精品解析：2023年广东省深圳市福田区八校中考联考数学试题

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数学（5月）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为1-10题，共30分，第Ⅱ卷为11-22题，共70分．全卷共计100分．考试时间为90分钟．
注意事项：
1、答题前，请将学校、姓名、班级、考场和座位号写在答题卡指定位置，将条形码贴在答题卡指定位置．
2、选择题答案，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动请用2B橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上．非选择题，答题不能超出题目指定区域．
3、考试结束，监考人员将答题卡收回．
第Ⅰ卷（本卷共计30分）
一、选择题：（每小题只有一个选项正确，每小题3分，共计30分）
1. 的相反数是( )
A. B. C. 2023D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相反数的定义求解 ．
【详解】解：根据相反数的意义可以得到的相反数是，
故选：C．
【点睛】本题考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题关键．
2. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连…”，我国民间流传有许多“24节气歌”．下面四幅手绘作品，它们依次分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
3. 节肢动物门是动物界最大的一门，门下蛛形纲约有60000余种.60000用科学记数法可以表示成（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：60000用科学记数法表示为，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
4. 下列计算，正确的是（ ）
A. a2﹣a=aB. a2•a3=a6C. a9÷a3=a3D. （a3）2=a6
【答案】D
【解析】
【详解】A、a2-a，不能合并，故A错误；
B、a2•a3=a5，故B错误；
C、a9÷a3=a6，故C错误；
D、（a3）2=a6，故D正确，
故选D．
5. 学校组织部分学生外出开展社会实践活动，安排给九年级三辆车，小敏与小慧都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．则小敏与小慧同车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，然后再求出小敏与小慧同车的概率即可．
【详解】解：用A，B，C分别表示给九年级三辆车，画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，小敏与小慧同车的有3种情况，
∴小敏与小慧同车的概率是：，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用列表法或树状图求概率，解题关键是用字母或甲乙丙分别表示给九年级的三辆车，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与小明与小红同车的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
6. 网上一些推广“成功学”的主播，常引用下面这个被称为竹子定律的段子：“竹子前4年都用在扎根，竹芽只能长，而且这还是深埋于土下．到了第五年，竹子终于能破土而出，会以每天的速度疯狂生长．此后，仅需要6周的时间，就能长到15米，惊艳所有人！”．这段话的确很励志，须不知，要符合算理的话，需将上文“6周”中的整数“6”改为整数（ ）
A. 5B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列出算式进行计算即可．
【详解】解：，
竹子生长需要的时间为（天），
，
即竹子长成需要8周的时间，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了有理数除法的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算．
7. 生活中，我们常用到长方形样、不同型号的打印纸．基于满足影印（放大或缩小后，需保持形状不变）及制作各型号纸张时，既方便又省料等方面的需要，对于纸张规格，存有一些通用的国际标准．其中，把纸定义为面积为1平方米，长与宽的比为的纸张；沿纸两条长边中点的连线裁切，就得到两张纸；再沿纸两条长边中点的连线裁切得纸…依此类推，得等等的纸张（如图所示）．若设纸张的宽为米，则应为（ ）

A. B. 的算术平方根C. D. 的算术平方根
【答案】D
【解析】
【分析】由纸张的宽为x米，表示出纸的宽和长，根据纸面积为1平方米求出x的值即可．
【详解】解：由图得，当纸张的宽为x米时，纸的宽为米，
∵纸张长与宽比为，
∴纸的长为米，
∵纸面积为1平方米，
∴，
∴，
∴x的值为的算术平方根．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的计算，根据图形表示出A0的长宽是解题关键．
8. 如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从点经过旗杆顶点恰好可观测到矮建筑物的最底端点处，从点测得点的俯角为，测得点的俯角为30°，若旗杆底部为的中点，则，矮建筑物的高为（ ）
A. 18米B. 20米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】过点D作于点F，则点F，D，C三点共线，根据，可得，可得米，然后和中，根据锐角三角函数求出，的长，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作于点F，则点F，D，C三点共线，

