陕西省渭南市临渭区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份陕西省渭南市临渭区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知,则下列式子中一定成立的是( )
A.B.C.D.
2、在中,若,,,则( )
A.25B.5C.4D.
3、已知空间向量,,若,则( )
A.4B.5C.D.
4、不等式的解集是( )
A.B.C.或D.或
5、“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的( )
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
6、下列结论中正确的是( )
A.当时,无最大值B.当时,
C.当且时,D.当时,的最小值为3
7、已知等比数列为递减数列,若,,则公比( )
A.B.2C.D.8
8、正三棱锥的侧棱两两垂直,D,E分别为棱PA,BC的中点,则异面直线PC与DE所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
9、若,则的最小值为( )
A.6B.8C.10D.12
10、设是等差数列的前n项和,若,则( )
A.B.C.D.
11、已知点,抛物线的焦点F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线相交于点N,则( )
A.B.C.D.
12、已知双曲线C的中心在坐标原点,其中一个焦点为,过F的直线l与双曲线C交于A、B两点,且AB的中点为,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13、在等比数列中,若,,则__________.
14、设x,y满足约束条件且,则z的最小值为________.
15、小华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上,15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是___________km.
16、抛物线上一点到其焦点的距离为,则点M到坐标原点的距离为______.
17、如图,已知,为椭圆椭圆上点使为钝角,则椭圆离心率的取值范围是________.
三、解答题
18、在中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求的值;
(2)若,且,求边AC上的高.
19、设函数.
(1)若不等式的解集为,求实数a,b的值;
(2)若,且存在,使成立,求实数a的取值范围.
20、设等差数列的前n项和为,若,,设数列的前n项和为,.
(1)求数列和的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
21、如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.
（1）证明：平面ABC;
（2）若点M在棱BC上,且二面角为,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
22、已知椭圆过点,短轴上一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)设过定点的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,若坐标原点O在以线段AB为直径的圆外,求直线l的斜率k的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：对于A,若则,故错误;
对于B,若则,故错误;
对于C,若则,故错误;
对于D,由在上单调增,即,故正确.
故选：D.
2、答案：B
解析：在中,若,,,
由余弦定理得.
故选：B.
3、答案：C
解析：,,,
,.
故选：C.
4、答案：D
解析：,,即,等价于且,
解得或,所求不等式的解集为或.
故选：D.
5、答案：B
解析：由p且q是真命题,则得p和q都是真命题,能得出“q或p是真命题”;
所以“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的充分条件;
“q或p是真命题”,得出q和p中至少有一个为真命题,
但是得不出“p且q是真命题”.
所以“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的不必要条件.
所以“p且q是真命题”是“q或p是真命题”的充分不必要条件.
故选：B.
6、答案：B
解析：对于A,当时,因为与都递增,
所以单调递增,的最大值为,故错误;
对于B,当时,,
当且仅当即时,取等号,故正确;
对于C,当时,,则,
当且仅当时,即时,等号成立,故错误;
对于D,当时,,
当且仅当时,即时,等号才成立,故错误.
故选：B.
7、答案：A
解析：依题意,解得或,
又等比数列为递减数列,,,即.
故选：A.
8、答案：D
解析：设,以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系.
则,,,,,,
则.从而异面直线PC与DE所成角的余弦值为.
故选D.
9、答案：B
解析：因为,所以,,
因此,
当且仅当,即时,等号成立.
故选：B.
10、答案：A
解析：由等差数列的性质可知、、、成等差数列,
,即,,
,,,,.
故选：A.
11、答案：C
解析：抛物线,C的焦点为,定点,
抛物线C的准线方程为.
设准线与y轴的交点P,则,
又,,直线FA为,
当时,,即,,.
故选：C.
12、答案：B
解析：由F、N两点的坐标得直线l的斜率.
双曲线一个焦点为,.
设双曲线C的方程为,则.
设,,则,,.
由,得,
即,,易得,,,
双曲线C的离心率.
故选：B.
13、答案：
解析：设等比数列的公比为q,由题可知,故.
故答案为：.
14、答案：
解析：作出不等式组对应的可行域,如图所示,
由得,它表示斜率为-2,纵截距为z的直线系.
当直线经过点A时,直线的纵截距z最小.
联立,得,,
所以,所以z的最小值为.
故答案为：.
15、答案：
解析：如图,
由于,,所以由正弦定理可得,应填答案.
16、答案：
解析：由题意知,焦点坐标为,准线方程为,
由到焦点距离等于到准线距离,得,则,
,可得.
故答案为.
17、答案：
解析：当P点为短轴端点时最大,当P点为短轴端点时,,
由题意可知,只需,所以,所以,
所以,即,所以,又因为,所以.
故答案为:.
18、答案：(1)
(2)4
解析：（1）由正弦定理及,有,
即,所以,
又因为,,所以,
因为,所以,又,所以.
（2）在中,由余弦定理可得,又,
所以有,即,所以的面积为,
所以AC边上的高为.
19、答案：(1),;
(2)或.
解析：（1）因为的解集为,
所以,解得,.
（2）因为,所以,因为存在,
成立,即存在,成立.
当时,,成立;当时,函数图象开口向下,成立;
当时,,即,
解得或,此时,或,综上：实数a的取值范围或.
20、答案：(1),
(2)
解析：（1）设数列的首项为,公差为d,
因为,,则可得,则,
所以数列的通项公式为.
因为,所以当时,,则.
当时,,则,
所以是以首项为2,公比为2的等比数列,所以.
（2）因为,
所以数列的前n项和①,
②,
①-②得
,
则.
21、答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）因为,O为AC的中点,
所以,且.连结OB.
因为,所以为等腰直角三角形,
且,,由知.
由,知,PO平面ABC.
（2）［方法一］：【通性通法】向量法
如图,以O为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系.
由已知得,,,,.
取平面PAC的法向量,设,则.
设平面PAM的法向量为.由,,得,
可取所以.
由已知得.所以.
解得(舍去),,所以.
又,所以,
所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.
［方法二］：三垂线＋等积法
由（1）知PO平面ABC,可得平面PAC平面ABC,如图5.
在平面ABC内作,垂足为N,则MN平面PAC.
在平面PAC内作,垂足为F,联结MF,
则,故为二面角的平面角,即.
设,则,,在中,.
在中,由,得,则.
设点C到平面PAM的距离为h,由,得,
解得,则PC与平面PAM所成角的正弦值为.
［方法三］：三垂线＋线面角定义法
由（1）知PO平面ABC,可得平面PAC平面ABC,如图6.
在平面ABC内作,垂足为N,则MN平面PAC.
在平面PAC内作,垂足为F,联结MF,则,
故为二面角的平面角,
即.同解法1可得.
在中,过N作,在中,过N作,垂足为G,联结EG.
在中,.
因为,所以.
由PA平面FMN,可得平面PAM平面FMN,交线为FM.
在平面FMN内,由,可得NG平面PAM,
则为直线NE与平面PAM所成的角.设,
则,又,
所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为.
［方法四］：【最优解】定义法
如图7,取PA的中点H,联结CH,则.过C作平面的垂线,垂足记为T（垂足T在平面PAM内）.
联结HT,则即为二面角的平面角,即,得.
联结PT,则为直线PC与平面PAM所成的角.
在中,,所以.
22、答案：(1);
(2).
解析：（1）由短轴一个端点到右焦点的距离为2,可得,
椭圆过点,可得,解得,
椭圆C的方程为.
（2）显然不满足题意,可设l的方程为,
设,,联立,可得,
由,得,,.
坐标原点O在以线段AB为直径的圆外,即为,
即,,
即,
可得.又,即为,解得.