河南省2023-2024学年高一上学期第二次联考数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省2023-2024学年高一上学期第二次联考数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第三章3.1．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 命题“是无理数”的否定是（ ）
A. 不是无理数
B. 不是无理数
C. 不是无理数
D. 不是无理数
【答案】D
【解析】
【分析】根据特称命题的否定的定义选择即可.
【详解】命题“是无理数”的否定是不是无理数.
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意得集合表示偶数集，，则．
故选：B
3. 黄金三角形被称为最美等腰三角形，因此它经常被应用于许多经典建筑中（例如图中所示的建筑）．黄金三角形有两种，一种是顶角为，底角为的等腰三角形，另一种是顶角为，底角为的等腰三角形，则“中有一个角是”是“为黄金三角形”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由充分必要条件概念判断．
【详解】若中有一个角是，则其他两个角不确定，故不能推出为黄金三角形，
若为黄金三角形，由题意知中至少有一个角是，
故“中有一个角是”是“为黄金三角形” 必要不充分条件，
故选：C
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.
【详解】根据题意可得，解得且．
故选：C
5. 你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯数千光照，花焰七枝开”烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩．已知某种烟花距地面的高度h（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲出后爆裂的时刻是（ ）
A. 第2秒B. 第3秒
C. 第4秒D. 第6秒
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次函数的性质求解.
【详解】依题意，，
∴当时，烟花达到最高点．
故选：C
6. 若正数满足，则ab的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由题意得，则，
当且仅当时，等号成立，所以ab的最大值为，
故选：A.
7. 若集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可.
【详解】由已知，
令，解得，
又，则，化简得.
故选：B.
8. 某甜品店举行促销活动，3个提拉米苏与4个蛋糕卷的价格之和大于85元，4个提拉米苏与5个蛋糕卷的价格之和小于110元，则（ ）
A. 2个提拉米苏的价格比3个蛋糕卷的价格高
B. 3个蛋糕卷的价格比2个提拉米苏的价格高
C. 2个提拉米苏的价格与3个蛋糕卷的价格相同
D. 不等确定2个提拉米苏的价格与3个蛋糕卷的价格哪个更高
【答案】B
【解析】
【分析】首先设1个提拉米苏与1个蛋糕卷的价格分别为元、元，则，再根据不等式的性质得到，即可得到答案.
【详解】设1个提拉米苏与1个蛋糕卷的价格分别为元、元，则，
令，即，
则有解得
所以，
即，所以3个蛋糕卷价格比2个提拉米苏的价格高．
故选：B
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的真假判定方法，结合一元二次方程，二次函数，绝对值的定义等，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，对于方程，可得，且两根之积小于，故方程必有一个负根，所以A正确．
对于B中，当时，可得；当时，可得，所以，所以B正确．
对于C中，当时，，所以C错误．
对于D中，由，所以D正确．
故选：ABD.
10. 图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据所给图中阴影部分，结合集合的运算，可得答案。
【详解】对于A选项，即为图中所示；
对于B选项，应为如下图：