根据题意得：，
∴，
∵点G是中点，
∴，
∴米．
在中，，
∴米．
在中， 米，
则米．
∴米．
故选B．
【点睛】解直角三角形的应用——仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9. 如图，的半径为，交轴正半轴于点，直线垂直平分交于点，轴于点．今假设在点，处，分别有一质量为，的天体；天体物理中，把与，处于同一平面，坐标为的点称为【O，A】系统的拉格朗日4号点，记为（若把卫星发射到的位置，则卫星会处于相对静止的稳状态），以下说法中错误的是（ ）
A. 是等边三角形B. 在线段上
C D. 若恒定，则越小，离点越近
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质得到是等边三角形，线段之间的大小关系得到在线段上，根据等边三角形的性质得到，根据关系得到离点越近．
【详解】解：设与交于点，
∵垂直平分，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∵在圆中，，
∴，
∴是等边三角形，
故正确；
由知，，与的纵坐标相同，
∵，
∴，
∴，
∴在线段上；
故正确；
当在重合时，，
当在重合时，，
∴，
故错误；
若恒定，越小时，则越趋近于，
∴趋向于，
∴离点越近，
故正确；
故选．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的性质，圆的性质，平面直角坐标系内点的坐标，掌握坐标与图形的关系是解题的关键．
10. 如图，菱形中，交于点，，垂足为点，连接，若，则的长为（ ）
A. B. 16C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由菱形性质可知：，，，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半得，再利用双勾股列方程求出，即可解答．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，，
又∵，
∴，，
∵，，
设，则，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），，
∴，
在中，，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
第Ⅱ卷（本卷共计70分）
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 若方程的两根为，，则___________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵方程的两根为，，
∴．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．
13. 如图，以矩形的顶点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交及的延长线于点，，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交的延长线于点．若，，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】过点G作，垂足分别为点M和N，则，由平分得到，由四边形矩形，进一步可得，,则四边形是矩形，得到，由求得，即可得到答案．
【详解】解：过点G作，垂足分别为点M和N，则，
由题意可知，平分，
∴，
∵四边形是矩形，
∴
∴，,
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：2．
【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质和作图等知识，熟练掌握角平分线的性质、矩形的判定和性质是解题的关键．
14. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴两轴的正半轴上，反比例函数的图象经过该正方形的中心．若，，则的值为___________．

【答案】
【解析】
【分析】作轴于E，利用证明，得，，可得点D的坐标，进一步求得正方形中心点的坐标，再将此点代入反比例函数解析式可得答案．
【详解】解：作轴于E，

∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴正方形的中心点，
∵反比例函数的图象经过该正方形的中心，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，求得正方形顶点的坐标是解题的关键．
15. 如图，在中，，点是上一点，交延长线于点，连接．若图中两阴影三角形的面积之差为32（即，），则___________．
【答案】8
【解析】
【分析】延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，先证明，可得四边形是正方形， 从而得到，再证得，可得，，从而得到，然后证明，可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，延长交于点E，过点C作于点H，于点G，则，
在中，∵，
∴，
∴，
∵，即，
∴，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：8
【点睛】本题主要考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值进行计算即可．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂和负整数指数幂的运算法则，绝对值的意义，特殊角的三角函数值，准确计算．
17. 先化简，后求值：，其中，是的小数部分（即，）
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=．
当时，原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18. 为迎接义务教育均衡化检查，了解音乐课科目学生的学习情况，某校从八年级学生中抽取了部分学生进行了一次音乐素养测试，把测试结果分为四个等级：A级（优秀），B级（良好），C级（及格），D级（不及格），其中相应等级的得分依次为100分，80分，60分，40分，并将测试结果绘成了如图的两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是___________人；
（2）A级在扇形统计图中对应的圆心角度数是___________°，并把条形统计图补充完整；
（3）该校八年级有学生700名，若全部参加这次音乐素养测试，则估计不及格人数为___________人；
（4）这次抽测成绩的中位数是___________分；众数是___________分．
【答案】（1）50 （2）210；见解析
（3）28 （4）100；100
【解析】
【分析】（1）用A级人数除以A级占比即可得到本次抽样测试的学生人数；
（2）用即可求出A级对应的圆心角的度数，再求出B级的人数，即可补全条形统计图；
（3）用样本估计总体即可求出不及格的人数；
（4）根据中位数和众数的概念求解即可
【小问1详解】
（人），
故答案为：50；
【小问2详解】
A级在扇形统计图中对应的圆心角度数是，
B的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：210；
【小问3详解】
不及格的人数为：（人），
故答案为：28；
【小问4详解】
50个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是第25，26个，而100分有30个，
所以，中位数是100分，众数是100分，
故答案为：100；100；
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数以及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19. 程大位是明代商人、珠算发明家．在其杰作《算法统宗》（如图）中记载有如下问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？”
（1）请你求出上述问题的解；
（2）若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬尺；第四天休息，下滑2尺…这只青蛙按照这样的规律向上爬与休息，若它想要在9天内（包括第9天）爬出井外，求至少要为多少尺？
【答案】（1）绳长48尺，井深11尺
（2）
【解析】
【分析】（1）设绳长尺，井深尺，根据“以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺”，列出方程组，求解即可；
（2）根据题意可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口，把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而离井口的距离为尺，然后列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设绳长尺，井深尺，
根据题意，得： 解得：，
答：绳长48尺，井深11尺；
【小问2详解】
解：因为要求的是的最小值，
所以可假设青蛙在第8天结束时，还没有爬出井口（若已爬出井口，则的值会更大）．
把每两天分为一组，第8天结束时，青蛙离井底的距离为尺，因而，离井口的距离为尺，
根据题意，得：，
解得：≥．
答：的最小值为尺．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，明确题意，准确列出方程组和不等式是解题的关键．
20. 如图，是的直径，点P是射线上的一动点（不与点A，B重合），过点作的割线交于点C，D，于，连接．
（1）①在图1的情形下，证明：；
②当点处于图2中的位置时，①中的结论___________（填“仍成立”或“不再成立”）；
（2）若的半径为3，当且时，求的长．
【答案】（1）①见解析，②成立
（2）8或4
【解析】
【分析】（1）①连接，证明，得，即可得到结论；②成立，连接,证明即可得到结论；
（2）求出，在中运用直角三角形的性质求出的长即可．
【小问1详解】
①证明：如图，连接．
∵是的直径，且，
∴．
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴
② 当点P处于图2中的位置时，①中的结论仍成立．
理由如下：
连接,如图，
∵是的直径，且，
∴．
又
∴，
∴，
∴
【小问2详解】
∵的半径为3，
∴，
由（1）知，，
∵，
∴，
∴．
在中，
∴．
∴，
∴.8或4．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，正确识别图形是解答本题的关键．
21. 如图，甲、乙分别从，两点同时出发，甲朝着正北方向，以每秒3个单位长度的速度运动；乙朝着正西方向，以每秒4个单位长度的速度运动．设运动时间为秒．
规定：秒时，甲到达的位置记为点，乙到达的位置记为点，例如，1秒时，甲到达的位置记为，乙到达的位置记为（如图所示）；2.5秒时，甲到达的位置记为等等．容易知道，两条平行且相等的线段，其中包含有相同的方位信息．所以，在研究有关运动问题时，为研究方便，我们可把点或线段进行合适的平移后，再去研究（物理上的相对运动观，就是源于这种数学方法）．现对秒时，甲、乙到达的位置点，，按如下步骤操作：第一步：连接；
第二步：把线段进行平移，使点与点重合，平移后，点的对应点用点标记．
解答下列问题：
（1）【理解与初步应用】当时，
①利用网格，在图中画出，经过上述第二步操作后的图形；
②此时，甲在乙的什么方位？（请填空）
答：此时，甲在乙的北偏西（其中___________），两者相距___________个单位长度．
（2）【实验与数据整理】补全下表：
（3）【数据分析与结论运用】
①如果把点的横、纵坐标分别用变量x，y表示，则y与x之间的函数关系式为___________．
②点的坐标为___________．
（4）【拓展应用】我们知道，在运动过程中的任意时刻，甲相对于乙的方位（即，点相对于点的方位）与相对于点B的方位相同．这为我们解决某些问题，提供了新思路．请解答：运动过程中，甲、乙之间的最近距离为___________个单位长度．
【答案】（1）①作图见解析部分；②，
（2），6，3，9，，
（3）①，②（5，10.5）
（4）
【解析】
【分析】（1）①根据要求画出图形即可；
②利用勾股定理，解直角三角形解决问题；
（2）分别求出，的长，可得结论；
（3）①设，，消去，可得结论；
②代入（2）中式子，可得结论；
（4）根据垂线段最短，构建一次函数，确定交点坐标，利用两点之间距离公式求解．
【小问1详解】
解：①图形如图所示：
②时，，，
．
此时，甲在乙的北偏西（其中，两者相距个单位长度．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：时，，
时，，
．
故答案为：，6，3，9，，；
【小问3详解】
解：①由（2）可知，，
，
．
故答案为：；
②；
【小问4详解】
解：由题意，，
当直线时，的值最小，
此时过点的直线的解析式，
由，解得，．
，，
，
甲、乙之间的最近距离为个单位．
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平移变换，一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22. 如图，四边形中，，，，点P是对角线上的一动点（不与点A，C重合），过点作，，分别交，于点E，F，连接．
（1）求的度数；
（2）设，，随着点的运动，的值是否会发生变化？若变化，请求出它的变化范围；若不变，请求出它的值；
（3）求的取值范围（可直接写出最后结果）．
【参考材料】
对于“已知，求的最大值”这个问题，我们可以采取如下两种思路：
【方法一】
①转化：要求的最大值，只需先求的最大值；
②消元：显然，，所以，；
③整体观：把两变量x，y的乘积，看作一个整体变量，可设，则，问题转化为求的最大值；
④化归：显然，是的二次函数，这已是熟悉的问题．
【方法二】
由，可得，，
所以，，（等号成立的条件是）
所以，的最大值为1．
【答案】（1）
（2）不会；9 （3）
【解析】
【分析】（1）延长交于点G，根据平行线的性质得出，，根据，得出，根据三角形外角的性质得出；
（2）证明，得出，即①，同理可得②，得，即可得出结果；
（3）作 于H，求出，，得出，根据勾股定理求出，将代入得出，，根据二次函数的最值，求出结果即可．
【小问1详解】
解：延长交于点G，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
的值不会发生变化；理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，①
同理可得，，②
得，
，
∴．
【小问3详解】
解：≤．
作 于H，如图所示：
则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入，得：
，，
∴当 时，的最小值为；
∵，
∴．
∴≤．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．的取值
1
2
3
点的坐标
（_______，___________）
（___________，___________）
（___________，___________）