河南省部分学校2023届高三押题信息卷(一)理科数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省部分学校2023届高三押题信息卷(一)理科数学试题（Word版附解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，选考题的作答等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解出集合与，然后根据集合的运算得出结果.
【详解】解：因为，所以，
又，函数单调递增，
所以，
所以，
故选：A．
2. 已知，且，若，则的最大值是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】设出，解出，从而得出的函数关系，从而得解本题.
【详解】解：设，
因为，故，
因为，所以，
故，
当时，有最大值为2．
故选：D．
3. 抛掷一枚骰子两次，第一次得到的点数记为，第二次得到的点数记为，则平面直角坐标系中，点到原点的距离不大于4的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据古典概型公式计算可得.
【详解】基本事件共有36个，而满足点到原点的距离不大于4的基本事件有共8个，
所求概率为．
故选:C．
4. 已知是方程的两个根，则（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式计算．
【详解】由于是方程的两个根，所以，，所以．
故选：B．
5. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】模拟运行程序，直至退出循环体即可.
【详解】执行第一次循环，；
执行第二次循环，；
执行第三次循环，，此时输出．
故选：B
6. 如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，连接交于点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】选为基底分别把表示出来，然后代入中，的系数对应相等即可；本题也可以用排除法，显然，故，只有C选项满足，故选C.
【详解】设
则
显然
得
显然
因为
所以有
即
根据向量的性质可知
解得
故选：C
7. 日常生活中，我们定义一个食堂的菜品受欢迎程度为菜品新鲜度．其表达式为，其中的取值与在本窗口就餐人数有关，其函数关系式我们可简化为，其中为就餐人数（本窗口），为餐品新鲜度，则当，时，近似等于（ ）（已知）
A. 470B. 471C. 423D. 432
【答案】A
【解析】
【分析】根据题目将数据代入公式，结合指数函数单调性求解即可.
【详解】当，时，，
因为，且单调递减，
所以，
所以当时，
故选：A
8. 如图，在平行六面体中，底面，侧面都是正方形，且二面角的大小为，，若是与的交点，则（ ）

A. B. C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行六面体的结构特征及向量对应线段位置关系，结合向量加法、数乘的几何意义用表示出，再应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】在平行六面体中，四边形是平行四边形，
又是的交点，所以是的中点，
所以，
由题意，，，
所以，即．
故选：B.
9. 设为数列的前n项和，若，且存在，，则的取值集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，利用分组求和求得，不妨令，解得，所以，因为，所以或，分情况讨论可得答案.
【详解】因为，所以
，
不妨令，可得，
解得（舍去），所以，
因为，所以或，
因为,所以，所以，
当时，，
所以，
当时，，由得，
所以，
则的取值集合为.
故选：A.
10. 设是定义在上的周期为5的奇函数，，则在内的零点个数最少是（ ）
A. 4B. 6C. 7D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的周期性、奇偶性求区间零点的个数.
【详解】因为是定义在上周期为5的奇函数，
所以，又，所以，
则，则．
所以，
故零点至少有，则在内的零点个数最少是9．
故选：D
11. 若关于的方程在内有两个不同的解，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简已知方程，求得，进而求得.
【详解】关于的方程在内有两个不同的解，
即（，取为锐角）
在内有两个不同的解，
即方程在内有两个不同的解．
不妨令，由，则，
所以，
所以．则，
即，
所以．
故选：D．
12. 已知正方体的棱长为3，动点M在侧面上运动（包括边界），且，则与平面所成角的正切值的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到点M在平面的投影为点N，在平面平面上，建立平面直角坐标系，求出点N的轨迹方程，进而数形结合求出，从而求出答案.
【详解】设点M在平面的投影为点N，则，所求线面角为，则，因为，所以，在平面上，以A为坐标原点，AD为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，
则，，设，，化简得：，，故点N的轨迹为以为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST，如图所示，连接，与圆弧ST相交于点，此时取得最小值，由勾股定理得：，所以，当点N与S重合时，取得最大值，由勾股定理得：，
则，．
故选：B．
【点睛】立体几何中轨迹问题，建立合适的坐标系，求出轨迹方程是解决问题的重要方法，将几何问题代数化，数形结合解决问题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________．
【答案】24
【解析】
【分析】根据椭圆与双曲线方程得到椭圆与双曲线具有共同焦点，，
从而得到P与双曲线两焦点的距离之和，再根据，求出周长.
【详解】由已知得椭圆与双曲线具有共同的焦点，，
由椭圆定义可知：，
故P与双曲线两焦点的距离之和为14，
又，
因此P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为.
故答案为：24
14. 已知，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将原式变形为，得出展开式的通项为，分别求出和时的系数，即可得出答案.
【详解】由题意得.
的展开式的通项公式为，.
当时，，所以；
当时，，所以.
所以.
故答案为：．
15. 已知在和上各有一个零点，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点定义，结合可行域进行求解即可.
【详解】在和在上各有1个零点，
画出它的可行域，如图所示：的内部．

