2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二上学期12月阶段测试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省张家口市张垣联盟高二上学期12月阶段测试数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知点A2,4在抛物线C:y2=2px上，则点A到抛物线C的准线的距离为
( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
2.已知A2,1,B−4,a两点到直线l:x−y+2=0的距离相等，则a=( )
A. 1B. −5C. 1或−5D. 1或−8
3.双曲线x2−y23=1经过一､三象限的渐近线的倾斜角为
( )
A. π6B. π3C. 5π6D. 2π3
4.若方程x2m+3+y2m−6=1表示双曲线，则m的取值范围是
( )
A. m6B. −3a2 ，即 e2>12 ，
又 er+R=3，所以两圆外离，又QP在圆O上，Q在圆M上，则|PQ|的最小值为|PQ|min=|OM|−R−r=2，故选项A错误;
对于B，最大值为|PQ|max=|OM|+R+r=8，选项B正确;
对于C，因为O到直线3x+4y−10=0的距离d1=105=2=r，M到直线3x+4y−10=0的距离d2=|3×5−0−10|5=1=R，所以3x+4y−10=0是两圆的公切线，故选项C正确;
对于D，因为O到直线12x−5y−26=0的距离d3=|−26| 122+52=2=r，所以12x−5y−26=0是圆O的切线，但M到直线12x−5y−26=0的距d4=|12×5−26| 122+52=3413≠R，故选项D错误．
故选：BC．
13.【答案】21
【解析】【分析】
根据双曲线定义||PF1|−|PF2||=2a，求解．
本题考查了双曲线的定义，属于基础题．
【解答】解：由双曲线y264−x216=1，得a=8，
由双曲线的定义得||PF1|−|PF2||=2a=16，又|PF1|=5，
所以|PF2|=21，或|PF2|=−11(舍去)，
所以|PF2|=21．
故答案为：21．
14.【答案】y2−x224=1(y≥1)
【解析】【分析】
本题考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，掌握双曲线的定义域性质是关键，是中档题．
根据外切的性质及双曲线的定义得到点M的轨迹为双曲线，然后求方程即可．
【解答】
解：y2−x224=1(y≥1)当圆M与圆C1，C2均外切时，|MC1|=rM+5，|MC2|=rM+3，
所以|MC1|−|MC2|=20,b>0 ．
则 22a2−12b2=1c= 3a2+b2=c2 ，解得： a= 2b=1 ，
即所求方程为： x22−y2=1 ．

【解析】本题考查双曲线标准方程求解，属于基础题．
(1)由同渐近线的双曲线方程的关系设要求双曲线的标准方程为 y24−x2=mm≠0 ，即可代点求得 m ，得出其方程．
(2)根据已知得出焦点坐标为 ± 3,0 ，在 x 轴上，设出所求方程，根据双曲线定义列式解出 a,b ，即可得到答案．
18.【答案】解：(1)由菱形的性质可知：BC//AD，∵BC边所在直线过点P(4,−3)，点C坐标为(9,−13)，
∴则kAD=kBC=kCP=−3+134−9=−2，
又∵点A坐标为(−1,−1)，∴AD边所在直线的方程为y+1=−2(x+1)，即2x+y+3=0，
所以AD边所在直线的方程为2x+y+3=0．
(2)∵A(−1,−1)，C(9,−13)，∴线段AC的中点为E(4,−7)，且kAC=−13+19+1=−65．
由菱形的几何性质可知：BD⊥AC且E为BD的中点.则kBD=−1kAC=56，
所以对角线BD所在直线的方程为y+7=56(x−4)，即5x−6y−62=0，
BD所在直线的方程为：5x−6y−62=0．
【解析】本题考查了相互平行的直线斜率相等、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系、菱形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
(1)利用相互平行的直线斜率相等、点斜式即可得出．
(2)利用相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式即可得出．
19.【答案】解：(1)因A(2,0)，B(0,−2)，则AB的中点为(1,−1)，
又kAB=−2−00−2=1，
