河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考文科数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本试卷主要命题范围， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本试卷主要命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则的真子集个数为（ ）
A. 3B. 4C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】求出交集，再由真子集的个数公式得出答案.
【详解】因为，所以的真子集个数为个.
故选：A
2. 若复数满足（是虚数单位），则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算法则计算可得.
【详解】解：由得.
故选：C
3. 《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问田为几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（ ）
A. 12顷B. 13顷C. 14顷D. 16顷
【答案】A
【解析】
【分析】根据亩和顷的定义计算可得结果.
【详解】依题意可得该田有亩，
则该田有顷．
故选：A
4. 函数在区间上的最大值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导数，判断函数的单调性，即可求得答案.
【详解】由题意得，
当时，，，
所以在区间单调递减，故函数最大值为，
故选：B
5. 在1，2，3，4中任取2个不同的数，作为a，b的值，使方程有2个不相等的实数根的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用列举法结合古典概型公式计算即可.
【详解】取为，，，，，，，，，，，共12种，
其中使有2个不等实根，即，的有8个，
所以.
故选：D.
6. 若点是抛物线的焦点，点分别是抛物线上位于第一、四象限的点，且轴，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，
因为轴，所以，，
所以，解得，所以，
故选：A
7. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数的单调性判断大小即可.
【详解】，，
即.
故选：A
8. 已知函数的图像关于直线对称，则函数的最大值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦函数的对称性得出，进而得出，再由辅助角公式结合三角函数的性质得出最值.
【详解】因为函数的图像关于直线对称，所以，
即，解得，
所以，所以的最大值为2.
故选：C
9. 已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】不妨设，，，，利用数量积和模长的坐标表示求得点的轨迹即可求解.
【详解】因为，，的夹角为，
所以，
不妨设，，，则，，
则，解得或，
设，由得在以为圆心，1为半径的圆上，
或
所以的最小值为.
故选：C
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可
【详解】作出四棱锥A﹣BCDE的直观图如图所示：
由三视图可知底面BCDE是平行四边形，面ABE，
且,，
所以最长的棱是，长为.
故选：D.
11. 已知双曲线：的渐近线方程为，且焦距为，过双曲线中心的直线与双曲线交于两点，在双曲线上取一点（异于），直线，的斜率分别为，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线的两条渐近线方程以及焦距，求得，，进而得到双曲线方程，设出点，可得，点，代入双曲线方程，两式相减，结合直线的斜率化简整理可得所求值．
【详解】双曲线的两条渐近线方程为，所以，
因为焦距为，所以，
又，所以，，故双曲线的方程为．
设点，则根据对称性可知，点，，，
所以，且，，两式相减可得.
故选：B
12. 已知直线与圆相切，若函数，满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由直线与圆相切可得，从而可得为奇函数且在上为单调递增函数，再将不等式化简，结合基本不等式即可得到结果.
【详解】由圆可得圆心，半径为，
直线与圆相切，则，，
因为，所以为奇函数.
且在上为单调递增函数，
对于任意的，有，即
所以，
，
令（当且仅当时取等号），可得，
所以.
故选:B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若实数满足约束条件,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】作出不等式组表示的平面区域，根据线性规划的几何意义，即可求得目标函数的最小值.
【详解】作出约束条件，所表示的平面区域如图阴影部分所示，
平移直线，当经过可行域内的点A时，取得最小值，
联立，解得，即,
则当，时，取得最小值为,
故答案为：
14. 已知倾斜角为直线与直线垂直，则___________．
【答案】5
【解析】
【分析】利用倾斜角和直线斜率的关系可得的值，再利用同角三角函数关系求解即可.
【详解】直线的斜率为，
因为倾斜角为的直线与直线垂直，所以解得，
所以，则.
故答案为：.
15. 已知四棱锥的顶点都在半径为3的球面上，底面ABCD是正方形，且底面ABCD经过球心O，E是AB的中点，底面ABCD，则该四棱锥的体积等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】由线面垂直的性质结合勾股定理得出，再由体积公式求解.
【详解】连接OP，OE，则，，因为底面ABCD，所以.
所以，，.
故答案为：
16. 在中，角，，的对边分别为，，，，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用正弦定理，将已知条件中的角化边，再由齐次式进行求解即可.
