2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级上学期期末数学(五四制)试题（含解析）

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区九年级上学期期末数学(五四制)试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．平面直角坐标系中，点（，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，3）B．（，）C．（2，）D．（，2）
2．下列图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示的几何体是由4个完全相同的小正方体组成，它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
4．将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．C．D．
5．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小D．该函数图象与y轴的交点坐标是
6．图，反比例函数的图象过矩形OABC的顶点B，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，矩形OABC的对角线OB，AC交于点E（1，2），则k的值为（ ）
A．4B．8C．﹣4D．﹣8
7．对于反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．点在它的图象上B．它的图象在第一、三象限
C．当时，随的增大而增大D．当时，随的增大而减小
8．如图，四边形中，对角线和相交于点，，（字母“”表示面积），则的值是（ ）．
A．B．C．D．
9．如图，，与相交于点，且，，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线.对于下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则.其中正确个数有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共计24分）
11．若一个扇形的弧长为，圆心角为，则扇形的半径为 ．
12．同时掷两枚质地均匀的骰子；两枚骰子点数之和为10的概率为 ．
13．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，则这栋楼的高度为 m．
14．用总长为80米的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化，当是 米时，场地的面积最大？
15．如图，有一个亭子，它的地基是半径为6米的正六边形，则地基的面积为 平方米．
16．如图，，是的切线，，为切点，是的直径，，则的度数是 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，将平行四边形绕点旋转后，点的对应点坐标是 ．
18．如图，在菱形中，对角线和的长分别是和，以为斜边向菱形外作等腰直角三角形，连接，则的长是 ．
三、解答题（其中19-20题各7分，21-24题各8分，25-26题各10分，共计66分）
19．计算：
(1)；
(2)．
20．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)画出与关于轴对称的；
(2)以原点为位似中心，在第三象限内画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标．
21．如图，在某建筑物上挂着宣传条幅（即），小刚站在点处，看条幅顶端，测得仰角为，再往条幅方向前行30米到达点处，看到条幅顶端，测得仰角为．
(1)求宣传条幅的长（小刚的身高不计，结果保留根号）；
(2)若小刚从点到点用了60秒钟，按照这个速度，小刚从点到点所用的时间为多少秒？
22．如图，一名男生推铅球（铅球行进路线呈抛物线形状），测得铅球出手点距地面，铅球行进路线距出手点水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是铅球行进路线的水平距离，是铅球行进路线距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求铅球推出的距离是多少米．
23．问题背景：（）如图，和都是等边三角形，点在上，连接，请直接写出的度数是_______；
拓展迁移：（）如图，和都是等腰直角三角形（即），点在上，若，求的面积．
24．某汽车油箱的容积为，小王把油箱加满油后驾驶汽车从县城到外的省城接客人，接到客人后立即按原路返回.请回答下列问题：
(1)油箱加满油后，汽车行驶的总路程（单位：）与平均耗油量（单位：）有怎样的函数关系（列出函数表达式）？
(2)小王以平均每千米耗油的速度驾驶汽车到达省城，返程时由于下雨，小王降低了车速，此时平均每千米的耗油量增加了一倍，如果小王始终以此速度行驶，不需加油能否回到县城？如果不能，至少还需加多少油？
25．内接于，点为上一点，连接和，于点．

(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作的垂线，垂足为点，交于点，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，点为上一点，连接、和，与相交于点，延长到点，使，过点作的垂线，垂足为点，延长交于点，，在的延长线上取一点，连接，使，若，，求的长．
26．已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于点和点，与轴交于点，若和．
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点在对称轴左侧第二象限的抛物线上，过点作轴的垂线，垂足为点，过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，当四边形周长最大时，求点的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，点是中点，点在上（不与点和点重合），连接，点在上（不与点和点重合），连接，点在上，连接和，点在上，连接和，且，，求的值．
答案与解析
1．C
【分析】根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得到结果．
