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2023-2024学年浙江省金华市卓越联盟高一上学期12月阶段联考数学试题（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省金华市卓越联盟高一上学期12月阶段联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={1,3,5,7}，B={2,3,5,6}，则A∪B=( )
A. {3,5}B. {3,5,6}C. {1,2,3,5,6,7}D. {1,2,3,4,5,6,7}
2.在0°～360°的范围内，与−520°终边相同的角是( )
A. 310°B. 200°C. 140°D. 20°
3.命题“∀x≥2，x2−4<0”的否定是
( )
A. ∃x≥2，x2−4≥0B. ∃x<2，x2−4≥0
C. ∀x<2，x2−4≥0D. ∀x<2，x2−4<0
4.设a，b都是不等于1的正数，则“4a>4b>4”是“lg4a( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5.直线l：x=a与二次函数y=f(x)交点个数为
( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 以上都有可能
6.设函数f(x)=4x3+x−8，用二分法求方程4x3+x−8=0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间
( )
A. 1,32B. 32,2C. 2,52D. 52,3
7.2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，其中“绿色低碳”被摆在首位，比如所有场馆实现100%绿色供电、所有亚运会官方指定用车均为新能源汽车．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·ℎ)，放电时间t(单位：ℎ)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C=In·t，其中n=lg322为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10 A时，放电时间t=56 ℎ，则当放电电流I=15 A时，放电时间为
( )
A. 28 ℎB. 28.5 ℎC. 29 ℎD. 29.5 ℎ
8.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其中函数f(x)满足f(−x)=f(x)且在[0,+∞)上单调递减，函数g(x)满足g(2−x)=g(2+x)且在(2,+∞)上单调递减，设函数F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|]，则对任意x∈R，均有
( )
A. F(2−x)≥F(2+x)B. F(2−x)≤F(2+x)
C. F(2−x2)≥F(2+x2)D. F(2−x2)≤F(2+x2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. ∃x∈R，x+1x=−1B. ∃x>0，x2=2x
C. ∀x∈R，x2−x≥−1D. ∀x>0，lnx>0
10.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则
( )
A. 函数f(x)为增函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 当x≥4时，f(x)≥2
D. 当x2>x1>0时，f(x1)+f(x2)211.已知f(x)=x2+bx+c在(0,1)上有两实根，则f(0)·f(1)的值可能为
( )
A. 14B. 18C. 116D. 132
12.一般地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[a,b]为f(x)的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为[a,b]，值域也为[a,b]，则称[a,b]为f(x)的“完美区间”.下列结论正确的是
( )
A. 若[2,b]为f(x)=x2−4x+6的“完美区间”，则b=6
B. 函数f(x)=1x存在“完美区间”
C. 二次函数f(x)=−12x2+132存在“2倍美好区间”
D. 函数f(x)=m|x|−1|x|存在“完美区间”，则实数m的取值范围为(2,+∞)∪{0}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=ax7+bx5+cx3+dx−8，且f(−2)=5，则f(2)=________．
14.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为 ．
15.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒。如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(ℎ)成正比(016.设函数f(x)=4ax2+bx−6a+1，当x∈[−4,4]时，恒有f(x)≥0成立，则10a+b的最小值为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)(0.064)−13−(−78)0+[(−2)3]−43+256−0.25
(2)|(49)−12−lg 5|+ lg22−lg 4+1−31−lg32
