2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期第三次月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雅礼中学高二上学期第三次月考数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足：(z+i)(1+i)=2，则z=．( )
A. 1B. 2C. 5D. 3
2.函数y=f(x)与函数y=2x+1−1图像关于直线x=2对称，则f(4)的值为
( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
3.直线l1:(a2−4)x+y−1=0,直线l2:x+(a−2)y+3=0，则直线l1⊥l2是a=−3的
( )
A. 充分不要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件
4.cs975°的值为
( )
A. 6− 24B. 2− 64C. 2+ 64D. − 6+ 24
5.椭圆x2a2+y24=1，与双曲线y2a−x22=1有相同焦点，则a的值为
( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.集合A={(x,y)x2+y2=a}(a>0)，集合B={(x,y)x+y=2，若A∩B中有8个元素，则a值可能为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
7.公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn，前n项积为Tn，S2024=x,T2024=y1012，若数列{an}各项为正，则数列{1an}的前2024项和为( )
A. x1012yB. y1012xC. yxD. xy
8.双曲线x2a2−y2b2=1左右焦点分别为F1,F2，过点F2直线l1与双曲线右支交于A，B两点，弦AB的中垂线交X轴于P，若AB=PF2，则该双曲线渐近线方程为
( )
A. x±2y=0B. 2x±y=0C. 3x±y=0D. x± 3y=0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.直线l:y=m(x+1)− 3与直线x+y−2=0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角θ可能是
( )
A. π6B. π4C. 5π18D. 5π12
10.已知曲线x2m−2+y24−m=1(m∈R)，则下列说法正确的为
( )
A. 若该曲线是双曲线方程，则m>4,或m0，则n最小值为10，D. 若Sn=an，则n=1或n=11
12.三棱柱A1B1C1−ABC中，面ABC是边长为2的等边三角形，M为线段AA1上任意点(不与AA1重合)则下列正确的是
( )
A. 若N为AC中点，P为平面A1ACC1上任意点，且∠PNC=2∠PAC，三棱椎A—PBC体积最大值为 3
B. 若侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=π3，A1B=3，则BC1与面A1ACC1所成角的正弦值为3 1326
C. 若三棱柱A1B1C1−ABC体积为9，则四棱椎M—B1BCC1体积为6
D. 若AA1⊥面ABC，当面MB1C⊥面B1BCC1，且ΔMB1C是面积为3的等腰直角三角形，则三棱柱A1B1C1−ABC的外接球的表面积为40π3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.向量a=(1,2,x),向量b=(2x,4,−1)，若a⊥b，则x的值为____
14.直线l:x+2y−1=0与圆C:x2+(y−3)2=9相交于A，B两点，则ΔABC面积为_____
15.若函数f(x)=x2−2x,x≤0lg2x,x>0，则f[f(x)]>0的解集为：_______
16.数列{an}满足：an+(−1)nan+1=n(n∈N∗)，则数列{an}前60项和为_______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，圆柱O1O底面直径AB长为4，C是圆O上一点，且点C为圆弧AB中点
(1)求证：平面平面A1AC⊥平面A1BC
(2)若该圆柱的体积为4 2π，求平面A1BC与平面B1BC夹角的余弦值．
18.(本小题12分)
已知数列{an−1}为等比数列，且a2=5,a5=33
(1)求数列{an}的通项公式
(2)设Sn是数列{an}的前n项和，若Sn+19−n≥an2，求出所有n值
19.(本小题12分)
已知圆M过点(4,0)，(1, 3)，(2,2)三个点。
(1)求圆M的标准方程
(2)过圆M外点P向圆M引两条切线，且切点分别为A，B两点，求：PA·PB最小值
