公因数和公倍数 小学数学五年级上学期期末必刷常考题 北师大版

这是一份公因数和公倍数 小学数学五年级上学期期末必刷常考题 北师大版，共15页。试卷主要包含了5和10的最大公因数是，48和60的最大公因数是，如果，，那么和的最小公倍数是等内容，欢迎下载使用。
1．5和10的最大公因数是
A．1B．2C．5D．10
2．48和60的最大公因数是
A．4B．6C．12D．36
3．一个偶数既是5的倍数，又是7的倍数，这个数最小是
A．14B．10C．35D．70
4．甲、乙两个数都是非0自然数，并且甲乙，甲和6的最大公因数是
A．甲B．乙C．6D．无法确定
5．如果，，那么和的最小公倍数是
A．180B．60C．30D．300
二．填空题（共5小题）
6．17和8的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
7．15和20的最大公因数是 ，最小公倍数是 ．
8．和是相邻的两个自然数，那么它们的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
9．如果，且和都是非零自然数，则和的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
10．在图中，是 ，是 ，和最大公因数是 。
三．判断题（共3小题）
11．最简分数的分子和分母都是质数。 （判断对错）
12．两个数的最大公因数一定小于这两个数。 （判断对错）
13．6和8的公倍数中有36，没有48 ．（判断对错）
四．计算题（共3小题）
14．用短除法求出下列每组数的最大公因数。
15．求出每组数的最大公因数和最小公倍数。
16．已知甲，乙，能求出甲和乙的公因数和最大公因数吗？
2023~2024学年上学期小学数学北师大版五年级期末必刷常考题之公因数和公倍数
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．5和10的最大公因数是
A．1B．2C．5D．10
【答案】
【考点】求几个数的最大公因数的方法
【专题】应用意识
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。
【解答】解：10是5的2倍，所以5和10的最大公因数是5。
故选：。
【点评】明确为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。
2．48和60的最大公因数是
A．4B．6C．12D．36
【答案】
【考点】求几个数的最大公因数的方法
【专题】应用意识
【分析】求两个数的最大公因数，如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则先把两个数分别分解质因数，这两个数的最大公因数是两个数的公有的质因数的乘积，据此解答。
【解答】解：
48和60的最大公因数是：
故选：。
【点评】本题主要考查了最大公因数的求法，掌握相应的计算方法是解答本题的关键。
3．一个偶数既是5的倍数，又是7的倍数，这个数最小是
A．14B．10C．35D．70
【答案】
【考点】求几个数的最小公倍数的方法；奇数与偶数的初步认识
【专题】应用意识
【分析】一个偶数既是5的倍数，又是7的倍数，求这个数最小是多少，先求出5和7的最小公倍数，再乘2一定是偶数，据此解答。
【解答】解：5和7的最小公倍数是
答：这个数最小是70。
故选：。
【点评】熟练掌握求两个数最小公倍数以及公倍数的方法是解题的关键。
4．甲、乙两个数都是非0自然数，并且甲乙，甲和6的最大公因数是
A．甲B．乙C．6D．无法确定
【答案】
【考点】求几个数的最大公因数的方法
【专题】应用意识
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数。据此解答。
【解答】解：因为甲、乙两个数都是非0自然数，并且甲乙，所以甲乙，所以甲和6的最大公因数是6。
故选：。
【点评】明确为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数是解题的关键。
5．如果，，那么和的最小公倍数是
A．180B．60C．30D．300
【答案】
【考点】求几个数的最小公倍数的方法
【专题】应用意识
【分析】把和公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【解答】解：因为，，那么和的最小公倍数是。
故选：。
【点评】熟练掌握用分解质因数的方法求两个数的最小公倍数的方法是解题的关键。
二．填空题（共5小题）
6．17和8的最大公因数是 1 ，最小公倍数是 。
【答案】1，136。
【考点】求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法
【专题】推理能力；运算能力
【分析】互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
【解答】解：17和8是互质数，所以17和8的最大公因数是1，最小公倍数是136。
故答案为：1，136。
