2023-2024学年山东省潍坊市东营等市高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省潍坊市东营等市高二上学期普通高中学科素养能力测评数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知直线l1：y=kx+1(k∈R)，直线l2：x−y+1=0，则直线l1与l2的位置关系是
( )
A. 平行B. 相交C. 重合D. 相交或重合
2.已知O是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则PA+PB+PC+PD=( )
A. POB. 2POC. 3POD. 4PO
3.已知A为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点．点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则p=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.如图，已知AB为圆的直径，且AB=4，PA垂直于圆所在的平面，且PA=3，M是圆周上一点，∠ABM=60°，则二面角A−BM−P的大小为
A. 30°B. 45°C. arccs2 77D. 60°
5.开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．若某行星距太阳表面的最大距离为ρ，最小距离μ，太阳半径为r，则该行星运行轨迹椭圆的离心率为
A. ρ−μρ+μ+2rB. ρ+2r−μρ+μC. ρ+μρ−μ+2rD. ρ+μ+2rρ−μ
6.已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=1，点N(3,4)，M为圆C上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为
A. 5 2−1B. 5 2C. 2 10−1D. 2 10
7.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在y轴上，点B在C的渐近线上．若F1A=2AB，F1B⋅F2B=0，则C的渐近线方程为
A. y=± 22xB. y=± 3xC. y=± 2xD. y=± 32x
8.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，E，F分别为BC，AD的中点，将△ABE沿直线AE翻折成△AB1E，B1与B，F不重合，连结B1D，则在翻折过程中，B1D与平面BFB1所成角的正切值的取值范围为
A. 12,+∞B. 13,+∞C. 12,1D. 13,1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若方程x23−t+y2t−1=1所表示的曲线为C，则下列命题错误的是
A. 当10)的其中一个焦点为( 5,0)，一条渐近线方程为2x−y=0．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知倾斜角为3π4的直线l与双曲线C交于A，B两点，且线段AB的中点的纵坐标为4，求直线l的方程．
18.(本小题12分)
已知直线l1：x+y−1=0与圆C：x2+y2−2ax−2y=0(a>0)交于A，B两点，且∠ACB=4∠CAB．
(1)求实数a的值；
(2)若点P为直线l2：x+y+2=0上的动点，求△PAB的面积．
19.(本小题12分)
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，侧面CDEF为等腰梯形，EF//CD，平面CDEF⊥平面ABCD，AB=2EF=4，AF=13．
(1)求直线EF到平面ABCD的距离；
(2)求直线AC与平面ABF所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
设椭圆E：y2a2+x2b2=1(a>b>0)，其离心率为 32，且过点12, 3．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知斜率为k的直线l与E相交于A，B两点，线段AB的中点为D，延长OD交E于点P，使得四边形OAPB为矩形，求k的值．
21.(本小题12分)
如图，已知在几何体ABCDE中，△ABC是边长为4的正三角形，CD=DE=2 3，AE=BE，cs∠ACD=cs∠BCD= 34，二面角D−AB−E的大小为π3，F为线段BC的中点．
(1)证明：DE //平面ABC；
(2)点M为线段AF上的动点(不包括端点)，求平面ABC与平面BEM所成角的余弦值的最大值，并说明此时点M的位置．
22.(本小题12分)
已知点M(−2,0)，圆C：(x−3)2+y2=4，点E是圆C上的任意一点．动圆D过点C，且与x=−3相切，点D的轨迹为曲线Г．
(1)求曲线Г的方程；
(2)若与x轴不垂直的直线l与曲线Г交于A，B两点，点N为l与x轴的交点，且∠AMN=∠BMN，若在x轴上存在异于点N的一点G，使得|EN||EG|为定值，求点G的坐标；
(3)过点(−3,0)的直线与曲线Г交于P，Q两点，且在P，Q两点处的切线交于点S，证明：S在定直线上．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线与直线的位置关系，属于基础题．
两条直线斜率相等时重合，斜率不相等时必然相交．
【解答】
解：因为直线l1：y=kx+1(k∈R)，必过点(0,1)，且(0,1)在l2：x−y+1=0上；
当k=1时，两直线重合，
当k≠1时，两直线相交;
综上所述两直线的位置关系为相交或重合．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量加法的几何意义，相反向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．
可知OA+OC=OB+OD=0，并且PA=PO+OA，PC=PO+OC，PB=PO+OB，PD=PO+OD，即可得出结果．
【解答】解：如图，
可知OA+OC=OB+OD=0，
PA=PO+OA，PC=PO+OC，PB=PO+OB，PD=PO+OD，
