2023-2024学年贵州省遵义市红花岗区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年贵州省遵义市红花岗区九年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．⊥B．≌C．≥D．≠
2．下列各数中比﹣3大的数是（ ）
A．0B．﹣5C．﹣7D．﹣9
3．小红通过学习中国现代史了解到遵义会议是中国共产党成立以来，第一次独立自主地运用马列主义基本原理解决自己的路线、方针和政策问题的会议．她将路线、方针、政策六个字分别填写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“路”字相对面上的字是（ ）
A．方B．针C．政D．策
5．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．130°
6．小星查询了遵义十大旅游景点本周的旅游人数，并想绘制统计图以便清楚地表示出每个景点游客人数的具体数目，则最适宜采用的是（ ）
A．扇形统计图B．条形统计图
C．折线统计图D．频数分布直方图
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，连接BD，若∠CBD＝28°，则∠A的度数为（ ）
A．62°B．30°C．28°D．14°
8．根据下列表格中的部分信息，分式M可能是（ ）
A．B．C．D．
9．在▱ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接DF，则△CDF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
10．已知x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+m2＝4的根，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2或3C．2或﹣3D．﹣3
11．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．则这根芦苇长为（ ）
A．12尺B．13尺C．6尺D．7尺
12．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（ ）
A．mB．2mC．2mD．2m
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）计算a2•a3的结果是 ．
14．（4分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，如图①，当∠B＝90°时，测得A，C两点间的距离为；推动四边形如图②，当∠B＝60°时，A，C两点间的距离为 ．
15．（4分）已知x+y＝4，，则代数式的值是 ．
16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，，点E，F分别是边AD和BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为点G，连接CG，则CG的最小值为 ．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：；
（2）代数式的值与代数式的值相等，求x的值．
18．如图，在正方形ABCD中，连接BD，以点B为圆心，BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交CD于点G．
（1）写出图中一对全等三角形 ．
（2）求∠BED的度数．
19．“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校举行了古诗词知识竞赛，了解七年级学生对“古诗词”的掌握情况．现从七年级随机抽取50名学生进行古诗词竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制，单位：分）进行统计．部分信息如下：
【数据整理】50名学生成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
【数据分析】50名学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
其中成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，79，79．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，50名学生的成绩在80分以上（含80分）的有 人；
（2）成绩在70≤x＜80这一组的11位学生得分的中位数是 分，表中m的值为 ；
（3）随机抽取的50名学生中，小星竞赛得分为76分，小红说：本次竞赛小星属于中等偏上水平，你是否同意小红的说法？说明理由．
20．如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（3，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）在x轴上有一点P，使得PB+PC的和最小，画出点P的位置．（用实线保留画图的痕迹）
21．如图，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（1，m），且直线l1经过点B（﹣1，1）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）写出方程组的解为 ；
（3）当kx+b＞﹣x+3时，写出自变量x的取值范围．
22．某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标准：
