟完成经典超级计算机100000000年才能完成的任务，100000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将100000000用科学记数法表示为：1×108．
故选C.
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法.
4. 下列各图不是正方体表面展开图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A、是正方体表面展开图，不符合题意；
B、是正方体表面展开图，不符合题意；
C、是正方体表面展开图，不符合题意；
D、有“田”字格，不是正方体表面展开图，符合题意．
故选D．
5. 15名学生演讲赛的成绩各不相同，若某选手想知道自己能否进入前8名，则他不仅要知道自己的成绩，还应知道这15名学生成绩的（ ）
A. 平均数B. 众数C. 方差D. 中位数
【答案】D
【解析】
【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第8名的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：D．
【点睛】本题考查统计量的选择，解题的关键是明确题意，选取合适的统计量．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3＝a5B. a2•a3＝a6C. （a2）3＝a5D. a5÷a3＝a2
【答案】D
【解析】
【分析】根据同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法计算即可．
【详解】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，错误；
B、a2•a3＝a5，错误；
C、（a2）3＝a6，错误；
D、a5÷a3＝a2，正确．
故选：D．
【点睛】此题考查同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法，关键是根据法则进行计算．
7. 如图，若，则下列结论正确的是（ ）
A ∠1＝∠2B. ∠2＝∠3C. ∠1＝∠3D. ∠2＝∠4
【答案】D
【解析】
【分析】由，根据同旁内角互补两直线平行，可证得，再根据平行线的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
8. 今日，上海疫情防控形势严峻，某工厂计划生产1000套防护服，由于工人加班加点，实际每天比计划多制作20%，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天制作x套防护服，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设原计划每天制作x套防护服，则实际每天制作为（1+20%）x，根据结果比原计划提前2天完成任务，列出方程即可．
详解】解：设原计划每天制作x套防护服，
可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
9. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，对角线AC，BD交于点O，sin∠COD=，P为AD上一动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，分别以PE，PF为边向外作正方形PEGH和PFMN，面积分别为S1，S2．则下列结论：①BD=8；②点P在运动过程中，PE+PF的值始终保持不变，为；③S1+S2的最小值为6；④当PH：PN=5：6时，则DM：AG=5：6．其中正确的结论有（ ）
A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】由特殊角的三角函数值可得出∠COD=60°，再结合矩形的性质可证△AOB和△COD是等边三角形，即得出BD=2OA=2AB=8，可判断①正确；连接OP，由勾股定理可求出BC=，再根据矩形的性质可求出S△AOD=S矩形ABCD=，最后由 S△AOD=S△AOP+S△DOP结合三角形面积公式即可求出PE+PF的长，可判断②正确；由，即得出PE2+PF2≥2PE•PF，从而由S1+S2=PE2+PF2≥(PE+PF)2=6，得出当且仅当PE=PF=时，等号成立，可判断③正确；由题意易证△APE∽△DPF，即得出．再由，得出 ，可判断④错误．
【详解】解：①∵sin∠COD=，
∴∠COD=60°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC=OD=OB，
∴△AOB和△COD是等边三角形，
∴BD=2OA=2AB=8，故①正确；
②如图，连接OP，
由①知BD=8，
∴矩形ABCD的两边AB=4，BC=，
∴S矩形ABCD=AB•BC=，
∴S△AOD=S矩形ABCD=，OA=OD=4，
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA(PE+PF)=×4×(PE+PF)=，
∴PE+PF=，故②正确；
③∵，
∴PE2+PF2≥2PE•PF，
∴S1+S2=PE2+PF2=( PE2+PF2+PE2+PF2)≥(PE2+PF2+2PE•PF)=(PE+PF)2=6，
当且仅当PE=PF=时，等号成立，故③正确；
④∵∠AEP=∠DFP，∠PAE=∠PDF，
∴△APE∽△DPF，
∴．
∵，
∴，故④错误．
综上所述，其中正确的结论有①②③．
故选B．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识，较难．利用数形结合的思想是解题关键．
二．填空题（共5小题）
11. 化简：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】先将分母因式分解，再根据分式的基本性质约分即可．
【详解】
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的除法以及利用完全平方公式因式分解，解答本题的关键是掌握分式的基本性质以及因式分解的方法．
12. 五张看上去无差别的卡片，正面分别写着数字1，2，2，3，5，现把它们的正面向下，随机地摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽到数字“2”的卡片的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据有五张质地、大小、反面完全相同的不透明卡片，其中2共2个，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】∵共有5个数字，数字“2”的卡片有2个，
∴抽到数字“2”的卡片的概率是．
故答案为．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，解题关键是熟记概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 已知关于x的方程x2+x+2a﹣1＝0的一个根是0，则a＝_____．
【答案】.
