四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

这是一份四川省仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知数列是首项,公差均为1的等差数列,则( )
A.9B.8C.6D.5
2、抛物线的准线方程是( )
A.B.C.D.
3、甲、乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,飞行目标被雷达发现的概率为( )
4、在等差数列中,,则的值是( )
A.36B.48C.72D.24
5、已知是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,且平面平面,则向量在上的投影向量为( )
A.B.C.D.
6、已知直线与双曲线无公共交点,则C的离心率的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、已知F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8、在平面直角坐标系xOy中,点,,,若点P满足,则的最小值为( )
A.2B.C.D.
二、多项选择题
9、已知曲线,,则( )
A.的长轴长为4B.的渐近线方程为
C.与的焦点坐标相同D.与的离心率互为倒数
10、已知点是圆上的任意一点,直线,则下列结论正确的是( )
A.直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种
B.圆C的圆心到直线l距离的最大值为
C.点P到直线距离的最小值为2
D.点P可能在圆上
11、如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为,AB的中点,则下列结论正确的是( )
A.点B到直线的距离为
B.直线CF到平面的距离为
C.直线与平面所成角的余弦值为
D.直线与直线所成角的余弦值为
12、我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆,,,,为顶点,,为焦点,P为椭圆上一点,下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有( )
A.长轴长为4,短轴长为B.
C.轴,且D.四边形的内切圆过焦点,
三、填空题
13、已知数列满足,,则数列的首项__________
14、“石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏,游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种,那么游戏时“双方所出的手势不同”的概率为___________.
15、若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围____________.
16、已知直线,,,若和交于点M,则的最大值是_____________.
四、解答题
17、已知数列的前n项和满足.
（1）求数列的通项公式;
（2）求证：数列等差数列.
18、某市为了解社区新冠疫苗接种的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个行政区抽出6个社区进行调查．已知A,B,C三个行政区中分别有18,27,9个社区．
（1）求从A,B,C三个行政区中分别抽取的社区个数;
（2）若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查．
①试列出所有可能的抽取结果;
②设事件M为“抽取2个社区中至少有一个来自A行政区”,求事件M发生的概率．
19、已知圆C的圆心坐标,直线被圆C截得弦长为．
（1）求圆C的方程;
（2）从圆C外一点向圆引切线,求切线方程．
20、如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为棱PB的中点.
（1）求直线PD与CE所成角的余弦值;
（2）求直线CD与平面ACE所成角的正弦值;
（3）求二面角的余弦值.
21、已知椭圆的离心率为,左顶点坐标为．
（1）求椭圆C的方程;
（2）过点的直线l与椭圆C相交于M,N两点,设点,问：直线BM,BN的斜率之和是否为定值？若是,请求出该值;否则,请说明理由．
22、已知椭圆的左、右焦点分别为,（）,上顶点为A,,且到直线的距离为．
（1）求C的方程;
（2）与l平行的一组直线与C相交时,证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上;
（3）P为C上的动点,M,N为l上的动点,且,求面积的取值范围．
参考答案
1、答案：D
解析：,.
故选：D.
2、答案：B
解析：抛物线方程化成标准方程为：,所以,且抛物线开口向上.
所以抛物线准线为：.
故选：B.
3、答案：D
解析：设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”,事件B表示“乙雷达发现飞行目标”,
因为甲乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,
所以,.
所以飞行目标被雷达发现的概率为.
故选：D.
4、答案：A
解析：由题设,,则,
所以
故选：A.
5、答案：B
解析：因为是平面的一个法向量,
是平面的一个法向量,且平面平面,
所以得,则,
得,,所以
所以在上的投影向量为,
故选：B.
6、答案：D
解析：双曲线的一条渐近线方程为,
因为直线与C无公共点,所以,
则,且,
所以C的离心率的取值范围为.
故选：D.
7、答案：B
解析：F为椭圆的右焦点,P为C上的动点,
由椭圆的性质,可得.
过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,
.
等于的最小值的3倍,
.
椭圆中,
,即,
则.
,
,解得或（舍）.
故选：B.
8、答案：C
解析：设,
由,
得,化简整理得,
故点P的轨迹是以为圆心,2为半径的圆,
,
设,则,
故,
当且仅当P,M,D三点共线时取等号,
所以的最小值为.
故选：C.
9、答案：BD
解析：可知曲线是焦点在y轴上的椭圆,
设椭圆的长半轴长为,短半轴长为,半焦距长为,
则,可得,离心率为,
故曲线的长轴长,故A不正确;
可知曲线是焦点在x轴上的双曲线,
设双曲线的实半轴长为,虚半轴长为,半焦距长为,
则,可得,离心率为,
故与曲线的焦点位置不同,故C不正确;
双曲线的渐近线方程为,故B正确;
又因为,所以与的离心率互为倒数,故D正确.
故选：BD.
