山东省淄博市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份山东省淄博市2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共21页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于什么对称什么不变来解答.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为
故选：C.
2. 已知直线和互相垂直，则a的值为（ ）
A. 1B. C. D. 1或
【答案】D
【解析】
【分析】利用直线垂直的公式计算即可.
【详解】直线和互相垂直,
，
解得或.
故选：D.
3. 十进制的算筹计数法是中国数学史上一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数字1~9的一种方法.例如：3可表示为“”，26可表示为“”，现用6根算筹表示不含0的无重复数字的三位数，算筹不能剩余，则这个三位数能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意用根算筹组成的无重复数字三个数字组合为；；；，再由排列数计算总的基本事件的个数以及能被整除的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】用根算筹组成满足题意的无重复三个数字组合为；；；，
三位数有；；；这四种情况每一种情况三个数的全排列，有种，
能被整除的基本事件的个数为的全排列，有种，
所以这个三位数能被3整除的概率为，
故选：A.
4. 某同学画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体），发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆（如图所示）若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，，，，由离心率求得，从而可得∠BAM的余弦值，得角的大小．
【详解】如图，“切面”所在平面与底面所成的角为∠BAM，设圆的半径为r，
则，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5. 近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲､乙､丙三人通过强基计划概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】甲、乙、丙三人通过强基计划为相互独立事件,根据概率的乘法公式求解.
【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,显然为相互独立事件,
则“三人中恰有两人通过”相当于事件,且互斥,
∴
.
故选:C.
6. 如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；
【详解】解：以D为原点，以，，的方向分别作为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，所以，，所以所求角的余弦值为．
故选：A
7. 已知F为抛物线C：x2=8y的焦点，P为抛物线C上一点，点M的坐标为，则周长的最小值是（ ）
A. B. C. 9D.
【答案】B
【解析】
【分析】的周长最小，即求最小，过P做抛物线准线的垂线，垂足为,转化为求最小，数形结合即可求解.
【详解】
如图：由已知，准线方程，在抛物线内部，
作准线于， 准线于，
所以，
由抛物线定义知，当且仅当三点共线时取最小值，
故周长的最小值是.
故选：B
8. 已知圆与圆有且仅有一条公切线，若，且，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】先通过条件得两圆内切，利用圆与圆的位置关系得关系，再利用关系及基本不等式求的最小值.
【详解】圆的圆心为，半径
圆的圆心为，半径，
两圆有且仅有一条公切线，
两圆内切，
，即，
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得0分．
9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确
故选：BD
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题
10. 在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用坐标法，设，可得平面的法向量，进而即得.
【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，设，
所以，，
设为平面的法向量，
则有： ，令，可得，
则点到平面的距离为，
因为，所以距离的范围是.
故选：CD.
11. 已知双曲线的左焦点，过且与轴垂直的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 双曲线的两条渐近线所成的锐角为
C. 到双曲线渐近线的距离为
D. 双曲线离心率为
【答案】AB
【解析】
【分析】由左焦点，得，再根据的面积为，由，求得双曲线的方程，再逐项判断.
【详解】因为双曲线的左焦点为，
所以，
将代入双曲线得，
所以过与轴垂直的直线与双曲线交于，
所以的面积为，即，
又，
所以，
所以双曲线的方程为，故正确;
则双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的倾斜角为，
则两渐近线所成的锐角为，故B正确;
不妨取渐近线，即，
到双曲线渐近线的距离为,故C错误﹔
双曲线的离心率为.故D错误;
故选：AB
12. 已知圆，圆，则（ ）
A. 若圆与圆无公共点，则
B. 当时，两圆公共弦长所在直线方程为
C. 当时，P、Q分别是圆与圆上的点，则的取值范围为
D. 当时，过直线上任意一点分别作圆、圆切线，则切线长相等
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两圆无公共点可得，圆内含或外离，从而求出的范围，判断A错；由两圆的方程作差，即可得出公共弦所在直线方程，判断B正确；由，先判断两圆位置关系，进而可得范围，判断C正确；根据两点间的距离公式，分别求出直线上任意一点到两圆心的距离，进而求出切线长，即可判断D正确.
【详解】由题意，圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为；
则圆心距为；
A选项，若圆与圆无公共点，则只需或，解得或，故A错；
B选项，若，则圆，由与两式作差，可得两圆公共弦所在直线方程为，故B正确；
C选项，若，则，此时，所以圆与圆相离；又P、Q分别是圆与圆上的点，所以，
即，故C选项正确；
D选项，当时，由A选项可知，两圆外离；
记直线上任意一点为，则，
所以，
，
因此切线长分别为，，
即，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：
求解本题的关键在于熟记圆与圆位置关系、公共弦所在直线方程的求法，以及圆的切线长的求法等，结合题中条件，即可求解.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量，则向量与向量不共线的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有种结果，向量与向量不共线的对立事件是与向量共线，根据向量共线的条件得到，列举出所有的结果数，得到共线的概率，从而求得不共线的概率.
