2023-2024学年广西名校联盟高一上学期阶段性联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广西名校联盟高一上学期阶段性联考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x∈R，lnx≤0”的否定是( )
A. ∀x∈R，lnx≥0B. ∀x∈R，lnx>0
C. ∃x∈R，lnx≥0D. ∃x∈R，lnx>0
2.设集合A={−1,1,5}，B={3,5,7}，若集合M=A∩B，则集合M的子集个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 5
3.函数f(x)=32x−1+ln(2−x)的定义域为( )
A. [12,2)B. (12,2)C. (−∞,2)D. (2,+∞)
4.已知a=lg23，b=e−0.3，c=e−0.2，则( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. b>a>c
5.方程x+lnx−3=0的根所在区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
6.函数f(x)=x24−x−4x的部分图象大致为
( )
A. B.
C. D.
7.函数f(x)=lg(x2+2x−3)的单调递增区间为( )
A. (−∞,−1)B. (−∞,−3)C. (−1,+∞)D. (1,+∞)
8.已知x>0，y>0，lg21x+lg81y=lg2，则x+3y的最小值是( )
A. 4B. 10C. 12D. 16
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数a，b，c满足aA. 1a>1bB. ac2b+cD. a−b10.中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“functin”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义.已知集合M={−1,1,2,4}，N={1,2,4,16}，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是
( )
A. y=2xB. y=x2C. y=2xD. y=lg2x
11.下列命题为真命题的是( )
A. 若函数f(2x)的定义域为[1,2]，则函数f(x)的定义域是[2,4]
B. 函数f(x)=lg2(2x2+1)−1的值域为[−1,+∞)
C. 当α=0时，幂函数y=xα的图象是一条直线
D. 若lga12>1，则a的取值范围是(12,1)
12.已知函数f(x)=|lgx|,010.若方程f(x)−m=0有三个不同的解a，b，c，且aA. 110三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=32−x,x⩽1,lg3 x,x>1,则f(f(3))的值是 ．
14.函数f(x)=lga(x−1)+1a>0且a≠1)的图像恒过定点A，则点A的坐标为 ．
15.设定义在R上的奇函数f(x)满足对任意x1，x2∈(0,+∞)，且x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1<0.若f(2)=0，则不等式f(−x)−2f(x)x≥0的解集为 ．
16.已知函数f(x)=2022x3+2x2+3x+6x2+3，且f(a)=3，则f(−a)的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：lg25+lg2×lg50+(lg2)2．
(2)设lg23=a，lg27=b，试用a，b表示lg4256．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|5≤x≤9}，B={x|m−1≤x≤2m+1}．
(1)当m=3时，求A∪B;
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数g(x)=2x−22x+2．
(1)试判断g(x)的单调性，并用定义证明;
(2)解不等式g(lg3x+1)−g(lg32)<0．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(mx2−2mx+3)，其中m为常数．
(1)若f(x)的定义域为R，求m的取值范围;
(2)若f(x)的值域为R，求m的取值范围．
21.(本小题12分)
用打点滴的方式治疗病患时，血药浓度c1(t)(血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位：mg/ml)随时间t(单位：ℎ)变化的函数符合关系式c1(t)=m0150(1−2−kt)(k≠0)，其函数图象如图所示.已知m0为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的血药浓度在4mg/ml到15mg/ml之间，当达到上限浓度时(即血药浓度达到15mg/ml时)，必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合关系式c2(t)=c⋅2−kt，其中c为停药时的人体血药浓度．

(1)求函数c1(t)的解析式．
(2)一患者开始注射后，最多隔多长时间停止注射?为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射?(结果保留小数后一位，参考数据：lg2≈0.3，lg15≈1.18)
22.(本小题12分)
给出下面两个条件：①函数f(x)的图象与直线y=−1只有一个公共点; ②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面的问题补充完整，使f(x)的解析式确定．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)−f(x)=2x−1，且 ．