（1）若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为 元；
（2）若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人数．
23．（12分）已知⊙O的半径为1，点A，P，B，C在⊙O上，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）如图①，判断△ABC的形状为 ；
（2）如图②，当PC为⊙O的直径时，求图中阴影部分的面积；
（3）如图③，当点P为上任意一点时，探究线段PC，PA，PB三者之间的关系，并证明．
24．（12分）已知抛物线C1表示的二次函数y＝ax2+2ax+4的最大值是5．
（1）抛物线C1的对称轴是 ，a的值是 ；
（2）当0≤x≤t时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若m﹣n＝6，求t的值；
（3）如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线C2，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线l：y＝﹣2x﹣4交于点Q，与抛物线C1和抛物线C2分别交于点M，N，当PM＝QN时，直接写出点P的坐标．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
【教材呈现】（1）如图①，将△ABC绕点B旋转180°得到△A′BC′，则线段CC'的长为 ；
【问题解决】（2）如图②，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC′∥A′B时，求证：CD＝AB；
【拓展延伸】（3）如图③，连接AA′，延长CC′交AA′于点F，点E为AC边的中点，连接EF．在△ABC旋转过程中，EF是否存在最大值？若存在，求出EF的最大值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年贵州省遵义市红花岗区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确）
1．下列四个数学符号中，是轴对称图形的是（ ）
A．⊥B．≌C．≥D．≠
【分析】利用轴对称图形的概念可得答案．
解：四个数学符号中，是轴对称图形的是：⊥，
故选：A．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
2．下列各数中比﹣3大的数是（ ）
A．0B．﹣5C．﹣7D．﹣9
【分析】先计算|﹣3|＝3，|﹣5|＝5，|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，则﹣9＜﹣7＜﹣5＜﹣3，再利用负数小于0即可得到答案．
解：∵|﹣3|＝3，|﹣5|＝5，|﹣7|＝7，|﹣9|＝9，
∴﹣9＜﹣7＜﹣5＜﹣3＜0．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数反而越小．
3．小红通过学习中国现代史了解到遵义会议是中国共产党成立以来，第一次独立自主地运用马列主义基本原理解决自己的路线、方针和政策问题的会议．她将路线、方针、政策六个字分别填写在正方体的展开图上，折叠成正方体后，与“路”字相对面上的字是（ ）
A．方B．针C．政D．策
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“相间、Z端是对面”，即可解答．
解：由题意得，与“路”字相对的面上的字是“方”，
故选：A．
【点评】本题考查正方体相对两个面上的文字，相反数，掌握正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”以及相反数的定义是正确解答的前提．
5．如图，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角，∠ACD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．130°
【分析】根据三角形内角和定理可求∠ACB的度数，根据平角的定义可求∠ACD的度数，可得三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，即∠ACD＝∠A+∠B．
解：∵△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°，
∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质的应用，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．小星查询了遵义十大旅游景点本周的旅游人数，并想绘制统计图以便清楚地表示出每个景点游客人数的具体数目，则最适宜采用的是（ ）
A．扇形统计图B．条形统计图
C．折线统计图D．频数分布直方图
【分析】根据各种统计图的特点，即可解答．
解：小星查询了遵义十大旅游景点本周的旅游人数，并想绘制统计图以便清楚地表示出每个景点游客人数的具体数目，则最适宜采用的是条形统计图，
故选：B．
【点评】本题考查了统计图的选择，熟练掌握各种统计图的特点是解题的关键．
7．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，连接BD，若∠CBD＝28°，则∠A的度数为（ ）
A．62°B．30°C．28°D．14°
【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论．
解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠ABC＝∠ADB＝90°，