【详解】由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有种结果，
当向量与共线时，有，即，
满足这种条件的有，共有3种结果，
向量与共线的概率，
根据对立事件，向量与不共线的概率，
故答案为：.
14. 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，则＝___
【答案】1
【解析】
【详解】由可得焦点坐标为，准线方程为，
设过点直线方程为代入抛物线方程，得，
化简后为：，设，
则有，根据抛物线定义可知，，，故答案为.
15. 直线恒过定点，则点关于直线对称的点N坐标为_________．
【答案】
【解析】
【分析】先通过观察可得到定点，再利用直线与直线垂直，以及线段的中点在直线上列方程求解点N坐标.
【详解】直线，即，
当，即时，，
故直线恒过定点，
设点关于直线对称的点N坐标为，
，
，即，
故答案为：.
16. 定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”.已知椭圆是“黄金椭圆”，则___________，若“黄金椭圆”两个焦点分别为、，P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接并延长交于点N，则___________．
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】由离心率的定义可求得，利用结合椭圆定义可求解．
【详解】由题，，所以．
如图，连接，设内切圆半径为，
则，即，
，
∴，
∴
∴，
∴．
故答案为：；．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 11分制乒乓球比赛，每赢1球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．已知甲乙两位同学进行11分制乒乓球比赛，双方10：10平后，甲先发球､假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．
（1）求事件“两人又打了2个球比赛结束”的概率：
（2）求事件“两人又打了4个球比赛结束且甲获胜”的概率．
【答案】（1）0.5 （2）0.1
【解析】
【分析】（1）设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，则由能求出结果．
（2）且甲获胜，由此能求出事件“且甲获胜”的概率．
【小问1详解】
设双方10：10平后的第个球甲获胜为事件，又打了个球比赛结束，
则；
【小问2详解】
且甲获胜
.
18. 已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线与双曲线C交于A，B两点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）焦点在轴上，设方程为根据题意求出即可
（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可
【小问1详解】
因为焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，
由题意得，
所以，①
又双曲线的一条渐近线为，
所以，②
又，③
联立上述式子解得，，
故所求方程为；
【小问2详解】
设，，
联立，整理得，
由，
所以，，
即
19. 如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
（1）用向量表示；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算，再开方即可求解
【小问1详解】
因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足．
所以
．
【小问2详解】
因为四面体是正四面体，则，
，
，
所以．
20. 设为坐标原点，曲线上有两点关于直线对称，又满足.
（1）求的值；
（2）求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，得到圆心和半径，根据题意可得圆心在直线上，进而可求出的值；
（2）先由题意设，直线的方程为，联立直线与圆的方程，结合韦达定理、判别式等，即可求出结果.
【小问1详解】
曲线方程可化为，圆心为，半径为的圆.
因为在圆上且关于直线对称，
所以圆心在直线上，代入得，.
【小问2详解】
因为直线与直线垂直，则直线的方程为.
设，将直线代入圆的方程，得，
由，解得.
所以，，，
因为，则，所以，解得，
故所求直线方程为.
21. 已知三棱锥的平面展开图中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，（如图2所示）．
在三棱锥中：
（1）证明：平面平面；
（2）若点为棱上一点且，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取中点为，由已知可得，，然后求出和，利用勾股定理证明，结合，即可证得平面，进一步证明面面垂直；
（2）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出的坐标，求出点的坐标.然后求出平面与平面的法向量，利用向量法即可求出答案.
【小问1详解】
由已知，可得，，，.
如图3，取中点为，连结、.
因为是的中点，，所以，同理.
又因为，所以，同理.
在中，有，
所以为直角三角形，所以.
因为，平面，平面，
所以平面
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，两两垂直，
以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图4，建立空间直角坐标系.
则，，，，，所以.
由，可得.
所以，则.
设是平面的一个法向量.
因为，，
所以，即，
取，则，，所以.
设是平面的一个法向量.
因为，，
所以，即，
取，则，，则.
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
22. 已知椭圆的焦距为，分别为左右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点的切线方程为．点为直线上的动点，过点作椭圆的两条不同切线，切点分别为，直线交轴于点．证明：为定点；
【答案】（1）；
（2）证明见详解.
【解析】
【分析】（1）由已知可得，，求出的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设，，，根据已知可得以及方程，代入点坐标，即可得出直线的方程.令，可求得为常数.
【小问1详解】
如图1，由已知可得，，
所以.
又，所以，.
所以，椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，，.
则由已知可得，方程为：，方程为：.
将代入、方程整理可得，
，.
显然、点坐标都满足方程.
即直线的方程为，
令，可得，即点坐标.
所以，为定点.