10、答案：ACD
解析：对于A选项,因为直线l的方程可化为．
令解得,所以直线l过定点,
直线l是过点Q的所有直线中除去直线外的所有直线,
圆心到直线的距离为,即直线与圆C相交,
又点在圆上,所以直线l与C至少有一个公共点,
所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种,A正确;
对于B选项,当直线l为圆C的切线时,点C到直线l的距离最大,且最大值为,B错误;
对于C选项,因为圆心C到直线的距离,
所以圆C上的点P到直线距离的最小值为,C正确;
对于D选项,圆的圆心为原点O,半径为1,
因为,所以,圆C与圆O内切,故点P可能在圆上,D正确.
故选：ACD.
11、答案：ABD
解析：在棱长为2的正方体中,E,F分别为,AB的中点,
以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
,,,,,
则点B到直线的距离为：
,故A正确;
,,,,
,,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
由于E,F分别为,AB的中点,所以且,
因此四边形为平行四边形,故,
又平面,平面,所以平面,
直线CF到平面的距离为,故B正确;
设直线与平面所成角为,则,故C错误;
,,
设直线与直线所成角为,则,故D正确．
故选：ABD．
12、答案：BD
解析：对于A项,若长轴长为4,短轴长为,
可知此时,即A错误;
对于B项,若,此时,
即,符合定义,即B正确;
对于C项,若轴,且,易得,
且,则,即C错误;
对于D项,若四边形的内切圆过焦点,,则O到直线的距离为c,
此时,
解之得,又,符合定义,即D正确.
故选：BD.
13、答案：2
解析：因为,
令,则,解得;
令,则,解得.
故答案为：2.
14、答案：
解析：游戏时,双方所出的手势共有种;其中“双方所出的手势相同”有3种;
“双方所出的手势不同”的概率.
故答案为：.
15、答案：
解析：对于直线,则直线l是过点且斜率为k的直线,
对于曲线,则,
曲线C方程两边平方并整理得,
则曲线C为圆的右半圆,如下图所示：
当直线l与曲线C相切时,,且有,解得,
当直线l过点时,则有,解得.
结合图象可知,当时,直线l与曲线C有两个交点.
故答案为：.
16、答案：
解析：对于直线,当时,恒成立,即过定点,记为A,
对于直线,当时,恒成立,则恒过定点,记为B,
因为,无论m取何值,与都互相垂直,和交于点M,
所以,即点M的轨迹为以AB为直径的圆,
可知圆心为,半径为,所以的最大值是.
故答案为：.
17、答案：（1）;
（2）证明见解析.
解析：（1）数列的前n项和,
当时,,
当时,,满足上式,
所以的通项公式为.
（2）设,其中,
因此,则,数列是等差数列,
所以数列是首项为12,公差为-1的等差数列.
18、答案：（1）从A,B,C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1;
（2）①答案见解析;②．
解析：（1）社区总数为,样本容量与总体中的个体数比为
所以从A,B,C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1.
（2）①设,为在A行政区中抽得的2个社区,,,为在B行政区中抽得的3个社区,为在C行政区中抽得的社区,在这6个社区中随机抽取2个,全部可能的结果有
,,,,,,,,,,,,,,共有15种．
②设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件M,则事件M所包含的所有可能的结果有：,,,,,,,,共有9种．所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为.
19、答案：（1）
（2）或
解析：（1）圆心C到直线l的距离为,
所以,圆C的半径为,
因此,圆C的方程为.
（2）当切线的斜率不存在时,则切线的方程为,且直线与圆C相切,合乎题意;
当切线的斜率存在时,设切线方程为,即,
由题意可得,解得,此时,切线的方程为.
综上所述,所求切线的方程为或.
20、答案：（1）;
（2）;
（3）.
解析：（1）平面ABCD,四边形ABCD为正方形,设.
以点A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如下图所示：
则、、、、、.
,,
,
所以,异面直线PD、CE所成角的余弦值为;
（2）设平面ACE的一个法向量为,,,
由,可得,取,可得,则,
,,
因此,直线CD与平面ACE所成角的正弦值为;
（3）设平面PAC的一个法向量为,,,
由,可得,得,取,则,,
所以,平面PAC的一个法向量为,
,
由图形可知,二面角为锐角,
因此,二面角的余弦值为.
21、答案：（1）
（2）为定值,定值为-2
解析：（1）由题意得
又,所以
所以,
所以椭圆．
（2）当直线l斜率存在时,设直线,（其中）,,,
联立,消y可得,
则,解得或,
,
所以
（定值）
当直线l的斜率不存在时,直线,则M,N关于x轴对称,所以,
所以,
综上可得（定值）
22、答案：（1）
（2）证明见解析
（3）．
解析：（1）设,,由题意得,
解得,所以C的方程为．
（2）证明：设这组平行线的方程为,与联立消去x,
得,
则,得．
设直线被C截得的线段的中点为,则,其中,是方程的两个实数根．
所以,
消去m,得,所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上．
（3）由（2）知,l与C相离,
当直线与C相切时,,解得或．
当时,直线与l的距离为,此时,
当时,直线与l的距离为,此时,
所以面积的取值范围为．