【详解】两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反，
即点（，3）关于原点对称的点的坐标为（2，），
故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称问题，熟练掌握关于原点对称的两个点坐标符号相反是解题关键．
2．D
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了心对称图形的识别，熟知中心对称图形得到定义是解题的关键．
3．A
【分析】本题考查了由三视图判断几何体和简单组合体的三视图，观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
【详解】解：从左边看去，左边是两个正方形，右边是一个正方形，即可得出答案，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查的是二次函数的平移变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象的性质逐一判断即可．
【详解】解：关于二次函数，
，开口向上，A不符合题意；
顶点坐标为，B不符合题意；
当时，y随x的增大而增大，C不符合题意；
当时，，则该函数图象与y轴的交点坐标是，D符合题意；
故选：D．
6．B
【分析】根据矩形性质，可得出点B的坐标，代入求解即可．
【详解】解：由题意得：A的横坐标为1×2＝2，C的纵坐标为2×2＝4，
∴B的坐标为（2，4），
∵B在反比例函数图象上，
∴ 4＝，
∴k＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了矩形的性质和反比例函数的综合应用，熟练掌握矩形性质和数形结合思想的应用是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故不符合题意；
、由可知，它的图象在第一、三象限，故不符合题意；
、当时，随的增大而减小，选项说法错误，符合题意；
、当时，随的增大而减小，故不符合题意；
故选：．
8．C
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，过点C作交延长线于点F，过点E作，交于点H，根据，得到，进而得到，即，根据，易得，即可得出结果．
【详解】解：如图，过点C作交延长线于点F，过点E作，交于点H，
，
，
，即，
，
，
中边上的高和中边上的高之比为，
，
故选：C．
9．C
【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【详解】解：A． ，则，正确，故本选项不符合题意；
B．，则，正确，故本选项不符合题意；
C．，则，错误，故本选项符合题意；
D．，则，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
10．C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图象和系数的关系．分别判断的符号，即可判断①；根据函数对称轴可得，即可判断②；把代入即可判断③；根据该二次函数的最大值，即可判断④；
【详解】解：①由图可知：∵图象开口向下，对称轴在轴右侧，图象与轴相交于正半轴，
∴，，，
∴，故①正确；
②，
，
，故②正确；
③∵该函数图象经过点，对称轴为直线，
∴该函数与轴另一个交点坐标为，
∴当时，，故③正确；
④∵对称轴为直线，函数开口向下，
∴当时，有最大值，
把代入得：，
把代入得：，
∵为任意实数，
∴，则，故④不正确；
综上：正确的有①②③．
故选：C．
11．3
【分析】根据弧长公式代入求解即可.
【详解】解：由弧长公式可知，
.
故扇形的半径为3.
故答案为3.
【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：.
12．
【分析】利用列表法确定所有可能的情况，确定两枚骰子点数之和为10的情况的数量，根据概率公式计算得出答案．
【详解】解：列表：
共有36种等可能的结果，两枚骰子点数之和为10的情况有3种，
∴P（两枚骰子点数之和为10）==，
故答案为：．
【点睛】此题考查利用列举法求事件的概率，正确列出所有等可能的情况，熟记概率的计算公式是解题的关键．
13．36
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比即可得出结论．
【详解】解：设这栋楼的高度为hm，
∵在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一栋楼的影长为60m，
∴＝，
解得h＝36m．
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
14．20
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练应用配方法是解题关键．利用矩形的周长表示出两边长，进而用矩形的面积公式写出得出与之间的函数关系式，再根据函数的性质求最大值时的值．
【详解】解：由题意，得：
，
，
当时，有最大值，最大值为400，
当是时，场地的面积最大．
故答案为：20
15．
【分析】本题考查的正多边形和圆．证明是等边三角形，求出，求得一个等边三角形的面积即可求得正六边形的面积．
【详解】解：由题意可得：，米，
∴是等边三角形，
∴米，
∵，
∴米，
∴（米），
正六边形的面积为（平方米）．
故答案为：．
16．##度
【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，四边形内角和定理，连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，则由四边形内角和为360度即可求出答案．
【详解】解；如图所示，连接，
∵，是的切线，，为切点，
∴，
∵是的直径，，
∴ ，
∴，
故答案为：．
17．或
【分析】本题考查平行四边形性质和旋转的性质，注意旋转的方向未确定，所以要分两种情况讨论，再结合平面坐标系中点的确定，可连接建立直角三角形，即可解题．
【详解】解：四边形平行四边形，
，，
，，
，
，
的横坐标为，纵坐标为，则，
连接，作轴于点，则，，如图所示：
平行四边形绕点旋转，可看作绕点旋转，
则可旋转到和的位置处，由旋转性质可知，，，故，，，故，
故答案为：或．
18．
