山东省滨州市2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省滨州市2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、直线的倾斜角为( )
A.B.C.D.
2、已知向量,,若,则( )
A.-2B.-1C.1D.2
3、已知函数,则( )
A.-1B.0C.1D.2
4、如图,在四面体OABC中,,,.点M在OA上,且满足,N为BC的中点,则( )
A.B.C.D.
5、已知等差数列的前n项和为,若,,则( )
A.30B.36C.42D.56
6、如图,二面角的大小为,四边形ABFE、CDEF都是边长为的正方形,则B、D两点间的距离是( )
A.B.C.D.
7、已知在平面直角坐标系中,点,,若点P满足,则点P到直线距离的最小值为( )
A.B.C.D.
8、已知抛物线的焦点为F,直线l的斜率为且经过点F,直线l与抛物线C交于点A、B两点（点A在第一象限）,与抛物线的准线交于点D,若,则以下结论不正确的是( )
A.B.F为AD的中点
C.D.
二、多项选择题
9、若,则方程可能表示下列哪些曲线( )
A.椭圆B.双曲线C.圆D.两条直线
10、函数的导函数的图象如图所示,则下列结论正确的是( )
A.是函数的极值点B.是函数的最小值点
C.在区间上单调D.在处切线的斜率小于0
11、如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为,AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.点B到直线的距离为
B.直线CF到平面的距离为
C.直线与平面所成角的余弦值为
D.直线与直线所成角的余弦值为
12、如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,…设第层有个球,从上往下n层球的总数为,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.,D.
三、填空题
13、已知直线与直线垂直,则实数a的值为___________.
14、已知数列的前n项和为,若,则__________.
15、焦点在y轴上的双曲线C与双曲线有共同的渐近线,且C的一个焦点到它的一条渐近线的距离为6,则双曲线C的方程为____________.
四、双空题
16、如图所示,ABCD是边长为的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设,当____________cm时,包装盒的容积最大,最大容积为________________.
五、解答题
17、已知函数（a为常数）,曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求a的值;
（2）求函数的极值.
18、已知数列是等差数列,是各项均为正数的等比数列,数列的前n项和为,且,,.
(1)求数列,的通项公式;
(2)令,求数列的前12项和.
19、已知圆C的圆心在直线上,且与y轴相切于点.
(1)求圆C的方程;
(2)已知过点的直线l被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.
20、已知椭圆C的两个焦点分别是,,并且经过点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线与椭圆C相交于A,B两点,当线段AB的长度最大时,求直线l的方程.
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,,,,点E在棱PB上.
(1)证明：平面平面PBC;
(2)当时,求二面角的余弦值.
22、已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若有两个零点,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：A
解析：因为直线的斜率为,因此,该直线的倾斜角为.
故选：A.
2、答案：B
解析：,,解得：.
故选：B.
3、答案：D
解析：由题意,,故.
故选：D
4、答案：D
解析：如图,连接ON,
N是BC的中点,,
,,
.
故选：D.
5、答案：B
解析：因为,,由等差数列的性质可知、、成等差数列,
所以,,所以,.
故选：B.
6、答案：C
解析：因为四边形ABFE、CDEF都是边长为1的正方形,则,,
又因为二面角的大小为,即,则,
因为,由图易知,,
所以,
.
故选：C.
7、答案：B
解析：设点,
则,,
所以,
整理可得,
故点P的轨迹方程为,
将变形为,
所以圆心为,半径,
则圆心到直线的距离为,
由圆的性质可得,点P到直线的距离的最小值为.
故选：B.
8、答案：D
解析：依题意,设直线l的方程为,
由消去y并化简得,
解得,
所以,
所以,,A选项正确.
直线l的方程为,
令,则,故,
由于,,所以F是AD的中点,B选项正确,
,,
,,C选项正确,D选项错误.
故选：D.
9、答案：ABD
解析：当时,,即表示两条直线;
当时,,表示焦点在y轴上的椭圆;
当时,,表示焦点在x轴上的双曲线,
故选：ABD.
10、答案：AC
解析：对A,由图象可得且在左右两边异号,故是函数的极值点,故A正确;
对B,在上,单调递增,-1不是函数的最小值点,故B不正确;
对C,根据导函数图象可知在时,,
函数在上单调递增,故C正确;
对D,函数在处的导数大于0,切线的斜率大于零,故D不正确.
故选：AC.
11、答案：ABD
解析：在棱长为2的正方体中,E,F分别为,AB的中点,
以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
,,,,,
则点B到直线的距离为：
,故A正确;
,,,,
,,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
由于E,F分别为,AB的中点,所以 且,
因此四边形为平行四边形,故,
又平面, 平面,所以平面,
直线CF到平面的距离为,故B正确;
设直线与平面所成角为,则,故C错误;
,,
设直线与直线所成角为,则,故D正确.