18.(本小题12分)
已知集合A={x|a+2≤x≤3a−4}(a∈R)，B={x|8≤x≤12}．
(1)若集合B是集合A的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−22x+1．
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(2ax)20.(本小题12分)
已知函数y=sin α+cs α+sin α·cs α当t=sin α+cs α时，t∈[− 2, 2]
(1)若t= 2，求tan α的值；
(2)求函数y=sin α+cs α+sin α·cs α的值域．
21.(本小题12分)
若正数a，b满足a+2b=4．
(1)求ab的最大值；
(2)求5a+1+1b的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=−ln(1−|x+1|),−20．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(2x−1)=m有4个不同的解，记为x1，x2，x3，x4(x115恒成立，求λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】解：集合A={1,3,5,7}，B={2,3,5,6}，
则A∪B={1,2,3,5,6,7}．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了终边相同的角的概念，是基础的计算题．
直接利用终边相同角的概念，把−520°写成−2×360°+200°的形式，则答案可求．
【解答】
解：∵−520°=−720°+200°=−2×360°+200°．
∴在0°～360°范围内，与−520°的角终边相同的角是200°．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解判断即可．
【解答】解：由题：命题“∀x≥2，x2−4<0”的否定是“∃x≥2，x2−4≥0 ”，
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判定，涉及指数与对数函数的性质的应用，属于基础题目．
利用指数与对数函数的性质得出a，b的大小关系得出判定即可．
【解答】
解：由指数函数的性质知，若“4a>4b>4”，则a>b>1，
由指数函数的性质知，若lg4aa>0；
若a>b>1成立，得b>a>0不成立，
若b>a>0成立，得a>b>1不成立，
所以“4a>4b>4”是“lg4a故选D
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是函数的定义，要求准确理解函数定义，属于基础题．
根据函数的定义，可得本题结论
【解答】
解：因为直线l：x=a是垂直与x轴的直线，
所以直线l:x=a与一元二次函数y=f(x)交点个数为1个，
故答案选B；
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用二分法求方程的近似解，属于基础题．
计算可得f(2)>0，f 32>0，结合f(1)<0，即可判断．
【解答】
解：取x1=2，因为f(2)=4×8+2−8=26>0，所以方程近似解x0∈(1,2)，
取x2=32，因为f 32=4×278+32−8=7>0，所以方程近似解x0∈1,32，
所以方程近似解x0∈1,32．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的模型，考查对数的运算性质，属于基础题．
根据题意可得C= 10n ⋅56，C= 15n ⋅t，两式相比整理得 (32)n= 56t，由指对数互化以及对数运算性质可得结果．
【解答】
解：根据题意可得C= 10n ⋅56，C= 15n ⋅t，
两式相比得 10n⋅5615n⋅t=1，即 (32)n= 56t，n= lg322，
所以n= lg32 56t= lg322， 56t=2，t=28．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与对称性、单调性的综合应用，属于中档题．
根据题意f(x)是偶函数，g(x)关于x=2对称，去绝对值得到F(x)的解析式，再分类讨论分析问题即可．
【解答】解：∵f(−x)=f(x)∴f(x)为偶函数又f(x)在[0,+∞)上单调递减，
∴f(x)在(−∞,0]上单调递增∵g(2−x)=g(2+x)∴g(x)关于x=2对称
又g(x)在(2,+∞)上单调递减，∴g(x)在(−∞,2)上单调递增，
当f(x)≥g(x)时，F(x)=12[f(x)+g(x)+f(x)−g(x)]=f(x)，
当f(x)≤g(x)时，F(x)=12[f(x)+g(x)+g(x)−f(x)]=g(x)，
①若f(x)⩽g(x)恒成立，则F(x)=g(x)，可知F(x)关于x=2对称
又2−x与2+x关于x=2对称;2−x2与2+x2关于x=2对称
∴F(2−x)=F(2+x)，F(2−x2)=F(2+x2)
②若f(x)⩾g(x)恒成立，则F(x)=f(x)，可知F(x)关于y轴对称
当|2−x|≥|2+x|时，F(2−x)≤F(2+x)；当|2−x|≤|2+x|时，F(2−x)≥F(2+x)，
可排除A，B
当2−x2≥0，即0≤x2≤2时，0≤2−x2<2+x2∴F(2−x2)≥F(2+x2)
当2−x2≤0，即x2≥2时，F(2−x2)=F(x2−2)≥F(2+x2)
∴若F(x)=f(x)，则F(2−x2)≥F(2+x2)，可排除D
③若f(x)⩾g(x)与f(x)⩽g(x)均存在，
∵2−x2与2+x2关于x=2对称且2−x2≤2+x2∴F(2−x2)≥F(2+x2)
