2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二第一学期第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市部分校高二第一学期第三次月考数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线y=116x2的准线方程是
A. x=116B. y=−4C. x=−4D. y=−116
2.已知直线l的倾斜角为23π，直线l1经过P(−2, 3)，Q(m,0)两点，且直线l与l1垂直，则实数m的值为
( )
A. −2B. −3C. −4D. −5
3.如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成30∘，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为
A. 32B. 34C. 12D. 14
4.意大利数学家斐波那契(1770∼1250)，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…在实际生活中，很多花朵(如梅花，飞燕草，万寿简等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用.已知斐波那契数列an满足：a1=1，a2=1，an+2=an+1+an，若a2+a3+a5+a7+a9+⋯+a59=ak，则正整数k的值为
A. 59B. 60C. 2022D. 2023
5.“青花出晕染，胜却人间无数”，青花瓷是中华陶瓷烧制工艺的珍品，也是中国瓷器的主流品种之一.如图，是一青花瓷花瓶，其外形上下对称，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面.若该花瓶的瓶口直径是8cm，瓶身最小的直径是4cm，瓶高是6cm，则该双曲线的离心率为
( )
A. 52B. 72C. 54D. 344
6.偶函数f′x为fx的导函数，f′x的图象如图所示，则函数fx的图象可能为
( )

(函数f′x的图象)
A. B.
C. D.
7.笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．心形曲线如图所示，其方程为x2+y2=1+|x|y，若A为曲线上一点，OA的取值范围为 ( )
A. [ 63, 2]B. [1, 2]C. [1,2]D. [ 63,2]
8.已知函数fx=12x2+mx+lnxx>0在12,3上有唯一的极值点，则实数m的取值范围是
( )
A. −103,−52B. −103,−52C. −103,−52D. −103,−52
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知方程x24−t+y2t−1=1表示的曲线为C，则以下四个判断正确的为
( )
A. 当112+13+⋯+1n成立．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的方程及其性质，属于基础题．
将该抛物线方程化为标准方程，求出p，则可得其准线方程．
【解答】
解：抛物线y=116x2可化为x2=16y，可知p=8，开口向上，
则准线方程为y=−4．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查直线的倾斜角及两直线垂直的性质．
根据题意可得直线l的斜率为tan23π=− 3，进而可得 3−0−2−m·(− 3)=−1，解方程即可求得结果．
【解答】
解：直线l的斜率为tan23π=− 3，
∵直线l与l1垂直，
∴ 3−0−2−m·(− 3)=−1，
解得m=−5．
故选D．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率的求法，属于中档题．
设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，由题意可得椭圆短轴长与圆柱底面直径相等，cs30°=2b2a，由此能求出该椭圆的离心率．
【解答】
解：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，
由题意得，圆柱底面直径=椭圆短轴长2b，
cs30°=2b2a= 32，
即b= 32a，即b2=34a2，
则c2=a2−b2=14a2，
∴该椭圆的离心率e=12．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数列递推式的应用，知a1=a2=1后，熟练应用an+2=an+1+an(n∈N∗)是解决问题的关键，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于基础题．
由a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N∗)，可得a2+a3+a5+a7+a9+…+a59=a60=ak，从而求出k的值．
【解答】解：∵斐波那契数列{an}满足：a1=a2=1，an+2=an+1+an(n∈N∗)，
∴a2+a3+a5+a7+a9+…+a59
=a4+a5+a7+a9+…+a59
=a6+a7+a9+…+a59
=…
=a58+a59
=a60=ak，则k=60，
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质在实际问题中的应用，考查运算能力和方程思想在解题中的体现，属于较易题．
设双曲线方程为：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，由已知可得a，并求得双曲线上一点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程，求解b，即可得到双曲线的离心率．
【解答】