【点评】考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：互质数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。
7．15和20的最大公因数是 5 ，最小公倍数是 ．
【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法
【专题】数的整除
【分析】最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．
【解答】解：，
，
所以15和20的最大公因数是5，
最小公倍数是；
故答案为：5；60．
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．
8．和是相邻的两个自然数，那么它们的最大公因数是 1 ，最小公倍数是 。
【答案】1；。
【考点】求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法
【专题】数感
【分析】和是相邻的两个自然数，那么和是互质数；根据两个数是互质数时，最大公因数是1，最小公倍数是两数的乘积；据此解答。
【解答】解：和是相邻的两个自然数，那么它们的最大公因数是1，最小公倍数是。
故答案为：1；。
【点评】本题考查求两个数是互质数时，它们的最大公因数和最小公倍数。
9．如果，且和都是非零自然数，则和的最大公因数是 ，最小公倍数是 。
【答案】，。
【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法
【专题】应用意识
【分析】两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数。
【解答】解：因为，且和都是非零自然数，则和的最大公因数是，最小公倍数是。
故答案为：，。
【点评】明确为倍数关系的两个数的最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数是解题的关键。
10．在图中，是 12 ，是 ，和最大公因数是 。
【答案】12；18；6。
【考点】因数、公因数和最大公因数；求几个数的最大公因数的方法
【专题】综合填空题；数据分析观念
【分析】由题意可知：
的因数有：1，2，3，4，6，12，所以；
的因数有：1，2，3，6，9，18，所以；
由上图可知：、的公因数有：1，2，3，6，其中最大数6即为最大公因数。
【解答】解：由分析可知：
；。
所以是12，是18，和最大公因数是6。
故答案为：12；18；6。
【点评】本题考查倍数与因数的意义以及求两个数最大公因数的方法。
三．判断题（共3小题）
11．最简分数的分子和分母都是质数。 （判断对错）
【答案】
【考点】最简分数
【专题】数据分析观念；分数和百分数
【分析】分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数。例如，8和9倍数质数，据此判断。
【解答】解：最简分数的分子和分母公因数只有1的分数。原题说法错误。
故答案为：。
【点评】本题考查了最简分数的意义。
12．两个数的最大公因数一定小于这两个数。 （判断对错）
【答案】
【考点】求几个数的最大公因数的方法
【专题】数的整除；运算能力
【分析】根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数，较小的那个数，是这两个数的最大公因数。”可知：当两个数成倍数关系时，两个数的最大公因数等于较小的那个数，据此判断即可。
【解答】解：例如12、36这两个数的最大公因数是12，所以题目的结论是错的。
故答案为：。
【点评】本题考查最大公因数的概念，当两个数成倍数关系时，最大公因数就是较小的那个数，这是求最大公因数的特殊方法。
13．6和8的公倍数中有36，没有48 ．（判断对错）
【考点】：公倍数和最小公倍数
【专题】18：综合判断题；413：数的整除
【分析】两个数公有的倍数叫做这两个数的公倍数，据此解答．
【解答】解：
故6和8的公倍数中有48，没有36．
题干的说法是错误的．
故答案为：．
【点评】此题考查的目的是理解公倍数的意义，掌握求两个数的公倍数的方法．
四．计算题（共3小题）
14．用短除法求出下列每组数的最大公因数。
【答案】19；9；11。
【考点】求几个数的最大公因数的方法
【专题】推理能力
【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，对于两个数来说：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数。
【解答】解：（1）19和57
所以19和57的最大公因数是19；
（2）63和36
所以63和36的最大公约数是；
（3）33和55
所以33和55的最大公因数是11。
【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公因数。
15．求出每组数的最大公因数和最小公倍数。
【答案】15，90；1，72；12，36。