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=ln[(3−m)ex+1]−ln(3m)−2x，∀x1∈[12,4]，∀x2∈[0,+∞)，f(lg2x1)−g(x2)+1≥0，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题．
直接利用全称量词命题的否定是存在量词命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“∀x∈R，lnx≤0”的否定是∃x∈R，lnx>0
故选D．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交集运算及集合的子集个数问题，属于基础题．
求出集合的交集，根据交集中元素个数得出即可．
【解答】
解：A={−1,1,5}，B={3,5,7}，M=A∩B={5}，
因为集合M中只有1个元素，
所以M的子集有⌀和{5}，共2个．
3.【答案】C
【解析】【分析】本题考查函数的定义域的求法，属于基础题．
要使函数有意义，则需2−x>0，解得即可得到定义域．
【解答】
解：要使函数有意义，则需2−x>0，
解得，x<2，
则定义域为(−∞,2)．
故选C．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数与对数函数的单调性，属于基础题，
利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】
解：a=lg23>lg22=1，函数y=ex为增函数，因为−0.3<−0.2<0，所以0所以，e−0.35.【答案】C
【解析】解：令f(x)=x+lnx−3，x>0，
显然函数为增函数，又f(3)=ln3>0，f(2)=ln2−1<0，
故存在m∈(2,3)使得f(m)=0．
故选：C．
利用零点存在性质定理，结合函数的单调性判断即可．
本题考查函数的零点存在性定理，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数图象的确定，利用排除法求解.属于基础题．
先确定函数的奇偶性，函数值的正负，再当x>0时，可得f(x)<0，进行排除从而可得．
【解答】
解：因为f(−x)=(−x)24x−4−x=−f(x)，又函数的定义域为{x|x≠0}，
故f(x)为奇函数，排除C，D;
根据指数函数的性质，y=4x在R上单调递增，
当x>0时，x>−x，故4−x<4x，则f(x)<0，排除B，
故选A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查复合函数的单调性，以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题
由对数式的真数大于0求出原函数的定义域，再求出内函数的减区间，结合复合函数的单调性得答案
【解答】
解：由x2+2x−3>0，解得x>1或x<−3．
令t=x2+2x−3，得t>0，因为函数y=lgt在(0,+∞)上单调递增，
函数t=x2+2x−3在(−∞,−3)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以根据复合函数同增异减的性质可得f(x)的单调递增区间为(1,+∞).
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查对数运算及利用基本不等式求最值，属于基础题．
由对数运算及指数运算化简已知得1x+3y=1，利用“乘1法”及基本不等式求最值，即可得出结果．
【解答】
解：由lg21x+lg81y=lg2x+3lg2y=lg2，
可得1x+3y=1.x+3y=(x+3y)(1x+3y)=1+9+3yx+3xy，
又x>0，y>0，所以x+3y=1+9+3yx+3xy≥10+2 3yx⋅3xy=16，
当且仅当3yx=3xy，即x=y=4时，等号成立．
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查不等式性质，属于基础题．
根据不等式性质判断即可．
解答：
因为a1b，A正确，
因为c2>0，a因为a因为a故答案为ABD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数的概念，属于基础题．
根据选项中的解析式依次判断即可．
【解答】
解：对选项A，当x=4时，y=8∉N，故A错误；
对选项B，对任意x∈M都有y=x2∈N，故B正确．
对选项C，对任意x∈M都有y=2x∈N，故C正确．
对选项D，当x=1或x=−1时，y=0∉N，故D错误；
故选BC．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查函数的定义域，指数函数、对数函数和幂函数的性质等，利用基础知识解题即可，属于基础题．
根据函数的定义域判断A，根据对数函数的性质判断B；根据幂函数的性质判断C；根据对数函数的单调性判断D．
【解答】解：对于A，函数f(2x)的定义域为1,2，则x∈1,2，2≤2x≤4，
故函数fx的定义域是2,4，故A正确；
对于B，2x2+1≥1，则lg2(2x2+1)≥0，所以函数f(x)=lg2(2x2+1)−1的值域为[−1,+∞)，故B正确；
对于C，当α=0时，幂函数y=xα=1，定义域为{x|x≠0}，其图象不包括(0,1)，故C错误；
对于D，lga12>1=lgaa，若a>1，则12>a，不满足题意；
若0故选择ABD．
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数与方程的转化思想，考查数形结合思想，以及化简运算能力，属于中档题．
画出f(x)的图象，结合图象以及对数运算确定正确答案.
【解答】解：由题意可知，f(x)=−lgx, 010.