【解析】
【分析】把x=0代入方程可得．
【详解】解：把x=0代入方程可得：
2a－1＝0，
解得a=．
故答案为
【点睛】本题考核知识点：一元二次方程的根.解题关键点：解一元一次方程．
14. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF=90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是______（用含m的代数式表示）
【答案】##
【解析】
【分析】连接BD，先根据等腰直角三角形的性质，结合“ASA”证明△ADE≌△BDF，得出AE=BF，DE=DF，根据勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】解：连接BD，如图所示：
∵在等腰Rt△ABC中，点D是AC的中点，
∴BD⊥AC，
∴BD=AD=CD，
∵∠ABC=90°，AB=CB=2，
∴∠DBC=∠A=45°，BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵∠EDF=90°，
∴，
∴∠ADE=∠BDF，
∵在△ADE和△BDF中，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，DE=DF，
∵在Rt△DEF中，DF=DE=m，
∴，
∴△BEF的周长为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是判断出DF=DE．
15. 如图，过点A折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，连接D，点F为D的中点，则CF的最小值为 _____．
【答案】-1##-1+
【解析】
【分析】连接AF，证明∠AFD＝90°，则有F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，采用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，
∵折叠边长为2的正方形ABCD，使B落在，
∴A＝AB，
∴A＝AD，
∵F为D的中点，
∴AF⊥D，
∴∠AFD＝90°，
∴F在以AD为直径的圆上，取AD的中点G，连接CG交圆于点F，则CF为最小值，
∵DG＝AD＝1，CD＝2，
∴，
∴．
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、折叠的性质以及圆的相关知识，根据∠AFD＝90°，判断点F在以AD为直径的圆上，是解答本题的关键．
三．解答题（共7小题）
16. （1）计算:；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）5；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂和化简绝对值，再进行四则混合运算即可；
（2）根据解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：x-1，
∴原不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查实数的混合运算和解一元一次不等式组．掌握运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题关键．
17. 如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请按要求画图．
（1）如图1，画出一条线段，使在格点上；
（2）如图2，画出一条线段，使互相平分，均在格点上；
（3）如图3，以为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；
（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF；
（3）画出平行四边形ABPQ即可．
【详解】解：（1）如图1，线段AC即为所作；
（2）如图2，线段EF即为所作；
（3）四边形ABPQ为所作；
【点睛】本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18. 学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
______，______．
该调查统计数据的中位数是______，众数是______．
请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；
若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
【答案】17、20；2次、2次；；人．
【解析】
【分析】(1)先由借阅1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a的值，用3次的人数除以总人数求得b的值；
(2)根据中位数和众数的定义求解；
(3)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；
(4)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【详解】解：被调查的总人数为人，
，，即，
故答案为17、20；
由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次，
故答案为2次、2次；
扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为；
估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为人．
【点睛】本题考查了统计表、扇形统计图、众数、中位数等，读懂统计图、统计表，从中得到必要的信息是解决问题的关键.注意众数与中位数的求解方法.
19. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D，E是BC的中点，DE交BA的延长线于F．
（1）求证：FD是圆O的切线；
（2）若BC=4，FB=8，求AB的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，可得根据直角三角形斜边上的中线可得，进而根据，等量代换可得，即可证明FD是圆O的切线；
（2）利用勾股定理求得长，进而根据切线长定理求得，即可求得，在中，勾股定理建立方程求得半径，进而求得的长．
【小问1详解】
连接，，
是的直径，
．
．
．
是的中点，
．
．
，
．
．
即．
是半径，
是圆O的切线；
【小问2详解】
如图，连接，
为的中点，BC=4，FB=8，
，是的切线，
是的切线，
．
在中，，
，
，
设的半径为，则，
在中，，
，
即，
解得，
．
【点睛】本题考查了切线性质与判定，勾股定理解直角三角形，切线长定理，掌握切线的性质与判定是解题的关键．
20. 某学校是乒乓球体育传统项目学校，为进一步推动该项目的开展，学校准备到体育用品店购买直拍球拍和横拍球拍若干副，并且每买一副球拍必须要买10个乒乓球，乒乓球的单价为2元/个，若购买20副直拍球拍和15副横拍球拍花费9000元；购买10副横拍球拍比购买5副直拍球拍多花费1600元．
（1）求两种球拍每副各多少元？
（2）若学校购买两种球拍共40副，且直拍球拍的数量不多于横拍球拍数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】（1）直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元；（2）购买直拍球拍30副，则购买横拍球拍10副时，费用最少．
【解析】
【分析】（1）设直拍球拍每副x元，根据题中的相等关系：20副直拍球拍的价钱+15副横拍球拍的价钱＝9000元；10副横拍球拍价钱－5副直拍球拍价钱＝1600元，建立方程组即可求解；
（2）设购买直拍球拍m副，根据题意列出不等式可得出m的取值范围，再根据题意列出费用关于m的一次函数，并根据一次函数的性质解答即可.