综上所述：F(2−x2)≥F(2+x2)
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了全称量词命题、存在量词命题的真假判断，涉及指数、对数、指数函数的性质，属于基础题．
利用一元二次方程可判断A；取值可判断B；由二次函数的性质可判断C；由对数函数的值域可判断D．
解答：
对于A，x+1x=−1 ，化解x2+x+1=0，该方程无解，所以不存在x∈R，使得x+1x=−1 成立，故A错误；
对于B，取x=4，有x2=16=24，故B正确；
对于C，因x2−x+1=(x−12)2+34⩾34>0，∀x∈R，则x2−x⩾−1，故C正确；
对于D，∀x>0，lnx∈R，故D选项错。
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了幂函数函数解析式的求解及函数性质的简单判断，属于中档题．
结合已知点可求得f(x)= x， 然后结合该幂函数的性质对选项进行判断即可．
【解答】解：设f(x)=xα，由题意可得， 4α=2，解得α=12，
所以函数解析式为f(x)= x．
易得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误;
当x⩾4时，则f(x)⩾2，故C正确；
对于D，
当x2>x1>0时，[f(x1)+f(x2)2]2−[f(x1+x22)]2=x1+x2+2 x1x24−x1+x22
=2 x1x2−x1−x24=−( x1− x2)24<0，
∴ [f(x1)+f(x2)2]2<[f(x1+x22)]2，又f(x)≥0，
∴f(x1)+f(x2)2故选ACD．
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的性质和利用基本不等式求最值，属于一般题；
设两根分别为x1、x2，根据已知f(0)>0，f(1)>0，进而可得0【解答】
解：设两根分别为x1、x2，
令f(x)=x2+bx+c=(x−x1)(x−x2)
因为f(x)=x2+bx+c在(0,1)上有两实根，
所以f(0)>0，f(1)>0，
则0当且仅当x1=x2=12时取等。
故答案为CD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，考查二次函数的图象与性质，属于较难题．
分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误．
【解答】
解：对于A，因为函数f(x)=x2−4x+6的对称轴为x=2，图象开口向上，
故函数f(x)在[2,b]上单调递增，所以其值域为[2,b2−4b+6]，
又因为[2,b]为f(x)=x2−4x+6的完美区间，
所以b2−4b+6=b，解得b=2或b=3，因为b>2，所以b=3，A错误；
对于B，函数f(x)=1x在−∞,0和0,+∞都单调递减，
假设函数f(x)=1x存在完美区间[a,b]，则a=1bb=1a，即a，b互为倒数且a故函数f(x)=1x存在完美区间，B正确；
对于C，若f(x)=−12x2+132存在“2倍美好区间”，
则设定义域为[a,b]，值域为[2a,2b]，
当0−12a2+132=2b−12b2+132=2a，两式相减，得a+b=4，代入方程组解得a=1，b=3，C正确；
对于D，f(x)的定义域为xx≠0，假设函数f(x)=mx−1x=m+1x,x<0m−1x,x>0存在“完美区间”[a,b]，
若b<0，由函数f(x)在(−∞,0)内单调递减，则m+1a=bm+1b=a，解得m=0；
若a>0，由函数f(x)在(0,+∞)内单调递增，则m−1a=am−1b=b,
即x=m−1x在(0,+∞)有两解a，b，得m>2，
故实数m的取值范围为(2,+∞)∪{0}，D正确．
故选BCD．
13.【答案】−21
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，构造函数g(x)，利用其奇偶性是解决问题的关键，属基础题．
设，为奇函数，利用函数的奇偶性的性质即可求解f(2)的值．
【解答】
解：设，
则有 )=−g(x)，
故函数g(x)为奇函数，
由f(−2)=g(−2)−8=5，可得g(−2)=13，
所以g(2)=−g(−2)=−13，
故f(2)=g(2)−8=−13−8=−21，
故答案为−21．
14.【答案】π8
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
由题意可求扇形的圆心角α的值，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由图可知α=π4，
所以该扇形的面积S=12αr2=π8．
故答案为π8．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了函数模型的应用，涉及到一次函数，指数函数的应用．
由题图可得y=2t,0【解答】解：由于图中一次函数图象可得，
所以图象中线段所在直线的方程为y=2t(0又点(12,1)在曲线y=116t−a上，所以1=11612−a，
解得a=12，
因此含药量y(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式为y=2t,0当t>12时，由题意令y⩽0.25=14，
即116t−12⩽11612，即t−12⩾12，解得t⩾1．
16.【答案】−13
【解析】【分析】
本题考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
利用系数比列方程可得x=3，进而可得f(3)=36a+3b−6a+1≥0即可；