【考点】求几个数的最大公因数的方法；求几个数的最小公倍数的方法
【专题】应用意识
【分析】两个数互质，则最大公因数是1，最小公倍数就是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最大公因数是较小的数，最小公倍数为较大的数；先把每组数分别分解质因数，然后把它们公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【解答】解：
所以30和45的最大公因数是，最小公倍数是；
因为8和9互质，所以8和9的最大公因数是1，最小公倍数是；
因为36是12的3倍，所以12和36的最大公因数是12，最小公倍数是36。
【点评】熟练掌握求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法是解题的关键。
16．已知甲，乙，能求出甲和乙的公因数和最大公因数吗？
【答案】公因数1、2、3、6、7、21、42；最大公因数42。
【考点】求几个数的最大公因数的方法
【专题】数的整除；运算能力
【分析】求最大公约数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可。
【解答】解：甲
乙
甲数和乙数的公因数有：1、2、3、6、7、21、42。
甲数和乙数的最大公因数是：，
答：甲和乙的公因数1、2、3、6、7、21、42，最大公因数42。
【点评】此题主要考查求两个数的最大公约数与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数。
考点卡片
1．奇数与偶数的初步认识
【知识点解释】
偶数：是2的倍数的数叫做偶数，又叫做双数，如：2、4、6、8等
奇数：不是2的倍数的数叫做奇数，又叫做单数，如：1、3、5、7等．
【知识点归纳】
奇数和偶数的性质：
奇数+奇数＝偶数，奇数﹣奇数＝偶数
奇数+偶数＝奇数，奇数﹣偶数＝奇数
奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数
【命题方向】
常考题型：
偶数和奇数的积为偶数． √ ．（判断题）
分析：根据偶数和奇数的性质：奇数×奇数＝奇数，奇数×偶数＝偶数；进行判断即可．
解：根据偶数和奇数的性质可得：偶数和奇数的积为偶数；
故答案为：√．
点评：此题考查了奇数和偶数的性质．
2．公倍数和最小公倍数
【知识点解释】
公倍数指在两个或两个以上的自然数中，如果它们有相同的倍数，这些倍数就是它们的公倍数．这些公倍数中最小的，称为这些整数的最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数． √ ．（判断对错）
分析：两个数的乘积一定是这两个数的公倍数这是正确的，举例证明即可．
解：比如4和12，12×4＝48，48是12的倍数，48也是4的倍数，即48是4、12的公倍数；
所以两个数的乘积一定是这两个数的公倍数是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查公倍数的意义，注意掌握两个数的乘积和这两个数的公倍数的关系．
例2：能同时被2、3、5整除的最大三位数是 990 ．
分析：根据题意可先确定能被2整除的数的特征、能被3整除的数的特征、能被5整除的数的特征，再确定能同时被2、3、5整除的数的特征，再算出最大的三位数即可．
解：能被2整除的特征：个位上是0、2、4、6、8的数，
能被3整除的数的特征：各个数位上的数字相加的和能被3整除，
能被5整除的数的特征：个位上的数字是0或者5的数，
要同时能被2和5整除，这个三位数的个位一定是0．
要能被3整除，又要是最大的三位数，这个数是990．
故答案为：990．
点评：此题主要考查的是能同时被2、3、5整除的数的特征．
3．因数、公因数和最大公因数
【知识点解释】
给定若干个正整数，如果他们有相同的因数，那么这个（些）因数就叫做它们的公因数．而这些公因数中最大的那个称为这些正整数的最大公因数．
【命题方向】
常考题型：
例1：互质的两个数没有公约数． × ．（判断对错）
分析：根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，以此解答问题即可．
解：因为，公因数只有1的两个数叫做互质数；
所以，互质的两个数没有公约数这种说法是错误的．
故答案为：×．
点评：此题主要考查互质数的意义以及判断两个数是不是互质数的方法．
例2：36和48的最大公约数是12，公约数是1、2、3、4、6、12． √ ．（判断对错）
分析：利用分解质因数的方法和求一个数的公约数的方法即可解决问题．
解：36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36，
48的约数有1、2、3、4、6、8、12、16、24、48，
所以36和48的公约数有1、2、3、4、6、12，其中最大公约数为12，
所以原题说法正确，
故答案为：√．
点评：此题是考查求一个数的公约数和最大公约数的方法．
4．求几个数的最大公因数的方法
【知识点归纳】