∵∠CBD＝28°，
∴∠ABD＝90°﹣28°＝62°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣62°＝28°，
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
8．根据下列表格中的部分信息，分式M可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据分式有意义的条件及分式的值为0的条件解答即可．
解：由表可知，当x＝﹣2时分式无意义，
∴A、D不合题意；
∵当x＝1时，分式的值为0，
∴B不符合题意，C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
9．在▱ABCD中，AB＝4，AD＝6，连接对角线BD，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分别交AD，BC于点E，F，连接DF，则△CDF的周长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，由尺规作图可知，直线MN为线段BD的垂直平分线，则DF＝BF，则△CDF的周长可转化为CD+BC，即可得出答案．
解：由尺规作图可知，直线MN为线段BD的垂直平分线，
∴DF＝BF，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，
∴△CDF的周长为CD+CF+DF＝CD+CF+BF＝CD+BC＝10．
故选：D．
【点评】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．
10．已知x＝1是关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+m2＝4的根，则m的值为（ ）
A．2B．﹣2或3C．2或﹣3D．﹣3
【分析】首先把x＝1代入（m﹣2）x2+m2＝4解方程可得m的值，再结合一元二次方程定义可得m的值．
解：把x＝1代入（m﹣2）x2+m2＝4，
得（m﹣2）×1+m2＝4，
整理，得m2+m﹣6＝0，
解得：m1＝2，m2＝﹣3，
∵（m﹣2）x2+m2＝4是一元二次方程，
∴m﹣2≠0，
∴m≠2，
∴m＝﹣3，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意方程二次项的系数不等于0．
11．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．则这根芦苇长为（ ）
A．12尺B．13尺C．6尺D．7尺
【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+1）尺，根据勾股定理列出方程即可解答．
解：设水池的深度为x尺，由题意得：
x2+52＝（x+1）2，
解得：x＝12，
x+1＝13（尺）
答：芦苇长13尺．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是构造直角三角形，根据勾股定理列方程．
12．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，若水面上升1m，则水面宽为（ ）
A．mB．2mC．2mD．2m
【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
解：如图：
建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），
到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
∵若水面上升1m
∴y＝1
∴1＝﹣0.5x2+2
∴x＝
∴水面宽为2m
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
二、填空题（每小题4分，共16分）
13．（4分）计算a2•a3的结果是 a5 ．
【分析】根据同底数幂的乘法解决此题．
解：a2•a3＝a5．
故答案为：a5．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法是解决本题的关键．
14．（4分）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，如图①，当∠B＝90°时，测得A，C两点间的距离为；推动四边形如图②，当∠B＝60°时，A，C两点间的距离为 1 ．
【分析】由当∠B＝90°时，A，C两点间的距离为求出AB＝BC＝1，推动四边形∠B＝60°时，△ABC是等边三角形，即可得AC＝AB＝BC＝1．
解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AC＝，
∴AB＝BC＝＝1；
当推动四边形，∠B＝60°时，如图：
∵AB＝BC＝1，∠B＝60°，
∴此时△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝BC＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查正方形性质，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出正方形的边长．
15．（4分）已知x+y＝4，，则代数式的值是 6 ．
【分析】利用因式分解法把原式变形为（x+y）（x﹣y）+2，然后利用整体代入的方法计算．
解：∵x+y＝4，x﹣y＝，
∴x2﹣y2+2＝（x+y）（x﹣y）+2＝4+2＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．