解答：
f(x)=4ax2+bx−6a+1=(4x2−6)a+xb+1，
令f(x)=(4x2−6)a+xb+1与10a+b比较系数
由4x2−6x=101
可得x=−12或x=3，
因为3∈[−4,4]，
所以有f(3)=36a+3b−6a+1≥0，
即10a+b≥−13，
验证a=142，b=−47时，10a+b的最小值为−13．
17.【答案】(1)解：原式=130.064−1+(−2)3×(−43)+44×(−0.25)
=52−1+116+14=2916；
(2)解：原式=32−lg5+ 1−lg22−3lg332
=32−lg 5+1−lg 2−32=1−lg10=0．
【解析】【分析】
本题考查指数幂、对数式的化简求值与证明，属于基础题．
(1)根据指数的运算性质计算即可；
(2)根据指数与对数的运算性质计算即可．
18.【答案】解：(1)∵集合B是集合A的充分条件，
∴B⊆A，
∴a+2≤83a−4≥12⇒a≤6 a≥163，解得a∈[163,6]
∴a的取值范围为[163,6]；
(2)(i)若A=⌀，则a+2>3a−4，即a<3，此时满足A∩B=⌀；
(ii)若A≠⌀，则a≥3，
若A∩B=⌀，则3a−4<8或a+2>12，
解得a<4或a>10，
∴3≤a<4或a>10；
综上，a<4或a>10．
【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
(1)根据题意，可得B⊆A，列出不等式组，求出解集即可；
(2)根据A∩B=⌀，分情况讨论，从而求出a的取值范围．
19.【答案】解：(1)f(0)=a−220+1=a−1．
(2)∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R且x1则f(x1)−f(x2)=a−22x1+1−a+22x2+1=2(2x1−2x2)(1+2x1)(1+2x2)．
∵y=2x在R上单调递增且x1∴0<2x1<2x2，
∴2x1−2x2<0，2x1+1>0，2x2+1>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)∴f(x)在R上单调递增．
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
即a−22−x+1=−a+22x+1，
解得a=1，
∴f(2ax)∵f(x)在R上单调递增，
∴2x<2，可得x<1，
∴不等式的解集为(−∞,1)．
【解析】本题考查求函数值、函数单调性的证明及利用函数奇偶性单调性求解不等式，属于中档题．
(1)将x=0代入可得出结果；
(2)任取x1，x2∈R且x1(3)根据函数的奇偶性得出a的值，再结合函数的单调性求解不等式即可得出结果．
20.【答案】解：(1)∵t= 2，
∴sinα+csα= 2，
sin2α+2sinα⋅csα+cs2α=2，
sin2α+2sinα⋅csα+cs2αsin2α+cs2α=2，
tan2α+2tanα+1tan2α+1=2，
tan2α+2tanα+1=2tan2α+2，
tan2α−2tanα+1=0，(tanα−1)2=0，
∴tanα=1．
(2)∵t=sinα+csα，则sin2α+2sinα⋅csα+cs2α=t2
∴sinα⋅csα=t2−12
y=t+t2−12=12(t+1)2−1，
∵t∈[− 2, 2]，
当t=−1时，ymin=−1，当t= 2时，ymax= 2+12，
∴y∈[−1, 2+12].
【解析】本题主要考查的是同角的三角函数关系，二次函数的性质，难度适中；
(1)根据sinα+csα= 2，可得sin2α+2sinα⋅csα+cs2α=2，利用同角的三角函数关系化解可得tan2α+2tanα+1tan2α+1=2，进而可得结论；
(2)先根据已知化解可得sinα⋅csα=t2−12，整体代入y=t+t2−12=12(t+1)2−1，利用二次函数的性质可得值域；
21.【答案】解：(1)因为a+2b≥2 2ab，所以4≥2 2ab，当且仅当a=2b时等号成立，
所以当a=2，b=1时，(ab)max=2，即ab的最大值为2．
(2)因为a+2b=4，可得a+1+2b=5，
所以5a+1+1b=15(5a+1+1b)(a+1+2b)=15(7+10ba+1+a+1b)≥7+2 105．
当且仅当10ba+1=a+1b时等号成立，
所以当a=22−5 103，b=5 10−106时，5a+1+1b取最小值7+2 105．
【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．
(1)结合条件等式a+2b=4，利用基本不等式求ab的最大值；
(2)由条件5a+1+1b=15(5a+1+1b)(a+1+2b)，化简后利用基本不等式求其最小值．
22.【答案】解：(1)f(x)=−ln(x+2), −21,
则f(x)的单调递增区间有(−1,0)，(1,+∞).
(2)由(1)可知−2<2x1−1<−1<2x2−1<0<2x3−1<1<2x4−1，
化简可得：−12∵f(2x1−1)=f(2x2−1)=f(2x3−1)=f(2x4−1)=m，
∴−ln[(2x1−1)+2]=−ln[−(2x2−1)]=−ln(2x3−1)=ln(2x4−1)，
∴(2x1−1)+2=−(2x2−1)=2x3−1=12x4−1，
∴x1=x3−1，x2=1−x3，x4=x32x3−1，
∵λ⋅x3x4−x1x2>15恒成立，
∴λ⋅(2x3−1)−(x3−1)(1−x3)>15，
∴λ>−x32+2x3−452x3−1对任意x3∈(12,1)恒成立，
即：λ>(−x32+2x3−452x3−1)max，
令t=2x3−1，则t∈(0,1)，x3=t+12，