令，则，
如图，当过时，；当过时，，
故的取值范围是．
故答案为：
16. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点分别为．则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据导数的几何意义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】因为在抛物线上，所以，解得，所以．
设．由，求导得，
则直线，直线．
由解得所以，
又在直线上，得．
所以
．
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据导数的性质求出抛物线的切线方程.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 某手机商家为了更好地制定手机销售策略，随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查．从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象，其中男性顾客和女性顾客的比值为，商家认为一年以内（含一年）更换手机为频繁更换手机，否则视为未频繁更换手机．现按照性别采用分层抽样的方法随机抽取105人，并按性别分为两组，得到如下表所示的频数分布表：
（1）计算表格中的值；
（2）请根据频率分布表填写列联表，并判断是否有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”？
附表及公式：
，其中．
【答案】（1）
（2）表格见解析，没有
【解析】
【分析】（1）根据男性顾客和女性顾客的比值、分层抽样的知识求得.
（2）根据已知条件填写列联表，计算的值，由此作出判断.
【小问1详解】
由题知男性顾客共有人，女性顾客共有人，
按分层抽样抽取105人，则应该抽取男性顾客人，女性顾客人；
所以．
【小问2详解】
由频率分布表可知，在抽取的105人中，男性顾客中频繁更换手机的有20人，女性顾客中频繁更换手机的有10人，据此可得列联表：
所以．
因为，所以没有99%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.
18. 已知椭圆的焦距为2，圆与椭圆恰有两个公共点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知结论：若点为椭圆上一点，则椭圆在该点处的切线方程为．若椭圆的短轴长小于4，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．
【答案】（1）或
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设椭圆的半焦距为，再分圆在椭圆的内部和外部两种情况分别求解即可；
（2）由题意椭圆的方程为，再设，得出切线的方程，将代入可得的坐标都满足方程即可得定点.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为．当圆在椭圆的内部时，，椭圆的方程为．
当圆在椭圆的外部时，，
椭圆的方程为．
【小问2详解】
证明：设．
因为椭圆的短轴长小于4，所以的方程为．
则由已知可得，切线的方程为的方程为，
将代入的方程整理可得，
．
显然的坐标都满足方程，
故直线的方程为，
令，可得，即直线过定点．
19. 已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点．
（1）若，求面积最大值；
（2）证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理得出的角度，借助基本不等式根据余弦定理得出的最大值，从而得出面积的最大值；
（2）利用余弦定理，由可得出，同理可得，由恰为的中点，可证本题.
【小问1详解】
解：由正弦定理，得，
所以，
又，所以或，
当时，
由余弦定理，得
，
所以，的面积，
当且仅当时，取等号；
当时，
同理可得，的面积，
当且仅当时，取等号．
综上，面积的最大值为；
【小问2详解】
证明：设，
由余弦定理知，，
因为，
所以，
化简整理得，
而，因此，
又因为是外心，故，
同理可知，
因为恰为的中点，
因此，所以．

20. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，分别是的中点，平面经过点与棱交于点．

（1）试用所学知识确定在棱上的位置；
（2）若，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）靠近的三等分点处
（2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，结合平行线的性质进行求解即可；
（2）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
过作直线与平行，延长与交于点，
连接与的交点即为点．
因为底面是矩形，是的中点，
所以，且．
又，所以，
因为是的中点，可得，
则，所以．
故在棱靠近的三等分点处．
【小问2详解】
因为是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，
平面，所以平面．
取中点，连接，易知两两相互垂直，
如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
．

设平面的法向量为，
则即令，则，所以．
．
设与平面所成角为，
则，
所以与平面所成角的正弦值为．
21. 已知函数．
（1）若无极值，求的取值范围；
（2）若关于的方程有2个不同的实数根，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）函数无极值，即导函数无变号零点，转化为函数与的图形关系，从而得出结果；
（2）方程有2个不同的实数根转化为方程有2个不同的根，根据求证目标，构造新函数，利用函数单调性、切线等方法得出的范围，从而得证．
【小问1详解】
解：，
因为无极值，
所以函数无变号零点，即函数无变号零点．
令，
当单调递增；当单调递减．
故当时，，结合的图象可知，时，函数无变号零点，即的取值范围为；
【小问2详解】
证明：方程有2个不同的根，即方程有2个不同的根．
令，
当单调递增；当单调递减．
所以当时，，
结合图象可知，，且， ，
，所以．

令，解得，
则
令，
则，易知单调递减．
令，解得．
当时，单调递增；当单调递减．
所以．
当时，，即．
综上，，所以．
的图象在的切线方程为，
令，所以，
故．
令，当单调递减，
所以，即，所以．
的图象在的切线方程为，令．
．
令，
当时，单调递减，当时，单调递增．
，所以．
，所以．
综上，．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的极坐标方程以及曲线C的参数方程；
（2）若直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．
【答案】（1）（），（为参数）
（2）
【解析】
【分析】（1）以直角坐标方程为桥梁分别求得极坐标方程和参数方程.
（2）将极坐标方程联立即可得到与可得.
【小问1详解】
由已知消去参数得， ，
将，，代入上式化简整理得：
故直线l的极坐标方程为（）
由得：
所以，故
曲线C的参数方程为 （为参数）
【小问2详解】
将直线l的极坐标方程代入曲线C的极坐标方程得：
解得： ，不妨设 ，
所以
选修4-5：不等式选讲
23. 已知正实数满足．
（1）求的最小值；
（2）当取得最小值时，的值满足不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）9 （2）
【解析】
【分析】（1）化简，由基本不等式即可求得的最小值
（2）利用绝对值三角不等式即可化简，进而求出实数的取值范围
【小问1详解】
由题意
∵，
∴，
∴，
当且仅当，即b＝2a时，a＋b有最小值9，
由4a＋b＝ab，
可求得此时
a＝3，b＝6．
【小问2详解】
由题意及（1）得
．
∵满足不等式对任意的恒成立，
所以，
解得时间间隔（月）
男性
8
9
19
12
8
4
女性
2
5
12
11
7
2
频繁更换手机
未频繁更换手机
合计
男性顾客
女性顾客
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
频繁更换手机
未频繁更换手机
合计
男性顾客
20
43
63
女性顾客
10
32
42
合计
30
75
105