16．（4分）在矩形ABCD中，AB＝2，，点E，F分别是边AD和BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，过点B作BG⊥EF，垂足为点G，连接CG，则CG的最小值为 ﹣1 ．
【分析】连接BD，取OC中点M，连接 MC，MG，过点M作MH⊥BC于H，则MC，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
解：连接BD，交EF于O，
∵AD∥BC，AD＝BC，
∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO，
∵AE＝CF，
∴ED＝BF，
∴△DEO≌△BFO（ASA），
∴OD＝OB，
∴O是矩形形的中心，
∵AB＝2，AD＝，
∴BD＝＝4，
∴OB＝2，
取OB中点M，连接 MC，MG，过点M作MH⊥BC于H，则MH∥CD，
∵MB＝BD，
∴，
∴BH＝BC＝，MH＝CD＝，
∴CH＝2﹣＝，
由勾股定理可得MC＝＝，
在Rt△GOB中，M是OB的中点，则MG＝＝1，
∵CG≥CM﹣MG＝﹣1，
当C，M，G三点共线时，CG最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质，三角形三边关系，当C，M，G三点共线时，CG最小是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共9题，共98分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）（1）计算：；
（2）代数式的值与代数式的值相等，求x的值．
【分析】（1）根据零指数幂、绝对值的意义计算即可．
（2）由题意可列分式方程为，将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可．
解：（1）
＝1+﹣1
＝．
（2）由题意得，，
去分母得：2（x﹣1）＝3（x﹣3），
去括号得：2x﹣2＝3x﹣9，
移项得：2x﹣3x＝﹣9+2，
合并同类项得：﹣x＝﹣7，
系数化1得：x＝7．
检验：当x＝7时，（x﹣3）（x﹣1）＝24≠0，
∴原分式方程的解为x＝7，
∴x的值为7．
【点评】本题考查解分式方程、实数的运算，熟练掌握分式方程的解法、实数的运算法则是解答本题的关键．
18．如图，在正方形ABCD中，连接BD，以点B为圆心，BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，连接DE，过点B作BF⊥DE，垂足为点F，交CD于点G．
（1）写出图中一对全等三角形 Rt△EBF≌Rt△DBF ．
（2）求∠BED的度数．
【分析】（1）根据已知写出一对全等三角形即可；
（2）由四边形ABCD是正方形，可得∠DBE＝45°，而BD＝BE，故∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°．
解：（1）由BD＝BE，BF＝BF可得Rt△EBF≌Rt△DBF（HL），
故答案为：Rt△EBF≌Rt△DBF（答案不唯一）；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBE＝45°，
∵BD＝BE，
∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°；
∴∠BED的度数为67.5°．
【点评】本题考查正方形性质和全等三角形的判定，解题的关键是掌握我当时就想判定定理．
19．“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”，某校举行了古诗词知识竞赛，了解七年级学生对“古诗词”的掌握情况．现从七年级随机抽取50名学生进行古诗词竞赛，并将他们的竞赛成绩（百分制，单位：分）进行统计．部分信息如下：
【数据整理】50名学生成绩的频数分布直方图如图所示：（数据分成五组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
【数据分析】50名学生成绩的平均数、中位数、众数如下：
其中成绩在70≤x＜80这一组的具体得分是：70，71，73，75，76，76，76，77，77，79，79．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在这次测试中，50名学生的成绩在80分以上（含80分）的有 23 人；
（2）成绩在70≤x＜80这一组的11位学生得分的中位数是 76 分，表中m的值为 78 ；
（3）随机抽取的50名学生中，小星竞赛得分为76分，小红说：本次竞赛小星属于中等偏上水平，你是否同意小红的说法？说明理由．
【分析】（1）将频数分布直方图中80≤x＜90和90≤x≤100这两组的人数相加即可得出答案．
（2）根据中位数的定义可得答案．
（3）根据中位数的意义判断即可．
解：（1）由频数分布直方图可知，在这次测试中，50名学生的成绩在80分以上（含80分）的有15+8＝23（人）．
故答案为：23．
（2）将成绩在70≤x＜80这一组的得分按照从小到大排列，则排在第6位的为76分，
∴成绩在70≤x＜80这一组的11位学生得分的中位数是76分．
∵50名学生成绩的中位数是第25，26个数据的平均数，而第25，26个数据分别为77，79，
∴m＝＝78．
故答案为：76；78．
（3）不同意小红的说法．
理由：∵50名学生成绩的中位数为78分，76分＜78分，
∴本次竞赛小星属于中等偏下水平．
【点评】本题考查频数（率）分布直方图、中位数，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．如图，已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为（3，4）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；