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sinx−2csx
1)若x0为函数f(x)一个零点，求cs2x0
2)锐角ΔABC中，角A，B，C对应边分别为a,b,c，f(A)+csA=0，BC边上的高为2，求ΔABC面积范围。
21.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，且满足：a1+an2=Snn
1)求证：数列{an}为等差数列
2)a2=π3,a6=4π3，数列{bn}满足：bn=tan(an)·tan(an+1)，求数列{bn}前100项和
22.(本小题12分)
若点(p,1)在抛物线x2=2py(p>0)，
(1)求抛物线C的方程；
(2)过y轴上点E作两条相互垂直的直线与抛物线分别交于A，B，C，D，且M，N分别是线段AB，CD的中点，求△EMN面积最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的模，是基础题．
通过复数的除法求出复数z，从而再求模长．
【解答】
解：∵(z+i)(1+i)=2，
∴z=21+i−i=2(1−i)1+i1−i−i=2(1−i)2−i=1−2i，
∴z= 12+(−2)2= 5．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
在函数y=f(x)的图象上取点(x,y)，则关于直线x=2对称点为(x1,y)在函数y=2x+1−1图像上，可得函数f(x)的解析式，即可求出f(4)的值．
【解答】
解：在函数y=f(x)的图象上取点(x,y)，
则关于直线x=2对称点为(x1,y)在函数y=2x+1−1图像上，
所以x+x12=2，则x1=4−x，
所以y=fx=24−x+1−1=25−x−1，
∴f4=25−4−1=1．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：直线垂直的充要条件，充分条件和必要条件，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
直接利用直线垂直的充要条件的应用和充分条件和必要条件的应用求出结果．
【解答】
解：当l1⊥l2时，则a2−4+a−2=0，解得a=−3或2，故充分性不成立；
当a=−3时，则直线l1：5x+y−1=0，直线l2：x−5y+3=0，则l1⊥l2，故必要性成立；
故“l1⊥l2”是“a=−3”的必要不充分条件．
故选B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
由诱导公式和两角和的正弦公式即可求解．
【解答】解：cs975°=cs975°−1080°=cs−105°=cs105°=cs90°+15°=−sin15°=−sin45°−30°=− 22× 32−12= 2− 64．
故选B．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本小题主要考查椭圆与双曲线的标准方程及其应用，属于基础题．
由题意确定a>0，且椭圆的焦点应该在y轴上，则4−a2=a+2，即可求出a的值．
【解答】
解：因为椭圆x2a2+y24=1与双曲线y2a−x22=1有相同的焦点，
所以a>0，且椭圆的焦点在y轴上，
所以4−a2=a+2，所以a=−2，或a=1，
因为a>0，所以a=1．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查交集的定义及运算，属于中档题．
由题意可知集合A表示圆心在原点，半径为 a的圆，集合B表示直线x+y=2与x−y=2与−x+y=2与−x−y=2围成的正方形，结合直线与圆的位置关系并数形结合分析即可求得a的取值范围，继而可得答案．
【解答】
解：由题意可知集合A表示圆心在原点，半径为 a的圆，设为圆O，
集合B表示直线x+y=2与x−y=2与−x+y=2与−x−y=2围成的正方形，如下图所示，
因为A∩B中有8个元素，
则该圆O与该正方形有8个交点，
则由图可知圆O的半径r应满足 20lg2t>0,
解得t1，
所以f(x)1，
所以x⩽0x2−2x0lg2x1或x>0lg2x>1,
解得x∈(−∞,1− 2)∪(0,1)∪(2,+∞)．
故答案为：(−∞,1− 2)∪(0,1)∪(2,+∞)．
16.【答案】870
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推关系式和求和，属于中档题．
由由an+(−1)nan+1=n，可得a1−a2=1，a2+a3=2，a3−a4=3，⋯，求出奇数项的和与偶数项的和，即可得出结论．
【解答】解：由an+(−1)nan+1=n，可得a1−a2=1，a2+a3=2，a3−a4=3，⋯，
所以 a1+a3=3，a5+a7=11，a9+a11=19，⋯，a57+a59=115，
