河南省地区联考2023-2024学年高二上学期豫选命题阶段性检测（一）数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省地区联考2023-2024学年高二上学期豫选命题阶段性检测（一）数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了10， 考察范围选择性必修一 1， 空间四边形中，，，，且，，则， 设为函数等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分:150分） 2023.10.2
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
3. 考试完毕后，将答题卡收回，在微信公众号查询成绩.
4. 考察范围选择性必修一 1.1-2.3
一、单选题（共40分、每小题5分）
1. 空间四边形中，，，，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据空间向量的线性运算解决即可.
【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，，
如图，
所以，
所以，
故选：D
2. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D
3. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由，转化为向量的模长，然后结合空间向量数量积运算，即可得到结果.
【详解】由，可得，
因为底面为矩形，，，，
所以，，
又
，
所以，则.
故选：B
4. 已知点在直线的上方，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先把直线化为斜截式，点在直线上方，即.
【详解】直线化为斜截式得，点在直线的上方，即，解得.
故选：A
5. 在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将转化为，转化为，由三棱锥是正三棱锥可知，，即可将转化为，转化为，结合勾股定理即可求解．
【详解】为正三棱锥，为的中心，
∴平面，平面，
∴，，
△ABC是等边三角形，
∴，，
故，
，
则．
故选：D.

6. 已知点在直线上的运动，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案.
【详解】表示点与距离的平方，
因为点到直线的距离，
所以的最小值为．
故选：A
7. 设为函数（）图象上一点，点，为坐标原点，，的值为（ ）
A. -4B. C. 4D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由数量积的定义表示求出，再利用条件，结合点在函数（）图象上，可求出点，从而解决问题.
详解】设点，则，，
，
又， 则
可得，又，则，
解得，所以.
故选：A

8. 如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法错误的是（ ）
A. 平面平面
B. 线段的最小值为
C. 当，时，点D到直线的距离为
D. 当P，Q分别为线段，的中点时，与所成角的余弦值为
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，易知，结合条件及线面垂直的判定定理可得平面，进而有平面平面，即可判断A；建立坐标系，利用向量法可判断BCD.
【详解】取的中点，连接，
∵菱形中，，，
∴，又，
∴，所以，
又易知，
因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，故A正确；
以为原点，分别为轴建立坐标系，
则，
当，时，，，
，，
所以点D到直线PQ的距离为，故C错误；
设，设，可得，
，
当时，，故B正确；
当P，Q分别为线段BD，CA中点时，
，，，，
设PQ与AD所成的角为，
则，
所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；
故选：C.
二、多选题（共20分，每小题5分，多选得2分，错选不得分）
9. 如图，设直线l，m，n的斜率分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据直线的倾斜方向先判断出直线的倾斜角是锐角或钝角，再根据直线的倾斜程度判断其绝对值的大小，得出答案.
【详解】由图可知直线l，m，n的倾斜角分别为锐角、钝角、钝角，
所以
又直线m最陡峭，则，
所以，，．故选项BCD正确.
故选：BCD
10. 若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A. B. 17C. 1D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由空间向量夹角的坐标表示求解
【详解】由题意得
解得或
故选：BD
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知直线与直线垂直，则实数a的值是
B. 直线必过定点
C. 直线在y轴上的截距为
D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线垂直关系列方程求，判断选项A；将直线方程化为点斜式即可判断选项B；根据截距的定义判断选项C，根据条件求出满足要求的直线方程，判断选项D.
【详解】解：对A：因为直线与直线垂直，
则，解得或，A不正确；
对B：直线可变为，因此直线必过定点，即B正确；
对C：由直线方程取，得，
所以直线在y轴上的截距为，所以C正确．
对D：经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为或，所以D不正确；
故选：BC．
12. 如图，已知正方体的棱长为2，分别为的中点，以下说法正确的是（ ）

A. 平面
B. 点到平面的距离为
C. 正方体的内切球半径为
D. 平面与平面夹角的余弦值为
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断；对于B，利用点面距离的向量公式求解即可判断；对于C，根据正方体的内切球的直径为正方体的棱长，即可判断；对于D，利用面面角的向量法求解即可判断.
【详解】
对于A，建立如图所示空间直角坐标系，
则，
所以，
所以，所以，
由于平面，所以平面，A正确；
对于B，由A可知，平面的一个法向量为，，
所以点到平面的距离为，B正确；
对于C，因为正方体的内切球的直径为正方体的棱长，
所以正方体的内切球半径为，C错误；
对于D，平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，
则，D错误.
故选：AB.
三、填空题（共20分，每小题5分）
13. 已知空间向量满足，，则与的夹角为_________．
【答案】##60°
【解析】
【分析】根据题设知可构成三角形，利用余弦定理求与的夹角.
【详解】由，即首尾相连可构成三角形，
所以，
又，故.
故答案为：
14. 直线与直线之间的距离为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】确定两直线是平行直线，故可根据平行线间的距离公式求得答案.
【详解】直线可化为，
则直线与直线平行,
故直线与直线之间的距离为，
故答案为：.
15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在上，点在上，且，点在线段上运动，给出下列四个结论：