对于C选项，应为如下图：

对于D选项，即为图中所示.
故选：AD
11. 已知表示不超过x的最大整数，则（ ）
A. 当时，B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由表示不超过的最大整数，得，故A，B项可判断；C项，由同向不等式可加性得到；D项，先作差比较与的大小，再由，利用不等式的传递性可得.
【详解】当时，，A错误；
因为，所以恒成立，B正确；
因为，，所以，．则，C正确；
由题意可得．则，
所以，D正确．
故选：BCD.
12. 若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】易知，则，令得，再令可得，根据均值不等式即可求解.
【详解】由题意易知，，
令，分式上下同除以，得恒成立，
则，
令，则，，
所以，得，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：CD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13. “”是“”的______条件．（这“充分不必要”“必要不充分”“冲要”中选一个合适的填入横线中）
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】解不等式，然后利用充分条件与必要条件的概念判断.
【详解】由得，可得，
由得，即，解得．
由不能推出，由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分.
14. 已知集合，，若，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】由可得，根据集合的包含关系，确定集合的元素的关系，即可求解.
【详解】由可得，
当，即时，，不符合集合中元素的互异性，舍去；
当时，解得或3，若，则，不符合集合中元素的互异性，舍去；
若，则，，符合题意．
故答案为：3.
15. 设集合，，函数，已知，且，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式直接计算即可.
【详解】因为，所以，
则，
由，可得，解得，
故答案为：
16. 当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是______．
【答案】
【解析】
【分析】当时不等式显然成立；当、时，根据一元二次不等式恒成立，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】当时，，显然恒成立．
当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线，
当时，恒成立，则，解得．
当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线，
当时，恒成立，则，显然成立，所以，
故取值集合是．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集，集合或，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据补集和集合相等的定义即可得解；
（2）分和两种情况讨论即可得解.
【小问1详解】
由，
得或，
因为，或，
所以，解得；
【小问2详解】
当时，，解得，
当时，由，
得或，解得或，
综上，的取值范围为或．
18. 已知函数满足．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用构造方程组法求解析式，即可求解；
（2）由（1）知，结合二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
由，得，
通过消元可得．
【小问2详解】
由题意可得，
因为的图象为一条开口向上的抛物线，对称轴为，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
，
所以在上的值域为．
19. 已知，，q：关于x的方程有两个不相等的负实数根．
（1）若p为真命题，请用列举法表示整数a的取值集合；
（2）若p，q中至少有一个真命题，求a的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由判别式不小于0得的范围，从而得结论；
（2）由一元二次方程根的分布知识求得为真时的范围，再由两个命题均为假命题时得出的范围，进而可得最大值．
【小问1详解】
根据题意可得，
解得，故整数的取值集合为．
【小问2详解】
设方程的两个不相等的负实数根为，
则解得．
若p，q都是假命题，则且，所以，
当p，q中至少有一个为真命题时，的取值范围为，故的最小值为．
20. 已知正数，满足．
（1）求的最小值；
（2）若正数满足，证明：与之和为定值，且．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用消元法结合二次函数的性质即可得解；
（2）根据和即可得证得与之和为定值，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得证.
【小问1详解】
因为，所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
【小问2详解】
因为，所以，
则，所以与之和为定值，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
故得证．
21. 已知集合.
（1）若，求的取值范围.
（2）若的子集个数为4，试问是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在最大值为2
【解析】
【分析】（1）因为，将代入求解即可.
（2）对进行因式分解，可得和是方程的两根，由题意知集合中只有2个元素，进而得到，求出的范围，进而求即可.
【小问1详解】
因为，，
所以不满足，所以，解得.
【小问2详解】
因式分解可得，
则和是方程的两根，
因为的子集个数为4，所以集合中只有2个元素，
所以，解得或，
所以或，
所以存在最大值为2.
22. 如图，一块长方形形状的花梨木木板（厚度忽略不计）上有一个小黑点，现欲用这块木板作为家具的原材料，需要经过点锯掉一个梯形废料，其中，分别在，边上，．已知分米，分米，点到外边框的距离为3分米，到外边框的距离为4分米，设分米，分米．

（1）设分米，若，试问有几种不同锯法？
（2）求的值．
（3）若用梯形废料裁出一个以为顶点，其余各顶点分别在线段，，上的正方形木板作为某家具的部件，求裁出的正方形木板的边长（单位：分米）的取值范围．
【答案】（1）的取值可能为7，8，9，10，即有4种不同的锯法
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）过点作于，作于，由三角形相似求解可得答案；
（2）由（1）可得，代入化简可得答案；
（3）由相似的性质可得，则，再由不等式的性质求解即可.
【小问1详解】
过点作于，作于，过点作于，EN与MH交于点．

因为分米，分米，分米，分米，分米，
所以，
当点与点重合时，，即，得分米，
所以，则，
所以的取值可能为7，8，9，10，即有4种不同的锯法．
【小问2详解】
由（1）可得，即，得．
【小问3详解】
由（1）（2）可得，且，
由相似的性质可得，则．
令，则，，
则，
因为，所以，所以，
所以，即裁出的正方形木板的边长的取值范围为