∴PA+PB+PC+PD=4PO+(AO+OC)+(BO+OD)=4PO．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了抛物线定义的理解与应用，属于基础题．
利用抛物线的定义求解即可．
【解答】
解：设抛物线焦点为F，由抛物线的定义可知|AF|=xA+p2=8，
因为点A到y轴的距离为6，
所以6+p2=8，解得p=4．
故选C．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB为圆的直径，
∴AM⊥BM，∵∠ABM=60∘，AB=4，
∴AM=ABsin60°=2 3．
∵PA⊥圆面，BM⊂圆面，则PA⊥BM，AM⊥BM，
∵PA∩AM=A，PA、AM⊂平面PAM
∴BM⊥平面PAM，∵PM⊂平面PAM，
∴BM⊥PM且平面ABM∩平面PBM=BM
∴∠AMP为二面角A−BM−P的平面角．
在Rt△PAM中，∠PAM=90∘，PA=3，AM=2 3，
∴tan∠AMP=32 3= 32，所以cs∠AMP=2 77，所以∠AMP=arccs2 77
故.二面角A−BM−P的大小为arccs2 77
故选C．
本题考查二面角的度数的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
根据题意求得∠AMP为二面角A−BM−P的平面角，根据条件求出tan∠AMP= 32，再求出余弦故可得答案．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率公式，考查实际问题的建模方法，属于基础题．
根据已知条件，结合离心率公式，即可求解．
【解答】
解：∵若某行星距太阳表面的最大距离为ρ，最小距离μ，太阳半径为r，
∴2c=ρ−μ, 2a=ρ+μ+2r ,
即e=2c2a=ρ−μρ+μ+2r ，
故选A．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆有关的最值问题，是中档题．
作出圆心C关于x轴的对称点C1，先求得|PC1|+|PN|的最小值，结合图象进而求得的最小值即可得出结果．
【解答】
解：圆C: (x − 1)²+(y−2)²=1，圆心C(1,2)，半径为r=1，
则圆心C(1,2)关于x轴的对称点为C1(1,−2)，则(|PC1|+PN)min = (3−1)2+(4+2)2=2 10，当且仅当P，M，C1三点共线时取得最小值，
故(|PM|+PN)min=(|PC1|+|PN|)min−r=2 10−1，
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得F1(−c,0)，F2(c,0)，设AB所在直线方
程y=k(x+c)，则A(0,kc)，
与双曲线渐近线联立得：y=k(x+c)y=bax，得x=kcab−kay=kcbb−ka，得B(kcab−ka,kcbb−ka)，
由F1A=2AB，得
(c,kc)=2(kcab−ka,kcbb−ka−kc)，得b=3ka，
由F1B⋅F2B=0，得
(kcab−ka+c,kcbb−ka)⋅(kcab−ka−c,kcbb−ka)=0，化简
得(c2)2−c2+(cb2a)2=0，得b2=3a2，
所以ba=± 3，所以y=± 3x，
故B项正确．
故选B．
本题考查了双曲线的渐近线，是一般题．
设出AB所在直线方程y=k(x+c)，然后与渐近线y=bax联立求出点B坐标，然后利用F1B⋅F2B=0
从而可求解．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角，考查线面垂直的判定，考查空间想象能力，属于较难题．
由题意可发现AE始终垂直平面BFB1，则只需过点D作出平行AE的直线，找到该线与平面BFB1的交点，连接该点与B1即可得到B1D与平面BFB1所成角，而后通过计算研究该角的正切值即可得．
【解答】
解：连接EF、BF，设其交点为G，连接B1G，
由矩形ABCD中，AB=2，BC=4，
故四边形ABEF为正方形，且AE⊥BF，AE=BF=2 2，
又B1由点B关于AE折叠而来，
故AE⊥B1G，
且B1G=BG=12BF= 2，
又B1G、BF⊂平面BFB1，且B1G∩BF=G，B1G，BF⊂平面BFB1，
故AE⊥平面BFB1，过点D作DM⊥BF于点M，
由AE⊥BF、DM⊥BF，
故DM//AE，
又AE⊥平面BFB1，
故DM⊥平面BFB1，
连接B1M，
则∠DB1M为B1D与平面BFB1所成角，
由B1M⊂平面BFB1，
故DM⊥B1M，
故B1D与平面BFB1所成角的正切值即为DMB1M，
由AF=DF，∠AGF=∠DMF=90∘，∠AFG=∠DFM，
故△AGF与△DMF全等，
故DM=AG=12AE= 2，
MF=GF=12BF= 2，
过点B1作B1O⊥BF于点O，
则有B1M= B1O2+MO2，
设BO=x，则OM=BM−BO=3 2−x，
当O点在线段GF上(可在G点，不可在F点)时，
则x∈[ 2,2 2)，
有B1O2=B1G2−GO2=( 2)2−(x− 2)2=−x2+2 2x，
则B1M= B1O2+MO2= √−x2+2 2x+(3 2−x)2= 18−4 2x，
则DMB1M= 2 18−4 2x=1 9−2 2x，
易得1 9−2 2x在x∈[ 2,2 2)上时随x的增大而增大，
故DMB1M=1 9−2 2x∈[ 55,1)，
当O点在线段BG上(不在两端)时，x∈(0, 2)，
则B1O2=B1G2−GO2=( 2)2−( 2−x)2=−x2+2 2x，
则B1M= B1O2+MO2= −x2+2 2x+(3 2−x)2= 18−4 2x，
则DMB1M= 2 18−4 2x=1 9−2 2x
易得1 9−2 2x在x∈(0, 2)上时随x的增大而增大，
此时DMB1M=1 9−2 2x∈(13, 55)，
综上所述，DMB1M∈(13,1)，
即在翻折过程中，B1D与平面BFB1所成角的正切值的取值范围为(13,1)．
故选：D．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了椭圆，双曲线的标准方程及其性质，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题．
根据方程 x23−t+y2t−1=1，利用椭圆、双曲线的几何性质，即可结合选项逐一求解．
【解答】
解：当x23−t+y2t−1=1为椭圆时，则3−t>0t−1>03−t≠t−1，所以1