作出f(x)的图象，
因为方程f(x)−m=0有三个不同的解a，b，c(a由图可知0又m=−lga=lgb=2c−25，
lga+lgb=lgab=0，ab=1，
所以a=10−m∈[110,1)，b=10m∈(1,10]，故A错误，B正确;
abc=c=m+252∈(12.5,13]， 故C正确．
故选：BC．
13.【答案】3
【解析】【分析】
本题主要考查的是分段函数求值，属于基础题．
首先利用x>1对应的解析式求出f(3)，再利用x≤1对应的解析式求解即可．
【解答】解：根据题意知：f(3)=lg33=1，
∴f(f(3))=f(1)=31=3．
故答案为3．
14.【答案】(2,1)
【解析】【分析】
本题考查了对数函数的性质，属于基础题．
根据对数函数f(x)=lgax恒过定点(1,0)即可求得结果．
【解答】
解：因为f(2)=1+lga(2−1)=1，
所以函数f(x)=1+lga(x−1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A(2,1)．
故答案为(2,1)．
15.【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，属于中档题．
依题意 fx 在 0,+∞ 上单调递减，根据奇函数的性质得到 fx 在 −∞,0 上单调递减，从而得到 fx 的取值情况，即可得解．
【解答】
解：因为 f(x) 满足对任意 x1,x2∈(0,+∞) ，且 x1≠x2 ，都有 fx2−fx1x2−x1<0 ，
所以 fx 在 0,+∞ 上单调递减，
又 fx 为 R 上的奇函数，所以 fx 在 −∞,0 上单调递减，且 f0=0 ，
又 f(2)=0 ，所以 f−2=−f2=0 ，
所以当 x<−2 时 fx>0 ，当 −20 ，当 x>2 时 fx<0 ，
又f(−x)−2f(x)x≥0可得3f(x)x⩽0，即f(x)x⩽0
所以不等式 f(x)x≤0 的解集为 −∞,−2∪2,+∞ ．
16.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．
令g(x)=2022x3+3xx2+3，则f(x)=g(x)+2，分析可得g(x)为奇函数，利用奇函数性质即可得解．
【解答】
解：由题意，f(x)=2022x3+3xx2+3+2，
令g(x)=2022x3+3xx2+3，g(x)的定义域为R，
且g(−x)=−2022x3−3xx2+3=−(2022x3+3xx2+3)=−g(x)，
所以g(x)为奇函数，∴g(a)+g(−a)=0，
则f(−a)+f(a)=g(−a)+2+g(a)+2=4，又f(a)=3，
得f(−a)=1．
故答案为1．
17.【答案】解：(1)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=lg5+1+lg2(lg5+lg2)=lg5+1+lg2=2；
(2)lg23=a，lg27=b，
∴lg3lg2=a，即lg3=alg2，
lg 7lg 2=b，即lg7=blg2，
∴lg4256=lg56lg42=lg(7×23)lg(2×3×7)=lg7+3lg2lg2+lg3+lg7
=blg 2+3lg2lg2+alg 2+blg 2=b+31+a+b
【解析】本题主要考查对数的运算，属于基础题．
(1)根据对数的运算法则运算即可；
(2)根据换底公式，得lg3=alg2，lg7=blg2，又lg4256=lg7+3lg2lg2+lg3+lg7，代入可得．
18.【答案】解：(1)当m=3时，B={x|2≤x≤7}，
则A∪B={x|2≤x≤9}．
(2)因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B.
由5≥m−1,2m+1≥9,
解得4≤m≤6.