故选：ABD.
12、答案：ACD
解析：对于A,,A正确;
对于B,由每层球数变化规律可知：,B错误;
对于C,当时,;
当时,满足,;
,C正确;
对于D,,
,D正确.
故选：ACD.
13、答案：0或3
解析：因为直线与直线垂直,
则,解得或.
故答案为：0或3.
14、答案：
解析：令,得,所以;
令,则,
两式相减得,,即,
所以,
因为,所以,
所以为常数,
所以数列是首项为-1,公比为2的等比数列,
所以.
故答案为：.
15、答案：
解析：设双曲线C的标准方程为,设,
则双曲线C的渐近线方程为,
所以,双曲线C的上焦点到其渐近线的距离为,
又因为双曲线的渐近线方程为,所以,,则,
因此,双曲线C的方程为.
故答案为：.
16、答案：10;
解析：因为,,,
所以,包装盒底边长为,
因为阴影部分为等腰直角三角形,
所以包装盒侧面高为,
所以包装盒容积,
所以当时,,V单调递增;
当时,,V单调递减;
当时,V取得最大值.
故答案为：10;.
17、答案：（1）;
（2）极大值为,极小值为.
解析：（1）,
在点处的切线平行于直线,
,
;
（2）由（1）可得,
令得或,列表如下：
极大值为,极小值为.
18、答案：(1),
(2)2796
解析：（1）设数列的公差为d,数列的公比为,
由题意可得,,即,
所以,
因为,所以,
所以,.
（2）由（1）可得,
所以的所有奇数项组成以1为首项,4为公差的等差数列;
所有偶数项组成以2为首项,4为公比的等比数列.
所以,
.
19、答案：(1)
(2)或
解析：（1）因为圆C与y轴相切于点,所以圆心C在直线上,
又因为圆C的圆心在直线上,
由,解得,即,圆C的半径,
所以,圆C的方程为.
（2）设圆心C到直线l的距离为d,则,
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为,此时,满足条件;
当直线l的斜率存在时,设直线l的斜率为k,则直线l的方程为,
即.
因为圆心为,所以圆心C到直线l的距离为,
整理可得,解得,
所以,直线l的方程为.
综上所述,直线l的方程为或.
20、答案：(1)
(2)
解析：（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上.所以设它的标准方程为.
由题意知,,
解得.
所以,椭圆C的标准方程为.
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为.
根据椭圆定义得,
即.
又因为,所以,
所以,椭圆C的标准方程为.
（2）由,消去y,得,
因为直线与椭圆C相交于A,B两点,
所以,
解得.
设,,
则,,
所以
当时,取最大值,此时直线l的方程为
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为底面ABCD,平面ABCD,
所以.
因为,,所以.
所以,所以.
又因为,平面PBC,平面PBC,
所以平面PBC.
又平面EAC,
所以平面平面PBC.
（2）解法一：以点C为原点,CB,CA,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,.
设点E的坐标为,因为,所以,
即,,,所以.
所以,.
设平面ACE的一个法向量为,则.
所以,取,则,.
所以平面ACE的一个法向量为.
又因为平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为.
设平面PAC与平面ACE的夹角为,
则.
所以,平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为.
解法二：
取AB的中点G,连接CG,以点C为原点,CG,CD,CP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示
的空间直角坐标系,则,,,.
设点E的坐标为,因为,所以,
即,,,所以.
所以,.
设平面ACE的一个法向量为,则.
所以,取,则,.
所以,平面ACE的一个法向量为.
又因为平面PAC,所以平面PAC的一个法向量为.
设平面PAC与平面ACE的夹角为,
则.
所以,平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为.
22、答案：(1)在区间上单调递减,在区间上单调递增
(2)
解析：（1）因为,
所以.
因为,,
所以,当时,,所以在R上单调递增.
当时,令,解得.
由,解得;
由,解得
所以,在区间上单调递减,在区间上单调递增.
（2）由（1）可知,当时,在R上单调递增,所以至多有一个零点.
当时,函数在上单调递减,在上单调递增,
所以,当时,取得最小值,.
令,,
则,
所以,在上单调递减.
又,所以要使,即,则.
又因为,
所以在上有一个零点.
又
令,,则,
所以在上单调递增,
因为,所以,所以,
所以.
所以在上也有一个零点.
综上所述,要使有两个零点,则a的取值范围是.
x
-1
3
+
0
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