则AB的中垂线方程为x+y=0，
将其与欧拉线方程联立有x+y=02x+3y−2=0，解得x=−2y=2，
故△ABC的外心为M(−2,2)，
则△ABC外接圆半径为r=|MA|= (−2−2)2+22= 20，
故圆M的方程为(x+2)2+(y−2)2=20．
(2)设切点为Q，由题有|PQ|2=|PM|2−|QM|2
=(5+2)2+(6−2)2−20=49+16−20=45，
故切线的长3 5．
【解析】本题主要考查了直线方程、圆的方程、直线与圆的关系，属于中档题．
(1)由A、B两点坐标可得AB的中点坐标及线段AB的垂直平分线的斜率，从而可求得线段AB的垂直平分线方程，联立方程组求得▵ABC外心的坐标及外接圆半径即可得▵ABC外接圆方程．
(2)设切点为Q，由题有|PQ|2=|PM|2−|QM|2，计算即可．
20.【答案】解：(1)∵双曲线E:6x2−12y2=1，即E:x216−y2112=1，焦点坐标为(±12,0)，
又抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F(p2,0)，∴p2=12，即p=1，∴抛物线C的方程为y2=2x;
(2)将抛物线方程与直线方程联立得y=x−2y2=2x，消去x，得y2−2y−4=0，
Δ=20>0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1y2=−4，y1+y2=2，
故|AB|= 1+112|y1−y2|= 2 (y1+y2)2−4y1y2= 2× 20=2 10．
【解析】本题考查的是抛物线的标准方程，直线与抛物线相交求弦长，双曲线的性质．
(1)由题意双曲线的焦点坐标是(±12,0)，所以p2=12，得出p，即可得出C的方程；
(2)利用弦长公式即可得出答案．
21.【答案】(1)证明：∵PB⊥BC，BC⊥AB，PB，AB⊂平面PAB，AB∩PB=B，
故BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，故BC⊥PA，同理可得PA⊥CD，BC∩CD=C，
BC，CD⊂平面ABCD，
故PA⊥平面ABCD
(2)解：由(1)可得AB，AD，AP两两互相垂直，所以以A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则A(0,0,0)，B(4,0,0)，P(0,0,4)，C(4,4,0)，D(0,4,0)设PE=λPD=λ(0,4,−4)，
则E(0,4λ,4−4λ)，λ∈[0,1]，有AC=(4,4,0)，AE=(0,4λ,4−4λ)，
平面PAB的一个法向量是n1=(0,1,0)，设平面ACE的一个法向量是n2=(x,y,z)，
则n2⋅AC=(x,y,z)⋅(4,4,0)=4x+4y=0n2⋅AE=(x,y,z)⋅(0,4λ,4−4λ)=4yλ+4z−4zλ=0,
取x=1得y=−1，z=λ1−λ，即n2=(1,−1,λ1−λ)
csn1,n2=n1·n2|n1|·n2=11× 1+1+(λ1−λ)2= 66，解得λ=23，
即存在点E满足条件，E是PD上靠近点D的三等分点
【解析】本题考查线面垂直的判定，利用空间向量求面面夹角问题，属于中档题．
(1)先依据线面垂直的性质证明BC⊥PA，同理证明CD⊥PA，再依据线面垂直的判定定理得出PA⊥平面ABCD;
(2)以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，设出E的坐标，求出平面PAB与平面ACE的法向量，结合夹角公式求出参数即可．
22.【答案】解：(1)因为双曲线x2−y2=1的顶点为(−1,0)，(1,0)，所以椭圆C的焦点为(−1,0)，(1,0)，因为双曲线的离心率为 2，所以椭圆C的离心率为12，设椭圆C的标准方程为：
x2a2+y2b2=1，椭圆C的焦距为2c，则c=1，依题意，则ca=12，于是a=2，因为a2=b2+c2，
所以b= 3，故椭圆C的标准方程为：x24+y23=1．
(2)在椭圆C:x24+y23=1中，F1(−1,0)，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点(M在N上方)，且MF1=λF1N，130，y1+y2=6k3+4k2 ②且y1y2=−9k23+4k2 ③．
由 ① ②得：y1=−6λk(4k2+3)(1−λ)y2=6k4k2+3(1−λ)代入 ③中得：−9k23+4k2=−36λk23+4k221−λ2
因为当k=0时，λ=13不成立，∴k2=λ(1−λ)2−34=1λ+1λ−2−34(13