∴−x32+2x3−452x3−1=−(t+12)2+t+1−45t=−t4−120t+12≤−2 t4⋅120t+12=5− 510，
(当且仅当t= 55时，等号成立)
∴λ>5− 510．
【解析】本题考查分段函数的单调性及函数的零点与方程根的关系，以及不等式恒成立求参数的取值范围，属于困难题．
(1)去绝对值，结合对数函数的图象与性质得出函数的单调递增区间即可；
(2)先由方程方程f(2x−1)=m有4个不同的解，得出x1=x3−1，x2=1−x3，x4=x32x3−1，再由不等式恒成立分离参数λ，求出(−x32+2x3−452x3−1)max，得出即可．
1.设集合A={1,3,5,7}，B={2,3,5,6}，则A∪B=( )
A. {3,5}B. {3,5,6}C. {1,2,3,5,6,7}D. {1,2,3,4,5,6,7}
2.在0°～360°的范围内，与−520°终边相同的角是( )
A. 310°B. 200°C. 140°D. 20°
3.命题“∀x≥2，x2−4<0”的否定是
( )
A. ∃x≥2，x2−4≥0B. ∃x<2，x2−4≥0
C. ∀x<2，x2−4≥0D. ∀x<2，x2−4<0
4.设a，b都是不等于1的正数，则“4a>4b>4”是“lg4a
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5.直线l：x=a与二次函数y=f(x)交点个数为
( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 以上都有可能
6.设函数f(x)=4x3+x−8，用二分法求方程4x3+x−8=0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间
( )
A. 1,32B. 32,2C. 2,52D. 52,3
7.2022年第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，秉持“绿色、智能、节俭、文明”的办赛理念，其中“绿色低碳”被摆在首位，比如所有场馆实现100%绿色供电、所有亚运会官方指定用车均为新能源汽车．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·ℎ)，放电时间t(单位：ℎ)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C=In·t，其中n=lg322为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I=10 A时，放电时间t=56 ℎ，则当放电电流I=15 A时，放电时间为
( )
A. 28 ℎB. 28.5 ℎC. 29 ℎD. 29.5 ℎ
8.已知定义在R上的函数f(x)，g(x)，其中函数f(x)满足f(−x)=f(x)且在[0,+∞)上单调递减，函数g(x)满足g(2−x)=g(2+x)且在(2,+∞)上单调递减，设函数F(x)=12[f(x)+g(x)+|f(x)−g(x)|]，则对任意x∈R，均有
( )
A. F(2−x)≥F(2+x)B. F(2−x)≤F(2+x)
C. F(2−x2)≥F(2+x2)D. F(2−x2)≤F(2+x2)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题是真命题的是( )
A. ∃x∈R，x+1x=−1B. ∃x>0，x2=2x
C. ∀x∈R，x2−x≥−1D. ∀x>0，lnx>0
10.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2)，则
( )
A. 函数f(x)为增函数
B. 函数f(x)为偶函数
C. 当x≥4时，f(x)≥2
D. 当x2>x1>0时，f(x1)+f(x2)2
( )
A. 14B. 18C. 116D. 132
12.一般地，若函数f(x)的定义域为[a,b]，值域为[ka,kb]，则称[a,b]为f(x)的“k倍美好区间”.特别地，若函数的定义域为[a,b]，值域也为[a,b]，则称[a,b]为f(x)的“完美区间”.下列结论正确的是
( )
A. 若[2,b]为f(x)=x2−4x+6的“完美区间”，则b=6
B. 函数f(x)=1x存在“完美区间”
C. 二次函数f(x)=−12x2+132存在“2倍美好区间”
D. 函数f(x)=m|x|−1|x|存在“完美区间”，则实数m的取值范围为(2,+∞)∪{0}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=ax7+bx5+cx3+dx−8，且f(−2)=5，则f(2)=________．
14.如图所示的时钟显示的时刻为4：30，此时时针与分针的夹角为α(0<α≤π).若一个半径为1的扇形的圆心角为α，则该扇形的面积为 ．
15.秋冬季是流感的高发季节，为了预防流感，某学校决定用药熏消毒法对所有教室进行消毒。如图所示，已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y(mg/m3)与时间t(ℎ)成正比(0
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)(0.064)−13−(−78)0+[(−2)3]−43+256−0.25
(2)|(49)−12−lg 5|+ lg22−lg 4+1−31−lg32
18.(本小题12分)
已知集合A={x|a+2≤x≤3a−4}(a∈R)，B={x|8≤x≤12}．
(1)若集合B是集合A的充分条件，求a的取值范围；
(2)若A∩B=⌀，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=a−22x+1．