【详解】∵，∴由正弦定理，得；
又∵，
∴由正弦定理，得，
将代入上式，化简整理得，
两边同除以，得，
解得或（舍）.
故答案为：.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17. 已知等比数列的各项均为正数，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式求出公比，再根据等比数列的通项公式可求出结果；
（2）求出后，利用并项求和法以及等差数列的求和公式可求出结果.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，
因为，，所以，即，
解得或（舍去），
所以．
【小问2详解】
因为，
所以．
18. 某地区为了调查年龄区间在岁的居民的上网时间，从该地区抽取了名居民进行调查，并将调查结果按年龄分组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若用分层抽样的方法进一步从被调查的名居民中抽取60人进行深度调研，则年龄在以及年龄在的居民分别有多少人?
（2）在中抽取4人，中抽取2人，若从这6人中再次随机抽取2人调查浏览新闻的时间，求两人年龄都在上的概率.
【答案】（1）12人，6人
（2）
【解析】
【分析】（1）利用分层抽样的方法分析即可；
（2）列举出满足事件的事件的基本总数，和找出满足条件的事件数，利用古典概型求解概率即可.
【小问1详解】
依题意，各组的比例为1：7：6：4：2，
故抽取的60名居民中，
年龄在的人数为人，
年龄在的人数为人.
【小问2详解】
记在中的4个人分别为，，，，
在中的2个人分别为，，
则从6人中抽取2人，所有的情况为：
，，，，，，，，，，，，，，共15种；
其中满足条件的有，，，，，共有6种；
故所求概率为是：.
19. 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是和中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
分析】（1）由线线垂直证线面垂直，再证面面垂直；
（2）由等体积法求体积，.
【小问1详解】
连接，因为，，
所以.
因为是的中点，所以.
因为，是的中点，所以.
因为，且平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为，平面，平面，所以平面，
所以，
，
设G为BC的中点，
因为，所以，
由条件知，，所以，
所以，所以.
20. 已知椭圆：的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线与椭圆交于A，B两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率、得出方程；
（2）当直线的斜率不存在时，由对称性得出；当直线斜率存在且不等于零时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式得，再由基本不等式求解即可；
【小问1详解】
由椭圆的离心率为，且过点得
椭圆的方程为
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，，则；
当直线斜率存在且不等于零时，设直线：，
联立可得，
设，，则，，
，，
显然，在轴两侧，，异号，
所以
，
当且仅当，时，取等号.
所以的最大值为.
21. 已知函数，.
（1）若，求函数的图像在处的切线方程；
（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，点斜式即可求出切线方程；
（2）恒成立问题转换条件，构造函数对函数求导，利用函数导数与单调性以及分类讨论即可解决问题.
【小问1详解】
当时，，
，
所以，，
所以函数图像在处的切线方程为：，
即.
【小问2详解】
，
则.
又令，
则，
所以在上单调递增，且.
①当时，恒成立，
即函数在上单调递增，
从而必须满足，
解得，又，
所以.
②当时，则存在，
使且时，，
即，即单调递减；
时，，
即，即单调递增
所以，
又，
从而，解得.
由.
令，，
则，
所以在上单调递减，
则，又，
故，
综上可知，.
【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现，
难度相当大，主要考向有以下几点：
1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；
2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；
3、求函数的极值（最值）；
4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；
5、证明不等式；
解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，
在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，
对新函数求导再结合导数与单调性等解决.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）求曲线与曲线的交点的极坐标.
【答案】（1）；
（2）和.
【解析】
【分析】(1) 将的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程即可；
(2)将的极坐标方程化成普通方程，解出两曲线的直角坐标交点，再化成极坐标即可.
【小问1详解】
解：（为参数）化为普通方程为，
整理得：，
把代入，
可得，
即的极坐标方程为；
【小问2详解】
解：曲线的直角坐标方程为，
由，得或，
当交点坐标为时，化为极坐标为；
当交点坐标为时，化为极坐标为；
则与的交点的极坐标为和.
[选修4—5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论解不等式即可；
（2）求出函数的最小值，由得出的取值范围.
【小问1详解】
当时，
则由，得；由，得无解；
由，得.
所以不等式的解集为或；
【小问2详解】
当时，，则
若存在，使成立，则，，
所以的取值范围为.