①当点是中点时，直线平面；
②平面截正方体所得的截面图形是六边形；
③不可能直角三角形；
④面积的最小值是.
其中所有正确结论的序号是________.
【答案】①④
【解析】
【分析】根据中位线的性质证线线平行后可得线面平行来判定①，利用平面的性质构造相交线可判定②，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量的数量积可判定③，利用空间中点到直线的距离可判定④
【详解】对①，如图所示，因为是中点，，
连接，显然也是的中点，连接，

所以，而平面，平面，
所以直线平面，①正确；
对②，如图直线与的延长线分别交于连接，分别交于，
连接，则五边形即为所得的截面图形，故②错误；

以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则，

对③，设，
则，则，
若，
则得，
由，故存在点，使得，
故可能为直角三角形，③错误；
对④，由③得到的投影为，
故到的距离，
面积为，当时，取得最小值为，④正确.
故答案为：①④.
16. 已知实数满足，，则的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设圆，直线，，，求出∠MON的大小，求出MN中点的轨迹方程，表示和到直线的距离和，数形结合即可求出其最大值．
【详解】设圆，直线，，，
则，都在圆上，
∵，
，
∴△MON是等边三角形，∴．
表示和到直线的距离和，
由图形得只有当、都在直线的下方时，该距离之和才会取得最大值．
取、的中点，过作，垂足为，则，
∵为等边三角形，为的中点，∴，
则在圆上运动，
则当MN∥l时，到直线距离的最大值为，
∴的最大值为．
故答案为：
四、解答题（共70分）
17. 已知向量
（1）求；
（2）求向量与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量的模长坐标公式，可得答案；
（2）根据向量数量积的公式，结合模长公式，再由夹角公式，可得答案.
【小问1详解】
因为，所以.
【小问2详解】
因为，所以，
又因为，所以
故与夹角的余弦值为.
18. 已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：.
（1） 当l1//l2时，求实数a的值；
（2） 当l1⊥l2时，求实数a的值.
【答案】（1）-1；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；
（2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.
【详解】解：由题意得：
（1）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：，l2：
时， 解得a＝-1
综上可知，当a＝-1时，l1//l2
(方法2)∵l1//l2
∴⇔解得a＝－1
故当a＝－1时，l1//l2.
（2）(方法1)当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：，l2：由，得
(方法2)∵l1⊥l2，∴a＋2(a－1)＝0，解得
19. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
（1）以为一组基底表示向量；
（2）若，，，求．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）直接利用向量的数乘运算及加减运算求解；
（2）由向量的单项式乘多项式及向量的数量积运算求解．
【小问1详解】
∵为线段的中点，∴，
∵，∴，
∴
；
【小问2详解】
．
20. 已知的三个顶点分别为．求：
（1）边上的中线所在直线的方程；
（2）的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可得AC中点坐标，结合中线过B点，可得答案；
（2）由两点间距离公式可得边长，由点到直线距离公式可得高.
【小问1详解】
设AC边上的中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，故为：，即．
【小问2详解】
边AC所在直线的方程为：，
且，
点B到直线AC的距离为：，
故的面积：
21. 1.已知直线l：（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）4，
【解析】
【分析】（1）将含有k的式子整理在一起并将k提出，令k的系数为0，进而得到答案；
（2）将直线化为斜截式，结合（1）对直线斜率和纵截距进行限制，最后得到答案；
（3）算出直线与坐标轴交点的坐标，进而通过基本不等式求出面积的最小值，及此时直线的方程.
【小问1详解】
，令x+2=0，则-3y+3=0，则直线l过定点（-2,1）.
【小问2详解】
直线l：，因为直线不过第四象限，且直线的定点（-2,1）在第二象限，所以.
【小问3详解】
由题意，，令x=0，得，令y=0，得，所以，当且仅当（负值舍去），则直线l：.
22. 如图，在正四棱柱中，，．点，，，分别在棱，，，上，，，．

（1）证明：；
（2）求点到平面的距离；
（3）点P在棱上，当二面角为时，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）1
【解析】
【分析】（1）利用空间向量的坐标表示证明；
（2）利用空间向量的坐标运算求点到平面的距离；
（3）利用空间向量与二面角的关系求解.
【小问1详解】

以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则,
,
所以，
且不在一条直线上，所以.
【小问2详解】
设平面一个法向量为，
,
所以，设，则，
所以，
又因为,
所以点到平面的距离.
【小问3详解】
设，
设平面的法向量为，
则,
令，所以，
所以
可得，解得或，
所以.