江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了已知集合，则，已知，则的最小值是，若，则，已知，则的值是等内容，欢迎下载使用。

一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件选择见解析
3.已知，则的最小值是（ ）.
A.3 B. C. D.9
4.已知幂函数在上是减函数，则的值为（ ）
A.-3 B.1 C.3 D.1或-3
5.若，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知，则的值是（ ）
A. B. C. D.
7.若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若角的终边上有一点，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
10.若是第二象限的角，则下列各式中成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A.当时，为偶函数；
B.存在实数，使得为奇函数；
C.当时，取得最小值；
D.方程可能有三个实数根.
12.已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B.是奇函数
C.若，则
D.若当时，，则在单调递减
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则的单调减区间为__________.
14.数学中处处存在着美，机械学家莱洛泼现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形，再分别以点为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段长为2，则莱洛三角形的面积是__________.
15.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：.已知函数，则函数的值域是__________.
16.牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，为常数，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在.经测量室温为，茶水降至大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待__________.分钟（参考数据：.）
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.
已知集合.
（1）求集合；
（2）若是成立的__________条件，判断实数是否存在？
18.（本小题满分12分）
（1）计算：
（2）若，求和的值.
19.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若的解集为，求不等式的解集；
（2）若且，求的最小值.
20.（本小题满分12分）
某地种植了一种水果，据调查，该水果每斤的售价为25元时，年销售量为8万斤.
（1）经过市场调研，价格每提高1元，销售量将相应的减少0.2万斤，若每斤的定价为元，求每年的销售总收入的表达式.
（2）在（1）的条件下，若使提价后每年销售的总收入不低于原销售收入的，则该水果每斤的定价最高应为多少元？
（3）该地为提高年销售量，决定2023年末对该水果品质进行改良，改良后将定价提高到每斤元，拟投入万元作为改良费用.请预测改良后，该水果2024年的销售量至少应达到多少万斤，才可能使2024年的年销售收入不低于改良前的年销售收入与改良费用之和，并求出此时水果每斤的定价.
21.（本小题满分12分）
已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）若函数，且在区间上为增函数，求的取值范围.
22.（本小题满分12分）
定义在上的函数满足：对任意的，都有，且当.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）求证：在上是减函数；
（3）解不等式：；
（4）求证：.
2023-2024学年度第一学期高一年级阶段检测（三）
数学-参考答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】B
5.【答案】A 6.【答案】C 7.【答案】D 8.【答案】A
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】AD 10.【答案】BC
11.【答案】AC
【详解】函数，定义域为，
当时，为偶函数，故A正确；
当时，由，则，函数不可能为奇函数，故B错误；
当时，时，函数单调递增，所以最小值为时，函数单调递减，所以，
所以函数的最小值为，故C正确；
若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，
若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，
若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有2个根，
所以方程不可能有三个实数根，错误.
故选：AC.
12.【答案】ABD
【详解】因为，
所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，
所以，令，得，又，
所以，又因为定义域为，所以函数是奇函数，故正确；
令，得，
又，所以，故C错误；
当时，由，
可得，又，
，在上任取，不妨设，
，
，
故在单调递减，故D正确.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】
16.【答案】6分钟
【详解】根据题意可知，
因为茶水降至大约用时一分钟，即，
所以，解得，则，
所以要使得该茶降至，即，则有，得，
故，
所以大约需要等待6分钟.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.【答案】（1）；（2）答案见解析.
【详解】解：（1）由得，故集合，
由得，故集合.
（2）若选择条件①，即是成立的充分不必要条件，集合是集合的真子集，则有，解得，
所以，实数的取值范围是.
若选择条件②，即是成立的必要不充分条件，集合是集合的真子集，
则有，解得，
所以，实数的取值范围是.
若选择条件③，即是成立的充要条件，则集合等于集合，
则有，方程组无解.
所以，不存在满足条件的实数.
18.【答案】（1）；（2）-1.
【详解】解：（1）原式；
（2），
.
原式
19.【答案】（1）（2）6
【详解】（1）由题设知且的两根为
所以，可得：
可化为：，解得：，
所以不等式的解集为
（2）且
所以
当且仅当即取“=”
所以的最小值为6.
20.【答案】（1）
（2）35
（3）11万斤，定价为40元.
【详解】（1）设每斤的定价为元，则销售量为（万斤），
故每年的销售总收入.
（2）依题意得，整理得，解得.
故要使年销售的总收入不低于原收入的，则该水果每斤定价最高为35元.
（3）依题意知不等式成立，所以，
即有解.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
则.
故当该水果2024年的销售量至少达到11万斤时，
才可能使2024年的销售收入不低于改良前的年收入与改良费用之和，
此时水果每斤的定价为40元.
21.【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由是偶函数可得，
则，
即
所以恒成立，
故.
（2）由（1）得，
所以，
令，则.
为使为单调增函数，则
①时显然满足题意；
②；
③.
综上：的范围为.
22.【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
（4）证明见解析
【详解】（1）令，则，解得：；
令，则，
为定义在上的奇函数.
（2）设，则
；
；
又，
，又当，
，即在上是减函数.
（3）由得：；
定义域为且在上是减函数，
解得：不等式的解集为.
（4）；
，
，