河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（六）试题（Word版附解析）

这是一份河南省2022-2023学年高三下学期核心模拟卷（中）理科数学（六）试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，选考题的作答等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（i是虚数单位），则（ ）
A. B. C. 10D. 34
【答案】A
【解析】
【分析】由题意首先化简复数，然后利用复数的模的计算公式可得的模为.
【详解】，
所以,
故选：A.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对数函数的单调性，结合一元二次不等式的解法、集合交集的定义进行求解即可.
【详解】，
，
因为，
所以，
故选：C.
3. 已知双曲线的渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据渐近线所过点可求得，由可求得结果.
【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，
双曲线的渐近线过点，，解得：，
双曲线的离心率.
故选：D.
4. 在中，，，点E满足，则（ ）
A. B. C. 6D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中所给的条件 利用相应公式求得结果.
【详解】解：中，，所以，
，
故选：B.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据函数图象得到函数图象的一个对称中心与的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解.
【详解】解：由题图可知图象的一个对称中心是，的最小正周期，
故图象的对称中心为，，结合选项可知，当时，图象的一个对称中心是.
故选：D.
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶性可排除CD；利用时，可排除B.
【详解】定义域为，又，
为定义域上的偶函数，图象关于y轴对称，可排除CD；
当时，，，，可排除B.
故选：A.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
7. 已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．
【详解】由题可知矩形所在截面圆的半径即为的对角线长度的一半，
，，
，
由矩形的面积，
则到平面的距离为满足：，
解得，
故球的半径，
故球表面积为：，
故选：A．
8. 已知，则的值为（ ）
A. 10B. C. 30D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，结合二项式定理求解即可.
【详解】因为，
展开式第项，
当时，，
当时，，
故，
即.
故选：B
9. 的值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据和差公式和二倍角公式化简,即可求解.
【详解】解：，
，
故，
故选：D.
10. 若直线与曲线恰有两个公共点，则a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】曲线方程变形得曲线为半圆，由直线与半圆相切得的一个值，由直线过直径的一个端点又得一个值，结合图象可得的范围．
【详解】可化为且，
即曲线是以为圆心，1为半径的圆的下半圆，
作出曲线，如图，
作直线，而直线与直线平行，
当直线过时，，
当直线与半圆相切时，由得舍去），
由图象可知的取值范围是．
故选：B．
11. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱BC上的动点，F为棱的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. 存在点E，使得直线与直线EF相交
B. 当E为棱BC的中点时，则平面
C. 点A到平面DEF的距离的最大值为
D. 存在点E，使得直线与直线EF所成角为
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面平行判断选项A，利用线线不垂直则线面一定不垂直判断选项B，建立空间坐标系，利用坐标法，利用点到平面的距离公式判断选项C，利用异面直线夹角公式求解判断选项D.
【详解】在正方体中，，平面，
平面，所以平面，又平面，
所以与不相交，故A错误；
因为正方体的棱长为2，又E为棱BC的中点，所以，，
在中，，所以，即不成立，
即平面不成立，故B错误；
以D为坐标原点，DA，DC，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
所以，设，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，得，
所以点A到平面的距离，
所以当时，点A到平面的距离取到最大值，所以，故C正确；
连接，则，所以异面直线与直线EF所成角为直线与直线EF所成角，
若存在点，使得直线与直线EF所成角为，
则，所以，
所以，又，
得，解得，不符合题意，
故不存在点，使得直线与直线EF所成角，故D错误.
故选：C
12. 若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构建函数，利用导数判断单调性可得，再构建利用导数判断的单调性可得.
【详解】构造函数，
则，
所以在上单调递增，则，故，
构建，则，在上恒成立，
故在上单调递减，则，∴，
所以，即，所以，故，
综上，，
故选：C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 有一组样本数据，该样本的平均数和方差均为2．在该组数据中加入一个数2，得到新的样本数据，则新样本数据的方差为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据方差的定义计算.
【详解】由题意，
，
因此，
所求方差为．
故答案为：．
14. 已知椭圆的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点，则的最小值为_______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据椭圆定义可知，进而可得的最小值.
【详解】根据椭圆的定义：，
取得最小值时，
即最小，
如图所示：，当，，共线时取得最小值．
的最小值为：﹒
故答案为：.
15. 已知函数，曲线在点处的切线方程是，则曲线在点处的切线方程是_______．
【答案】
【解析】
【分析】由曲线在点处的切线方程是，故，再结合
，，得到，故得解.
【详解】由曲线在点处的切线方程是，
故，
又
在点处的切线方程是：
故答案为：.
16. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定等式求出三角形的内角C，再利用正弦定理及三角恒等变换、三角函数性质求解作答.
【详解】因，显然，，
锐角中，，，则，
令，由得：，
由正弦定理得，，
因此，
而，则，即有，
所以的取值范围为.