方法：1．分别分解各个数的质因数，然后比较出公共的质因数相乘．
2．用短除法，写短除算式，道理与第一种方法相似，只是找公共因数的过程与除法过程合并了．
【命题方向】
常考题型：
例1：如果A是B的，A和B的最小公倍数是 B ，它们的最大公因数是 A ．
分析：如果两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数，由题目条件可以得知：A是B的，也就是B是A的5倍，由此可以解决．
解：因为A和B是倍数关系，所以它们的最大公约数是较小的那个数A，最小公倍数是较大的那个数B，
故答案为：B；A．
此题主要考查了求两个成倍数关系的数的最大公约数和最小公倍数的方法：两个数是倍数关系那么较小数是它们的最大公约数，较大数是它们的最小公倍数．
例2：甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，甲、乙两数的最大公约数是 12 ，最小公倍数 120 ．
分析：根据甲＝2×2×2×3，乙＝2×2×3×5，可知这两个数公有的质因数是2、2、3，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；除了公有质因数外，甲数独有的质因数为2，乙数独有的质因数为5，那么公有质数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．据此进行解答．
解：甲＝2×2×2×3；
乙＝2×2×3×5；
甲和乙的最大公因数是：2×2×3＝12；
甲和乙的最小公倍数是：2×2×3×2×5＝120；
故答案为：12，120．
点评：此题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，公有质因数的乘积就是这两个数的最大公因数；公有质因数与各自独有质因数的连乘积就是这两个数的最小公倍数．
5．求几个数的最小公倍数的方法
【知识点归纳】
方法：（1）分解质因数法：先把这几个数分解质因数，再把它们一切公有的质因数和其中几个数公有的质因数以及每个数的独有的质因数全部连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数．
（2）公式法．由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积．即（a，b）×[a，b]＝a×b．所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数．
【命题方向】
常考题型：
例1：育才小学六（1）班同学做广播操，体育委员在前面领操，其他学生排成每行12人或每行16人都正好是整行，这个班至少有学生 49 人．
分析：要求这个班至少有学生多少人，即求12与16的最小公倍数再加1即可，根据求两个数的最小公倍数的方法：把12和16进行分解质因数，这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积，由此解决问题即可．
解：12＝2×2×3，
16＝2×2×2×2，
则12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48，
48+1＝49（人）；
答：这班至少有学生49人；
故答案为：49．
点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．
例2：A和B都是自然数，分解质因数A＝2×5×C；B＝3×5×C．如果A和B的最小公倍数是60，那么C＝ 2 ．
分析：利用求最小公倍数的方法：几个数的公有因数与独有因数的连乘积；由此可以解决问题．
解：分解质因数A＝2×5×C，
B＝3×5×C，
所以2×3×5×C＝60，则C＝2．
故答案为：2．
点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的灵活应用．
6．最简分数
【知识点归纳】
分子、分母只有公因数1的分数叫做最简分数或者说分子和分母是互质数的分数，叫做最简分数，又称既约分数．如：，，等．
【命题方向】
常考题型：
例1：分数单位是的最简真分数的和是 1 ．
分析：最简真分数的意义：分子分母是互质数并且分子小于分母的分数就是最真简分数，据此找出分数单位是的最简真分数，把它们求和即可．
解：分数单位是的最简真分数有：、，
它们的和是：+＝1；
故答案为：1．
本题主要考查最简真分数的意义，注意先找出分数单位是的最简真分数，再求和．
例2：分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数． √ ．（判断对错）
分析：最简分数的意义：分子分母是互质数的分数就是最简分数，据此分析判断．
解：不同的质数一定是互质数，所以分子和分母是不同的质数的分数一定是最简分数的说法是正确的；
故答案为：√．
点评：本题主要考查最简分数的意义，注意不同的质数一定是互质数．


19和57
63和36
33和55
30和45
8和9
12和36
19和57
63和36
33和55
30和45
8和9
12和36