（2）在x轴上有一点P，使得PB+PC的和最小，画出点P的位置．（用实线保留画图的痕迹）
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，交x轴于点P，则点P即为所求．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
C1的坐标为（﹣3，2）．
（2）如图，取点B关于x轴的对称点B'，连接B'C，交x轴于点P，连接BP，
此时PB+PC＝PB'+PC＝CB'，为最小值，
则点P即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、轴对称﹣最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
21．如图，直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（1，m），且直线l1经过点B（﹣1，1）．
（1）求直线l1的函数表达式；
（2）写出方程组的解为 ；
（3）当kx+b＞﹣x+3时，写出自变量x的取值范围．
【分析】（1）由直线l2：y＝﹣x+3求得点A（1，2），然后利用待定系数法即可求得直线l1的函数表达式；
（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解；
（3）根据交点坐标，结合图象确定解集即可．
解：（1）∵直线l2：y＝﹣x+3过点A（1，m），
∴m＝﹣1+3＝2，
∴A（1，2），
把A（1，2），B（﹣1，1）代入y＝kx+b得，，
解得，
∴直线l1的函数表达式为y＝；
（2）∵直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（1，2），
∴方程组的解为．
故答案为：．
（3）直线l1：y＝kx+b（k≠0）与直线l2：y＝﹣x+3交于点A（1，2），
观察图象，当kx+b＞﹣x+3时，自变量x的取值范围是x＞1．
【点评】本题考查了一次函数的交点，一次函数的解析式，结合图象求方程组的解、求不等式的解集，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键．
22．某旅行社为吸引市民组团去遵义某景区旅游，推出了如图收费标准：
（1）若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为 13750 元；
（2）若乙单位组织员工参加本次旅游，共支付旅行社费用15000元，求出乙单位参加本次旅游的员工人数．
【分析】（1）利用总费用＝人均旅游费×参加本次旅游的人数，即可求出结论；
（2）设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，求出人数为20人时所需总费用及人均旅游费为420元时的人数，由12000元＜15000元及人均旅游费为420元时的人数不为整数，可得出x＞20且人均费用不能为420元，利用总费用＝人均旅游费×参加本次旅游的人数，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
解：（1）根据题意得：[600﹣10×（25﹣20）]×25
＝（600﹣10×5）×25
＝（600﹣50）×25
＝550×25
＝13750（元），
∴若甲单位组织25名员工参加本次旅游，应支付该旅行社费用为13750元．
故答案为：13750；
（2）设乙单位参加本次旅游的员工人数为x人，
∵600×20＝12000（元），12000＜15000，15000÷420＝35（人）……300（元），
∴x＞20且人均费用不能为420元．
根据题意得：[600﹣10（x﹣20）]x＝15000，
整理得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50，
当x＝30时，600﹣10（x﹣20）＝600﹣10×（30﹣20）＝500＞420，符合题意；
当x＝50时，600﹣10（x﹣20）＝600﹣10×（50﹣20）＝300＜420，不符合题意，舍去．
答：乙单位参加本次旅游的员工人数为30人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．（12分）已知⊙O的半径为1，点A，P，B，C在⊙O上，∠APC＝∠CPB＝60°．
（1）如图①，判断△ABC的形状为 等边三角形 ；
（2）如图②，当PC为⊙O的直径时，求图中阴影部分的面积；
（3）如图③，当点P为上任意一点时，探究线段PC，PA，PB三者之间的关系，并证明．
【分析】（1）根据圆周角定理、等边三角形的判定定理证明；
（2）连接AO，证明△AOP为等边三角形，由扇形的面积公式可得出答案；
（3）在PC上截取PD＝PA，连接AD，证明△PAB≌△DAC，根据全等三角形的性质得到PB＝DC，结合图形证明结论．
解：（1）由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）连接AO，
∵∠APC＝60°，AO＝OP，
∴△AOP为等边三角形，AP＝1，
∴AC＝，∠AOP＝60°，
∴＝，＝，
∴阴影部分的面积＝S扇形POA﹣S△AOP＝；
（3）PA+PB＝PC，理由如下：
如图，在PC上截取PD＝PA，连接AD．
∵∠APC＝60°．
∴△PAD是等边三角形．
∴PA＝AD，∠PAD＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠PAB＝∠DAC，
在△PAB和△DAC中，
，
∴△PAB≌△DAC（SAS），
∴PB＝DC，
∵PD+DC＝PC，
∴PA+PB＝PC．