所以a1+a3+a5+a7+⋯a57+a59=885，
又a1−a2=1，a3−a4=3，⋯，a59−a60=59，
所以(a1+a3+⋯+a59)−(a2+a4+⋯+a60)=900，
所以a2+a4+⋯+a60=−15，
所以S60=a1+a2+a3+a4+⋯+a60=885−15=870．
故答案为：870．
17.【答案】(1)证明：由题意可知道：AA1⊥圆O所在面
因为BC⊂圆O面
所以AA1⊥BC
又因为AB是圆O直径，C为圆弧上一点
所以AC⊥BC
而AC∩AA1=A，
AC，AA1⊂平面A1AC
所以BC⊥平面A1AC
又因为BC⊂平面A1BC
所以平面A1AC⊥平面A1BC
(2)解：如图以O为原点，OC，OB，OO1分别为，x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设圆柱的高为ℎ，由圆柱的体积为4 2π，得
π×22×ℎ=4 2π，所以ℎ= 2，
C(2,0,0)，B(0,2,0)，A(0,−2,0)，A1(0,−2, 2)，易知AC⊥面B1BC，设面B1BC法向量n1=AC=(2,2,0)
设平面A1BC的法向量n2=(x,y,z)，BC=(2,−2,0)，BA1=(0,−4, 2)，n2·BC=0n2·BA1=0，所以n2=1,1,2 2，
则平面B1BC与平面A1BC的夹角θ，csθ=|n1⋅n2|n1n2=2+2+02 2× 10= 55．
【解析】本题考查面面垂直的判定定理与线面垂直的性质定理，考查线面夹角与面面夹角问题，属于中档题．
(1)先证明出BC⊥平面A1AC，再由面面垂直的判定定理得出即可；
(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行求解即可．
18.【答案】(1)设bn=an−1，则bn为等比数列，则b2=a2−1=4，b5=a5−1=32，q3=b5b2=8，则q=2
所以bn=2n，则an=bn+1=2n+1
(2)Sn=a1+a2+a3+⋯⋯an=(21+1)+(22+1)+⋯(2n+1)=(21+22+23+⋯)+n=2n+1−2+n
所以Sn+19−n≥an2，化简有：2n+1−2+n+19−n≥(2n+1)2，则4n≤16.所以n=1，或n=2
【解析】本题考查了等比数列的通项公式，分组(并项)法求和，是基础题
(1)设bn=an−1，由等比数列的通项公式可得bn=2n，故可得数列{an}的通项公式
(2)由分组求和可得Sn，故可求出所有n值
19.【答案】解：(1)设圆的一般式：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
三个点代入有4D+F+16=02D+2E+F+8=0,D+ 3E+F+4=0
解方程得到：D=−4，E=0，F=0，所以圆的标准方程为(x−2)2+y2=4；
(2)设PM=x(x>2).则PA=PB= x2−4，
sin∠APM=2x，cs∠APB=1−2sin2∠APM=1−8x2，
所以：PA→·PB→=|PA|⋅|PB|cs∠APB=(x2−4)(1−8x2)=(x2−4)(x2−8)x2=x2+32x2−12≥2 32−12=8 2−12，
当且仅当x2=32x2，即x=254时，等号成立，
所以PA→·PB→最小值为8 2−12．
【解析】本题主要考查圆的标准方程以及直线与圆的位置关系的应用以及基本不等式求最值，属于中档题．
(1)设圆的一般式x2+y2+Dx+Ey+F=0，代入三个点，求解即可;
(2)设PM=x(x>2).则PA=PB= x2−4，所以sin∠APM=2x，cs∠APB=1−8x2，再代入公式求解即可．
20.【答案】解：(1)若x0为函数f(x)一个零点，
则f(x0)=sinx0−2csx0=0，解得tan x0=2，
cs2x0=cs2x0−sin2x0=cs2x0−sin2x0sin2x0+cs2x0=1−tan2x01+tan2x0=−35．
(2)由f(A)+csA=0，得sinA=csA，可得A=π4，
过A作AE⊥BC于E，垂足为E，
则a=BE+CE
=2csBsinB+2csCsinC
=2sin(B+C)sinBsinC
= 2sinBsin(A+B)
= 2sin⁡B( 22cs⁡B+ 2 2sin⁡B)=4 2sin⁡(2B−π4)+1，
∵π40)，结合p>0即可求出p的值，继而可得抛物线C的方程；
(2)设y轴上点E(0,b)，由题意可知道直线斜率是存在的，则可设直线AB:y=k1x+b，联立直线AB与抛物线C的方程，消去y，利用韦达定理可求得点M的坐标，再由两点间距离公式可得|EM|= 4k12+4k14，同理设直线CD:y=k2x+b，可得|EN|= 4k22+4k24，则△EMN的面积12|EN|⋅|EM|=2|k1|⋅|k2|⋅ 1+k12+k22+k12⋅k22，结合AB与CD相互垂直以及基本不等式即可求出S的最小值．