综上，m的取值范围是[4,6]．
【解析】本题考查集合的基本运算，根据充分条件求参数的取值范围，属于中档题．
(1)根据并集的运算求解即可；
(2)根据题意A⊆B，根据集合的关系求解参数的取值范围．
19.【答案】解：(1)g(x)在R上单调递增．
证明：g(x)=2x−22x+2=1−42x+2，其定义域为R．
任取x1，x2∈R且x1则g(x2)−g(x1)=(1−42x2+2)−(1−42x1+2)=42x1+2−42x2+2
=4×2x2+2−2x1+2(2x1+2)(2x2+2)=4×2x2−2x1(2x1+2)(2x2+2)=4×2x21−2x1−x2(2x1+2)(2x2+2)，
因为x1则1−2x1−x2>0，2x2>0，2x1+2>0，2x2+2>0，
所以g(x2)−g(x1)>0，即g(x)在R上单调递增．
(2)由g(lg3x+1)−g(lg32)<0，得g(lg3x+1)因为g(x)在R上单调递增，所以lg3x+1即lg3(3x)即0<3x<2，
解得0【解析】本题主要考查函数单调性，考查不等式的解法，属于中档题．
(1)常数分离得g(x)=1−42x+2，再判断g(x2)−g(x1)正负可得函数单调性；
(2)利用函数的单调性将不等式转化为lg3(3x)20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=lg2(mx2−2mx+3)的定义域为R，
故mx2−2mx+3>0恒成立，
故有①当m=0时，不等式变为3>0，恒成立
②当m>0时，△=4m2−12m<0．
解得 0故m的范围为[0,3)．
(2)∵f(x)的值域为R，∴mx2−2mx+3能取遍所有的正实数，
故m>0，且△=4m2−12m≥0．
解得m≥3，
即m的范围为;[3,+∞)．
【解析】本题主要考查了对数函数的定义域，值域，同时考查了恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．
(1)由函数f(x)=lg2(mx2−2mx+3)的定义域为R，故mx2−2mx+3>0恒成立，故有①m=0，或②m>0且△=4m2−12m<0.由此求得m的范围．
(2)根据f(x)的值域为R，可得mx2−mx+3能取遍所有的正实数，故m>0，且△=4m2−12m≥0，由此求得m的范围．
21.【答案】解：(1)解：由图象可知点(4,8),(8,12)在函数图象上，
则m01501−2−4k=8m01501−2−8k=12两式相除得1−2−4k1−2−8k=23，解得：k=14,m0=2400，
∴函数c1t=161−2−t4t≥0．
(2)解：由161−2−t4≤15，得2−t4≥116=2−4，解得，0≤t≤16，
∴从开始注射后，最多隔16小时停止注射；
由题意可知c=15，又k=14，∴c2t=15⋅2−t4，
由15⋅2−t4≥4，得2−t4≥415，
即−t4≥lg2415⇒−t4≥2−lg215⇒−t4≥2−lg15lg2≈2−1.180.3≈−1.93，
所以解得：0≤t≤7.7，
∴为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射．

【解析】本题考查指数函数模型的综合运用，属于中档题。
(1)根据图象可知，两个点(4,8)，(8,12)在函数图象上，代入后求解参数，求c1(t)；
(2)由(1)求c1(t)≤15中t的范围；求得c2(t)后，再求c2(t)≥4中t的范围．
22.【答案】解：(1)因为二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)−f(x)=2x−1，
f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c=2ax+a+b，
所以2x−1=2ax+a+b，所以2a=2a+b=−1，解得a=1b=−2，
所以二次函数f(x)=x2−2x+c．
选 ①.因为函数f(x)的图象与直线y=−1只有一个交点，
所以f(1)=1−2+c=−1，解得c=0，
所以f(x)的解析式为f(x)=x2−2x．
选 ②.设x1，x2是函数f(x)的两个零点，则|x1−x2|=2，
由根与系数的关系可知x1+x2=2，x1x2=c，
所以|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 4−4c=2，
解得c=0，所以f(x)的解析式为f(x)=x2−2x．
(2)令t=lg2x1，则t∈[−1,2]，f(t)=t2−2t∈[−1,3]．
因为∀x1∈[12,4]，∀x2∈[0,+∞)，f(lg2x1)−g(x2)+1≥0，
所以f(lg2x1)+1≥g(x2)，则f(lg2 x1)min+1≥g(x2)，
则∀x2∈[0,+∞)，g(x2)≤0，
即∀x∈[0,+∞)，g(x)=ln[(3−m)ex+1]−ln(3m)−2x≤0，
即∀x∈[0,+∞)，ln[(3−m)ex+1]≤ln(3me2x).
因为函数y=lnx在(0,+∞)上单调递增，
所以(3−m)ex+1≤3me2x在[0,+∞)上恒成立，
即(3ex+1)(mex−1)≥0在[0,+∞)上恒成立．
因为3ex+1>0，所以mex−1≥0在[0,+∞)上恒成立，
即m≥1ex，得m≥1.
又因为(3−m)ex+1>0在[0,+∞)上恒成立，所以3−m≥−1ex在[0,+∞)上恒成立，得m≤3，
综上，m的取值范围为[1,3]．
【解析】本题考查二次函数解析式的求解，考查不等式的恒成立问题，考查函数的零点与方程根的关系，属于较难题．
(1)首先根据f(x+1)−f(x)=2x−1求得a，b的值，再根据 ①或 ②解得c的值;
(2)由题意可得∀x∈[0,+∞)，ln[(3−m)ex+1]≤ln(3me2x)，利用对数函数单调性可得(3ex+1)(mex−1)≥0在[0,+∞)上恒成立，进而得m的取值范围．