(1)求f(0)；
(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；
(3)若f(x)为奇函数，求满足f(2ax)
已知函数y=sin α+cs α+sin α·cs α当t=sin α+cs α时，t∈[− 2, 2]
(1)若t= 2，求tan α的值；
(2)求函数y=sin α+cs α+sin α·cs α的值域．
21.(本小题12分)
若正数a，b满足a+2b=4．
(1)求ab的最大值；
(2)求5a+1+1b的最小值．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=−ln(1−|x+1|),−2
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若关于x的方程f(2x−1)=m有4个不同的解，记为x1，x2，x3，x4(x1
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
利用并集定义直接求解．
本题考查集合的运算，并集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
【解答】解：集合A={1,3,5,7}，B={2,3,5,6}，
则A∪B={1,2,3,5,6,7}．
故选C．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了终边相同的角的概念，是基础的计算题．
直接利用终边相同角的概念，把−520°写成−2×360°+200°的形式，则答案可求．
【解答】
解：∵−520°=−720°+200°=−2×360°+200°．
∴在0°～360°范围内，与−520°的角终边相同的角是200°．
故选B．
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题直接求解判断即可．
【解答】解：由题：命题“∀x≥2，x2−4<0”的否定是“∃x≥2，x2−4≥0 ”，
故选A．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判定，涉及指数与对数函数的性质的应用，属于基础题目．
利用指数与对数函数的性质得出a，b的大小关系得出判定即可．
【解答】
解：由指数函数的性质知，若“4a>4b>4”，则a>b>1，
由指数函数的性质知，若lg4a
若a>b>1成立，得b>a>0不成立，
若b>a>0成立，得a>b>1不成立，
所以“4a>4b>4”是“lg4a
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是函数的定义，要求准确理解函数定义，属于基础题．
根据函数的定义，可得本题结论
【解答】
解：因为直线l：x=a是垂直与x轴的直线，
所以直线l:x=a与一元二次函数y=f(x)交点个数为1个，
故答案选B；
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用二分法求方程的近似解，属于基础题．
计算可得f(2)>0，f 32>0，结合f(1)<0，即可判断．
【解答】
解：取x1=2，因为f(2)=4×8+2−8=26>0，所以方程近似解x0∈(1,2)，
取x2=32，因为f 32=4×278+32−8=7>0，所以方程近似解x0∈1,32，
所以方程近似解x0∈1,32．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的模型，考查对数的运算性质，属于基础题．
根据题意可得C= 10n ⋅56，C= 15n ⋅t，两式相比整理得 (32)n= 56t，由指对数互化以及对数运算性质可得结果．
【解答】
解：根据题意可得C= 10n ⋅56，C= 15n ⋅t，
两式相比得 10n⋅5615n⋅t=1，即 (32)n= 56t，n= lg322，
所以n= lg32 56t= lg322， 56t=2，t=28．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性与对称性、单调性的综合应用，属于中档题．
根据题意f(x)是偶函数，g(x)关于x=2对称，去绝对值得到F(x)的解析式，再分类讨论分析问题即可．
【解答】解：∵f(−x)=f(x)∴f(x)为偶函数又f(x)在[0,+∞)上单调递减，
∴f(x)在(−∞,0]上单调递增∵g(2−x)=g(2+x)∴g(x)关于x=2对称
又g(x)在(2,+∞)上单调递减，∴g(x)在(−∞,2)上单调递增，
当f(x)≥g(x)时，F(x)=12[f(x)+g(x)+f(x)−g(x)]=f(x)，
当f(x)≤g(x)时，F(x)=12[f(x)+g(x)+g(x)−f(x)]=g(x)，
①若f(x)⩽g(x)恒成立，则F(x)=g(x)，可知F(x)关于x=2对称
又2−x与2+x关于x=2对称;2−x2与2+x2关于x=2对称
∴F(2−x)=F(2+x)，F(2−x2)=F(2+x2)
②若f(x)⩾g(x)恒成立，则F(x)=f(x)，可知F(x)关于y轴对称
当|2−x|≥|2+x|时，F(2−x)≤F(2+x)；当|2−x|≤|2+x|时，F(2−x)≥F(2+x)，
可排除A，B
当2−x2≥0，即0≤x2≤2时，0≤2−x2<2+x2∴F(2−x2)≥F(2+x2)
当2−x2≤0，即x2≥2时，F(2−x2)=F(x2−2)≥F(2+x2)
∴若F(x)=f(x)，则F(2−x2)≥F(2+x2)，可排除D
③若f(x)⩾g(x)与f(x)⩽g(x)均存在，