【分析】此题考查了菱形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的性质和勾股定理及其应用．
【详解】如图，过作交延长线于点，过作交延长线于点，
易证，
∴，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了含特殊角三角函数值的混合运算，
（1）先将特殊角三角函数值代入，然后先算乘方，再算乘法，最后算加减；
（2）先将特殊角三角函数值代入，利用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：原式，
，
；
（2）解：原式，
，
．
20．(1)作图见解析；
(2)作图见解析，点的坐标为．
【分析】（）根据关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接即可；
（）把、、的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接即可；
本题主要考查了位似变换、轴对称变换，解题的关键是注意位似中心及相似比、对称轴．
【详解】（1）如图，，，关于轴对称的点的坐标得到的坐标，，，然后描点，连接
∴即为所求；
（2），，的坐标都乘以得到的坐标，，，然后描点，连接，
∴即为所求，．
21．(1)宣传条幅的长米；
(2)小刚从点到点所用的时间为90秒．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
（1）根据题意得到，解直角三角形即可求得长；
（2）根据（1）的结果，在中，根据，求出，然后根据速度、时间、路程的关系即可求得．
【详解】（1）解：根据题意可得：，，
，
，
在中，
，
，
答：宣传条幅的长米；
（2）解：在中，
，
，
小刚的速度为（米/秒），
则小刚从点到点所用的时间为（秒），
答：小刚从点到点所用的时间为90秒．
22．(1)或；
(2)铅球推出的距离是10米．
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）根据题意得到抛物线顶点，则抛物线的表达式为，用待定系数法将点代入可得抛物线的表达式；
（2）直接求抛物线与x轴交点即可．
【详解】（1）解：根据题意可知：抛物线的顶点，
则抛物线的表达式为，
将代入抛物线的表达式中，
，
解得，
抛物线的表达式为或；
（2）解：抛物线的表达式为，
令，则，
解得或（不符合题意，舍去），
铅球推出的距离是10米．
23．（1）；（2）．
【分析】（）证明，得到，即可求解；
（）连接，先证明，得到，，进而得到，由勾股定理得，结合可得到，又由勾股定理得到，即可求解；
本题考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形全等的性质和判定，勾股定理，作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键．
【详解】（）∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）解：如图，连接，
和都是等腰直角三角形，
，，，，
，
即，
，
，，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
．
24．(1)；
(2)不加油不能回到县城，油．
【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
（1）利用公式：路程＝，即可得出汽车能够行驶的总路程s（单位：）与平均耗油量b（单位：）之间的函数关系式；
（2）分别得出往返需要的油量进而得出答案．
【详解】（1）解：汽车能够行驶的总路程s（单位：）与平均耗油量b（单位：）之间的函数关系为：，即.
（2）结论：不加油不能回到县城，原因如下：
去省城需用油，从省城返回需用油，全程共用油
，
不加油不能回到县城，至少还需加油
答：至少还需加油．
25．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)10．
【分析】（1）连接，设，则，由圆周角定理得，由等腰三角形的性质求出即可求解；
（2）连接，由“8”字三角形得，根据证明，可得，，然后证明即可求解；
（3）过点作的平行线交于点，根据证明得，可证．过点分别作和的垂线，垂足分别为点和点，由圆的性质证明，根据证明得，根据证明得，．设，根据求出a，证明得，从而，设，则， 在中利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图1，连接．
于点，
，
设，则，
，
∴，
，
，
；
（2）如图2，连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
（3）如图3，过点作的平行线交于点．
，
，
，
，，
，
，
，
，
过点分别作和的垂线，垂足分别为点和点．
四边形内接于，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
设，，，
∴
解得，
，，
，
，
设，则，
在中
∵，
∴，
∴，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，角平分线的性质，勾股定理，难度较大，属中考压轴题．
26．(1)
(2)
(3)1
【分析】（1）利用待定系数解答，即可求解；
（2）设，根据题意先证得四边形为矩形，再由，可得；由二次函数对称性可得： ，，再根据，列出函数关系式，即可求解；
（3）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，延长到点使，连接、和，证明，可得，，可证明，，，从而得到，再证明，可得，从而证得， 可得，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点和，
，解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设，
根据题意得：，
四边形为矩形，
，
，即；
由二次函数对称性可得：，
，，
∴
，
抛物线有最高点，
当时，四边形周长有最大值，
；
（3）解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，延长到点使，连接、和，
，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，利用数形结合思想解答是解题的关键．
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12