故答案为：.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知数列满足，且．
（1）证明：为等比数列，并求的通项公式；
（2）求的前n项和．
【答案】（1）证明见详解，
（2）
【解析】
【分析】（1）对递推式进行变形，根据等比数列的定义即可证明，利用等比数列通项公式求出通项，即可求解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【小问1详解】
当时，由可得，又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，即.
【小问2详解】
，
则，两式相减得
所以.
18. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是正三角形，且平面平面ABCD，，O为棱AD的中点，E为棱PB的中点．
（1）求证：平面PCD；
（2）若直线PD与平面OCE所成角的正弦值为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可得答案；
（2）取的中点，可得，平面，以为原点，分别以所在的直线建立空间直角坐标系，设，求出、平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得，再由棱锥的体积公式可得答案．
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为O为棱AD的中点，E为棱PB的中点，
所以，，
所以，即四边形为平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面PCD；
【小问2详解】
取的中点，连接，
所以，
因为为中点，，所以，
因为平面平面ABCD，所以平面，
以为原点，分别以所在的直线建立如图所示的空间直角坐标系，
设，可得，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，可得，
所以，所以
，
解得，
所以四棱锥的体积为
,
19. 温度作为环境因子，在种子发芽过程中起着重要的作用．某研究性学习小组对某植物种子的发芽率y与环境平均温度x（℃）之间的关系进行研究，他们经过5次独立实验，得到如下统计数据：
（1）根据散点图可以发现，变量y与x之间呈线性相关关系．如果在第6次实验时将环境平均温度控制在，试根据回归方程估计这次实验该植物种子的发芽率；
（2）若从这5次实验中任意抽取3次，设种子发芽率超过70%的次数为X，求X的分布列与数学期望．
参考公式：线性回归方程中，，．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，；
【解析】
【分析】（1）根据最小二乘法可得回归直线方程，进而即得.
（2）由题可知的可能取值，求相应概率可得分布列及期望；
【小问1详解】
由已知得，，
所以，
，
即，
当第6次实验，即时，，
所以根据回归方程估计这次实验中该种子的发芽率为．
【小问2详解】
由题可知的可能取值为1，2，3,
则，
，
，
所以的分布列为：
即；
20. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）过点F且斜率为的直线l与C交于A，B两点，点P是C上的一点，且，直线OP与直线交于Q点，点M是线段PQ的中点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得曲线C为抛物线，焦点为，即可得解；
（2）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再结合焦半径公式可求得，设的方程为，联立方程，可求得点的坐标，易得，从而可求得点的坐标，再根据连点间的距离公式可求得，即可得解.
【小问1详解】
因为动圆经过点且与直线相切，
所以该动圆的圆心到点和直线的距离相等，
所以曲线C为抛物线，焦点为，即，所以，
所以C的方程为；
【小问2详解】
设直线的方程为，
联立，消得，
则，所以，
则，
又，
所以，
因为，则可设的方程为，
联立，消得，解得或，
所以，
因为直线OP与直线交于Q点，则，
故，
所以，
，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：对于圆锥曲线定值问题，一般要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，进行求解，本题中由于一点是已知得，所以可以通过韦达定理求出另外一个交点的坐标，通过两种方法表达同一条直线的斜率得到等量关系，从而得到答案.
21. 已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求a的取值范围；
（2）若，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见详解
【解析】
【分析】（1）因为为上的单调递增函数，故恒成立，参变分离后可求得参数的取值范围；
（2）由知需证明，换元，对函数求导，研究函数的最值即可.
【小问1详解】
若在区间上单调递增，则在上恒成立，
即在上恒成立，令，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减，
所以，所以，即a的取值范围为.
【小问2详解】
当时，，要证，即证，
即证，即，令，即证，
令，所以，
令，解得，当时，所以，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，所以当时，取得极小值即最小值，
所以，即，所以.
点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，常用方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若点的极坐标为，是上的动点，为线段的中点，求点到直线的距离的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】（1）由极坐标与直角坐标互化原则可直接化简整理得到直角坐标方程；
（2）将点极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程；利用相关点法可求得点轨迹方程，则可设，利用点到直线距离公式，结合三角恒等变换知识可得到，进而确定最大值.
【小问1详解】
由得：，，即，
的直角坐标方程为：.
【小问2详解】
由可得点的直角坐标为即；
由消去参数可得直线的普通方程为：；
设，，
为中点，，则，，
即点轨迹为，则可设；
点到直线的距离；
则当时，.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）记的最小值为M，若实数a，b满足，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将写为分段函数，分类讨论求不等式解集即可；
（2）先求出分段函数的最小值M，再利用基本不等式的调和型求得原式的最小值即可得证.
【小问1详解】
，
当时，，解得，所以；
当时，显然成立，所以；
当时，，解得，所以.
综上，不等式的解集为.
【小问2详解】
证明：当时，，
当时，，
故的最小值为，则有，
于是
，当且仅当，即时取等号，
所以.
第n次
1
2
3
4
5
环境平均温度x/℃
18
19
20
21
22
种子发芽率y
62%
69%
71%
72%
76%
1
2
3
0.3
0.6
0.1