∵2−x2与2+x2关于x=2对称且2−x2≤2+x2∴F(2−x2)≥F(2+x2)
综上所述：F(2−x2)≥F(2+x2)
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查了全称量词命题、存在量词命题的真假判断，涉及指数、对数、指数函数的性质，属于基础题．
利用一元二次方程可判断A；取值可判断B；由二次函数的性质可判断C；由对数函数的值域可判断D．
解答：
对于A，x+1x=−1 ，化解x2+x+1=0，该方程无解，所以不存在x∈R，使得x+1x=−1 成立，故A错误；
对于B，取x=4，有x2=16=24，故B正确；
对于C，因x2−x+1=(x−12)2+34⩾34>0，∀x∈R，则x2−x⩾−1，故C正确；
对于D，∀x>0，lnx∈R，故D选项错。
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了幂函数函数解析式的求解及函数性质的简单判断，属于中档题．
结合已知点可求得f(x)= x， 然后结合该幂函数的性质对选项进行判断即可．
【解答】解：设f(x)=xα，由题意可得， 4α=2，解得α=12，
所以函数解析式为f(x)= x．
易得函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，且为非奇非偶函数，故A正确，B错误;
当x⩾4时，则f(x)⩾2，故C正确；
对于D，
当x2>x1>0时，[f(x1)+f(x2)2]2−[f(x1+x22)]2=x1+x2+2 x1x24−x1+x22
=2 x1x2−x1−x24=−( x1− x2)24<0，
∴ [f(x1)+f(x2)2]2<[f(x1+x22)]2，又f(x)≥0，
∴f(x1)+f(x2)2
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查的是二次函数的性质和利用基本不等式求最值，属于一般题；
设两根分别为x1、x2，根据已知f(0)>0，f(1)>0，进而可得0
解：设两根分别为x1、x2，
令f(x)=x2+bx+c=(x−x1)(x−x2)
因为f(x)=x2+bx+c在(0,1)上有两实根，
所以f(0)>0，f(1)>0，
则0
故答案为CD．
12.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查函数的新定义问题，考查二次函数的图象与性质，属于较难题．
分析每个函数的定义域及其在相应区间的单调性，按“k倍美好区间”，“完美区间”的定义，列出相应方程，再根据方程解的情况，判断正误．
【解答】
解：对于A，因为函数f(x)=x2−4x+6的对称轴为x=2，图象开口向上，
故函数f(x)在[2,b]上单调递增，所以其值域为[2,b2−4b+6]，
又因为[2,b]为f(x)=x2−4x+6的完美区间，
所以b2−4b+6=b，解得b=2或b=3，因为b>2，所以b=3，A错误；
对于B，函数f(x)=1x在−∞,0和0,+∞都单调递减，
假设函数f(x)=1x存在完美区间[a,b]，则a=1bb=1a，即a，b互为倒数且a
对于C，若f(x)=−12x2+132存在“2倍美好区间”，
则设定义域为[a,b]，值域为[2a,2b]，
当0
对于D，f(x)的定义域为xx≠0，假设函数f(x)=mx−1x=m+1x,x<0m−1x,x>0存在“完美区间”[a,b]，
若b<0，由函数f(x)在(−∞,0)内单调递减，则m+1a=bm+1b=a，解得m=0；
若a>0，由函数f(x)在(0,+∞)内单调递增，则m−1a=am−1b=b,
即x=m−1x在(0,+∞)有两解a，b，得m>2，
故实数m的取值范围为(2,+∞)∪{0}，D正确．
故选BCD．
13.【答案】−21
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性，构造函数g(x)，利用其奇偶性是解决问题的关键，属基础题．
设，为奇函数，利用函数的奇偶性的性质即可求解f(2)的值．
【解答】
解：设，
则有 )=−g(x)，
故函数g(x)为奇函数，
由f(−2)=g(−2)−8=5，可得g(−2)=13，
所以g(2)=−g(−2)=−13，
故f(2)=g(2)−8=−13−8=−21，
故答案为−21．
14.【答案】π8
【解析】【分析】
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题．
由题意可求扇形的圆心角α的值，进而根据扇形的面积公式即可求解．
【解答】
解：由图可知α=π4，
所以该扇形的面积S=12αr2=π8．
故答案为π8．
15.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了函数模型的应用，涉及到一次函数，指数函数的应用．
由题图可得y=2t,0
所以图象中线段所在直线的方程为y=2t(0
解得a=12，
因此含药量y(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式为y=2t,0
即116t−12⩽11612，即t−12⩾12，解得t⩾1．
16.【答案】−13
【解析】【分析】
本题考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
利用系数比列方程可得x=3，进而可得f(3)=36a+3b−6a+1≥0即可；
解答：
f(x)=4ax2+bx−6a+1=(4x2−6)a+xb+1，
令f(x)=(4x2−6)a+xb+1与10a+b比较系数
由4x2−6x=101
可得x=−12或x=3，
因为3∈[−4,4]，
所以有f(3)=36a+3b−6a+1≥0，