解：以花瓶最细处所在直线为x轴，花瓶的竖直对称轴为y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
设双曲线的方程为：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)．
花瓶的最小直径|A1A2|=2a=4cm，则a=2，
由已知可得M(4,3)，
故164−9b2=1，解得b= 3，
∴该双曲线的离心率为 1+b2a2= 72，
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的判断，结合函数单调性，极值和导数之间的关系是解决本题的关键.属基础题．
根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性即可．
【解答】
解：f′x为偶函数，易知f(x)为奇函数，
由y=f′(x)可得y=f′(x)有两个零点，x1，x2，且x1a1q2022−1a1q2022−1=1>0，与已知矛盾，故00，故A错误，B正确;
由a2024−1a2023−11及0⋯>a2023>1>a2024，
所以T2023为{Tn}的最大项，故C正确，D错误．
故选BC．
11.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的定义及标准方程，及离心率渐近线，属于中档题．
根据双曲线的标准方程及定义逐项判断即可得到答案．
【解答】
解：对于A，若P 2,1，且PF2⊥x轴，则F1− 2,0,F2 2,0，c= 2，
2a=PF1−PF2=3−1=2，所以a=1，b2=c2−a2=1，所以C的方程为x2−y2=1，所以A正确;
对于B，若C的一条渐近线方程是 2x−y=0，则ba= 2，e2=1+(ba)2=3，所以e= 3，所以B错误;
对于C:若C的离心率为 3，则c= 3a，b= 2a，
若点P在C的右支上，△PF1O为等腰三角形，则|PO|=|OF1|，连接PF2，
则△PF1F2是直角三角形，
设PF1=m,PF2=n，
由勾股定理可得m2+n2=2c2=2 3a2=12a2，
由双曲线定理可得m−n=2a，两边平方可得m2+n2−2mn=4a2，
则12a2−2mn=4a2，可得mn=4a2，
则S△PF1O=12S△PF1F2=12×12mn=a2=12b2，故 C错误;
对于D:由sin∠PF1F2=e⋅sin∠PF2F1及正弦定理，可得|PF2|=e|PF1|，
可知点P在双曲线的左支上，∴|PF2|−|PF1|=2a，可得|PF1|=2ae−1，
又|PF1|≥c−a，∴2ae−1≥c−a，∴2e−1≥e−1，∴(e−1)2≤2，∴e≤ 2+1，
∴C的离心率e的取值范围是1, 2+1，故D正确．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值和最值，同时考查函数零点及不等式恒成立问题，属于较难题．
求出函数的导数判断单调性，根据选项逐一判断即可求解．
【解答】
解： ∵f(x)=lnxx2，(x>0)
∴f′(x)=x−2xlnxx4=1−2lnxx3，(x>0)
令f′(x)=0，得x= e，
当00，当x> e时，f′(x)0，|BM|=|BF|=n>0，
则|BD|=n−m，|EF|=2−m，
∴ 2−mn−m= mm+n，化简得： 1n+ 1m=1，
∴4|AF|+|BF|=4m+n
=(4m+n)⋅( 1n+ 1m)
= 4mn+ nm+5≥2 4mn⋅nm+5=9，
当且仅当n=2m=3时等号成立．
所以4m+n的最小值为9．
16.【答案】−∞,−1e
【解析】【分析】
本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，解题的关键是转化为fxmin⩾gxmax，属于中档题．
求导函数，由函数的单调性求得函数f(x)的最小值，由二次函数的单调性求得g(x)的最大值，由题意得fxmin⩾gxmax，即可求出a的取值范围．
【解答】
解：求导函数，可得f′x=lnx+1⩾0在x∈[1e,1]上恒成立，
∴函数f(x)在[1e,1]上单调递增，
∴f(x)在[1e,1]的最小值为fxmin=f1e=−1e，
g(x)=x2−2x+a=x−12+a−1在x∈[1,2]上单调递增，
∴g(x)在[1,2]上的最大值为gxmax=g2=a，
∵对任意的x1∈1e,1，x2∈1,2，使得fx1≥gx2成立，
∴fxmin⩾gxmax，
∴−1e⩾a，即a⩽−1e
即实数a的取值范围为−∞,−1e,
故答案为−∞,−1e．
17.【答案】解：(1)∵CE⊥AB，且直线CE的斜率为−43，
∴直线AB的斜率为34，
∴直线AB的方程为y+3=34(x+1)，即3x−4y−9=0．
(2)设D(a,b)，则C(2a+1,2b+3)，
∴a−3b−3=04(2a+1)+3(2b+3)−7=0，解得a=0b=−1，
∴C(1,1)．
【解析】【分析】本题考查直线方程、点的坐标的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，属于基础题．
(1)由CE⊥AB，且直线CE的斜率为−43，得直线AB的斜率为34，由此能求出直线AB的方程；
(2)设D(a,b)，则C(2a+1,2b+3)，列出方程组，能求出点C的坐标．
18.【答案】解：(1)因为圆C的圆心在直线x−2y=0上，所以可设圆心为(2a,a)．
因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a>0，半径r=2a．
又因为该圆截x轴所得弦的长为2 3，
所以a2+( 3)2=(2a)2，解得a=1．
因此，圆心为(2,1)，半径r=2．
所以圆C的标准方程为(x−2)2+(y−1)2=4．
(2)由直线l：y=−2x+b与圆C，消去y，得(x−2)2+(−2x+b−1)2=4．
整理得5x2−4bx+(b−1)2=0．
由△=(−4b)2−4×5(b−1)2>0，得b2−10b+5