【详解】解：（1）设直拍球拍每副x元，横拍球拍每副y元，由题意得，

解得， ，
答：直拍球拍每副220元，横拍球拍每副260元；
（2）设购买直拍球拍m副，则购买横拍球拍（40-m）副，
由题意得，m≤3（40-m），
解得，m≤30，
设买40副球拍所需的费用为w，
则w=（220+20）m+（260+20）（40-m）
=-40m+11200，
∵-40＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=30时，w取最小值，最小值为-40×30+11200=10000（元）．
答：购买直拍球拍30副，则购买横拍球拍10副时，费用最少．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组、不等式和一次函数的性质等知识点.在解题中要利用题中的相等关系和不等关系建立方程组和不等式，而难点在于要借助一次函数建立解决实际问题的模型并根据自变量的取值范围和一次函数的增减性作出决策.
21. 小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝－1；若x＜0时，[x]＝－x＋1，小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．
（1）下列关于该函数图像的性质正确的是 ；（填序号）
①y随x的增大而增大；②该函数图像关于y轴对称；
③当x＝0时，函数有最小值为－1；④该函数图像不经过第三象限．
（2）在平面直角坐标系xy中画出该函数图像；
①若函数值，则＝ ．
②若关于x的方程＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图像，直接写出c的取值范围是 ．
【答案】（1）③ ④ （2）① 3或-7；② 或
【解析】
【分析】（1）画出函数的图像,根据图像信息判断正误即可．
（2）①分x≥0时和x＜0两种情况求解即可．
②画出图像，转化为y=2x+c与y=[x]的交点问题探解．
【小问1详解】
∵y＝[x]，若x≥0时，[x]＝－1；若x＜0时，[x]＝－x＋1，
∴画图像如下：当x≥0时，y随x的增大而增大，故①说法是错误的；
观察图像，不能关于y轴对称，故②说法是错误的；
当x＝0时，函数有最小值为－1；故③说法正确；
该函数图像不经过第三象限，故④说法正确；
故答案为：③ ④．
【小问2详解】
①当x≥0时，－1=8，
解得x=3，x=-3(舍去)；
当x＜0时，-x+1=8，
解得x=-7，
故答案为：3或-7．
②画图像如下：
当c＞1时，y=2x+c与y=-x+1和y=－1 各有一个交点，符合题意；
当c≤-1时，y=2x+c与y=－1 构成的方程有两个不同的交点，也符合题意，
此时，有-2x-c－1=0，
∴，
∴，
解得，c＞-2，
故c的范围是-2＜c≤-1，
综上所述，符合题意c的取值范围是c＞1或-2＜c≤-1．
【点睛】本题考查了新定义问题，抛物线的性质，一次函数与二次函数的相交问题，根的判别式，熟练掌握抛物线的性质，灵活运用根的判别式是解题的关键．
22. 折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，如折小花、飞机、小船等，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．
【操作发现】（1）如图1将一个正方形先沿EF折叠得到图2，再将图2进行第二次折叠，使点E和点F重合，折痕与正方形的边交于点M、N，如图3，打开这张正方形的纸得到两条折痕EF和MN，如图4这两条折痕的位置关系为 ，＝ ．
【探究证明】（2）如图5，将AB＝1，AD＝3的长方形按（1）的方式进行折叠，同样得到两条折痕EF和MN，（1）中的结论是否还成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由．
【拓展延伸】（3）Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，将△ABC沿着斜边AB翻折后得的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD，将四边形ACBD分别沿着顶点A和顶点D折叠得到两条互相垂直的折痕，交四边形的另两条边于点M和点N，＝ ．
【答案】（1）垂直，1；（2）位置关系成立，＝1不成立，理由见解析（3）
【解析】
【分析】(1）过点没M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H，利用ASA证明△EHF≌△MGN，得MN=EF，即可得出答案；
(2）过点M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H，根据两个角相等证明△EHF∽△MGN，得；
(3）连接CD，交AB于G，则AB垂直平分CD，证明△DCM∽△ABN，得，利用勾股定理求出AB，利用等积法求出CG，从而得出CD，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，过点M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H，
则MG＝EH=AB=BC，∠EHF＝∠MGN，MG⊥EH，
由折叠知，∠MOE＝90°，
∴∠GMN＝∠HEF，
∴△EHF≌△MGN（ASA），
∴MN＝EF，
∴＝1，
故答案为：垂直，1；
（2）位置关系成立，＝1不成立，
过点M作MG⊥BC于G，过点E作EH⊥CD于H，
则∠EHF＝∠MGN＝90°，MG⊥EH，
由折叠知，∠MOE＝90°，
∴∠GMN＝∠HEF，
∴△EHF∽△MGN，
∴；
（3）连接CD，交AB于G，
∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB垂直平分CD，
∵AN⊥DM，
∴∠BAN＝∠CDM，
∵∠ACB＝∠CGB＝90°，
∴∠MCD＝∠ABN，
∴△DCM∽△ABN，
∴，
∵Rt△ABC中，BC＝1，AC＝3，
∴AB＝，
∴CG＝＝，
∴CD＝2CG＝，
∴＝，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握十字架模型是解题的关键．借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
a
10
3