即10a+b≥−13，
验证a=142，b=−47时，10a+b的最小值为−13．
17.【答案】(1)解：原式=130.064−1+(−2)3×(−43)+44×(−0.25)
=52−1+116+14=2916；
(2)解：原式=32−lg5+ 1−lg22−3lg332
=32−lg 5+1−lg 2−32=1−lg10=0．
【解析】【分析】
本题考查指数幂、对数式的化简求值与证明，属于基础题．
(1)根据指数的运算性质计算即可；
(2)根据指数与对数的运算性质计算即可．
18.【答案】解：(1)∵集合B是集合A的充分条件，
∴B⊆A，
∴a+2≤83a−4≥12⇒a≤6 a≥163，解得a∈[163,6]
∴a的取值范围为[163,6]；
(2)(i)若A=⌀，则a+2>3a−4，即a<3，此时满足A∩B=⌀；
(ii)若A≠⌀，则a≥3，
若A∩B=⌀，则3a−4<8或a+2>12，
解得a<4或a>10，
∴3≤a<4或a>10；
综上，a<4或a>10．
【解析】【分析】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
(1)根据题意，可得B⊆A，列出不等式组，求出解集即可；
(2)根据A∩B=⌀，分情况讨论，从而求出a的取值范围．
19.【答案】解：(1)f(0)=a−220+1=a−1．
(2)∵f(x)的定义域为R，
∴任取x1，x2∈R且x1
∵y=2x在R上单调递增且x1
∴2x1−2x2<0，2x1+1>0，2x2+1>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
(3)∵f(x)是奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
即a−22−x+1=−a+22x+1，
解得a=1，
∴f(2ax)
∴2x<2，可得x<1，
∴不等式的解集为(−∞,1)．
【解析】本题考查求函数值、函数单调性的证明及利用函数奇偶性单调性求解不等式，属于中档题．
(1)将x=0代入可得出结果；
(2)任取x1，x2∈R且x1
20.【答案】解：(1)∵t= 2，
∴sinα+csα= 2，
sin2α+2sinα⋅csα+cs2α=2，
sin2α+2sinα⋅csα+cs2αsin2α+cs2α=2，
tan2α+2tanα+1tan2α+1=2，
tan2α+2tanα+1=2tan2α+2，
tan2α−2tanα+1=0，(tanα−1)2=0，
∴tanα=1．
(2)∵t=sinα+csα，则sin2α+2sinα⋅csα+cs2α=t2
∴sinα⋅csα=t2−12
y=t+t2−12=12(t+1)2−1，
∵t∈[− 2, 2]，
当t=−1时，ymin=−1，当t= 2时，ymax= 2+12，
∴y∈[−1, 2+12].
【解析】本题主要考查的是同角的三角函数关系，二次函数的性质，难度适中；
(1)根据sinα+csα= 2，可得sin2α+2sinα⋅csα+cs2α=2，利用同角的三角函数关系化解可得tan2α+2tanα+1tan2α+1=2，进而可得结论；
(2)先根据已知化解可得sinα⋅csα=t2−12，整体代入y=t+t2−12=12(t+1)2−1，利用二次函数的性质可得值域；
21.【答案】解：(1)因为a+2b≥2 2ab，所以4≥2 2ab，当且仅当a=2b时等号成立，
所以当a=2，b=1时，(ab)max=2，即ab的最大值为2．
(2)因为a+2b=4，可得a+1+2b=5，
所以5a+1+1b=15(5a+1+1b)(a+1+2b)=15(7+10ba+1+a+1b)≥7+2 105．
当且仅当10ba+1=a+1b时等号成立，
所以当a=22−5 103，b=5 10−106时，5a+1+1b取最小值7+2 105．
【解析】本题考查了利用基本不等式求最值，考查运算能力，属于中档题．
(1)结合条件等式a+2b=4，利用基本不等式求ab的最大值；
(2)由条件5a+1+1b=15(5a+1+1b)(a+1+2b)，化简后利用基本不等式求其最小值．
22.【答案】解：(1)f(x)=−ln(x+2), −2
则f(x)的单调递增区间有(−1,0)，(1,+∞).
(2)由(1)可知−2<2x1−1<−1<2x2−1<0<2x3−1<1<2x4−1，
化简可得：−12
∴−ln[(2x1−1)+2]=−ln[−(2x2−1)]=−ln(2x3−1)=ln(2x4−1)，
∴(2x1−1)+2=−(2x2−1)=2x3−1=12x4−1，
∴x1=x3−1，x2=1−x3，x4=x32x3−1，
∵λ⋅x3x4−x1x2>15恒成立，
∴λ⋅(2x3−1)−(x3−1)(1−x3)>15，
∴λ>−x32+2x3−452x3−1对任意x3∈(12,1)恒成立，
即：λ>(−x32+2x3−452x3−1)max，
令t=2x3−1，则t∈(0,1)，x3=t+12，
∴−x32+2x3−452x3−1=−(t+12)2+t+1−45t=−t4−120t+12≤−2 t4⋅120t+12=5− 510，
(当且仅当t= 55时，等号成立)
∴λ>5− 510．
【解析】本题考查分段函数的单调性及函数的零点与方程根的关系，以及不等式恒成立求参数的取值范围，属于困难题．
(1)去绝对值，结合对数函数的图象与性质得出函数的单调递增区间即可；
(2)先由方程方程f(2x−1)=m有4个不同的解，得出x1=x3−1，x2=1−x3，x4=x32x3−1，再由不等式恒成立分离参数λ，求出(−x32+2x3−452x3−1)max，得出即可．
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