【点评】本题考查的是圆周角定理、扇形的面积公式、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定，掌握圆周角定理、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
24．（12分）已知抛物线C1表示的二次函数y＝ax2+2ax+4的最大值是5．
（1）抛物线C1的对称轴是 直线x＝﹣1 ，a的值是 ﹣1 ；
（2）当0≤x≤t时，二次函数的最大值是m，最小值是n，若m﹣n＝6，求t的值；
（3）如图，将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新抛物线C2，在x轴上存在点P，过点P作x轴的垂线，与直线l：y＝﹣2x﹣4交于点Q，与抛物线C1和抛物线C2分别交于点M，N，当PM＝QN时，直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，即可求解；
（2）当0≤x≤t时，则x＝0，y＝4＝m，x＝t，y＝﹣t2﹣2t+4＝n，进而求解；
（3）求出PM＝|﹣m2﹣2m+4﹣0|＝|m2+2m﹣4|，NQ＝|﹣2m﹣4+m2﹣2m﹣2|，即可求解．
解：（1）抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax+4＝a﹣2a+4＝5，
解得：a＝﹣1，
故答案为：直线x＝﹣1，﹣1；
（2）由（1）知，抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+4，
当0≤x≤t时，则x＝0，y＝4＝m，x＝t，y＝﹣t2﹣2t+4＝n，
则m﹣n＝4﹣（﹣t2﹣2t+4）＝6，
解得：t＝﹣1+（负值已舍去）；
（3）y＝﹣x2﹣2x+4＝﹣（x+1）2+5，
则C2：y＝﹣（x+1﹣2）2+5﹣2＝﹣（x﹣1）2+3＝﹣x2+2x+2，
设点P（m，0），则点Q（m，﹣2m﹣4），则点M（m，﹣m2﹣2m+4）、N（m，﹣m2+2m+2），
则PM＝|﹣m2﹣2m+4﹣0|＝|m2+2m﹣4|，
则NQ＝|﹣2m﹣4+m2﹣2m﹣2|＝|m2﹣4m﹣6|＝PM＝|m2+2m﹣4|，
解得：m＝﹣或，
即点P的坐标为：（﹣，0）或（，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到绝对值的运用、二次函数的图象和性质，有一定的综合性，难度适中．
25．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．
【教材呈现】（1）如图①，将△ABC绕点B旋转180°得到△A′BC′，则线段CC'的长为 12 ；
【问题解决】（2）如图②，在△ABC旋转过程中，连接CC′，交AB于点D，当CC′∥A′B时，求证：CD＝AB；
【拓展延伸】（3）如图③，连接AA′，延长CC′交AA′于点F，点E为AC边的中点，连接EF．在△ABC旋转过程中，EF是否存在最大值？若存在，求出EF的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先利用勾股定理求出BC＝8，再利用旋转对称得到C′B＝BC＝6，进而可得CC'＝12；
（2）根据旋转的性质得出∠A′＝∠A，∠A′C′B＝∠ACB＝90°，BC＝BC′，则∠BCC′＝∠BC′C，根据平行线的性质求出∠A′+∠BC′C＝90°，则∠A+∠BCC′＝90°，结合直角三角形的性质推出∠A＝∠ACD，∠ABC＝∠BCC′，根据等腰三角形的判定从而得解；
（3）过A作AP∥A'C'交CC′的延长线于点P，连接A'C，证明△APF≌△A'C'F（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝A'F，由三角形中位线定理可得出EF＝A'C．要使EF最大，只需A'C最大，此时C，B，A'三点共线，A′C的最大值为A′B+BC＝AB+BC，进一步解答则可求出答案．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝＝＝6，
∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴C′B＝BC＝6，C′、B、C在一条直线上，
∴CC′＝BC+C′B＝12，
故答案为：12；
（2）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A′＝∠A，∠A′C′B＝∠ACB＝90°，BC＝BC′，
∴∠BCC′＝∠BC′C，
∵CC′∥A′B，
∴∠A′+∠A′C′C＝∠A′+∠BC′C+∠A′C′B＝180°，
∴∠A′+∠BC′C＝90°，
∴∠A+∠BC′C＝90°，
∴∠A+∠BCC′＝90°，
∵∠ACB＝∠BCC′+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠ABC＝∠BCC′，
∴CD＝BD，
∵BD+AD＝AB，
∴CD＝AB；
（3）解：EF的最大值为8，理由如下：
过A作AP∥A'C'交CC′的延长线于点P，连接A'C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC＝BC'，∠ACB＝∠A'C'B＝90°，AC＝A'C'，
∴∠BCC'＝∠BC'C，∠BC′C+∠A′C′P＝90°，
∴∠BCC′+∠A′C′P＝90°，
∵∠ACB＝∠BCC′+∠ACP＝90°，
∴∠ACP＝∠A′C′P，
∵AP∥A'C'，
∴∠APC＝∠A′C′P，
∴∠APC＝∠ACP，
∴AP＝AC，
∴AP＝A'C'，
在△APF和△A'C'F中，
，
∴△APF≌△A'C'F（AAS），
∴AF＝A'F，
即F是AA'中点，
∵点E为AC的中点，
∴EF是△AA'C的中位线，
∴EF＝A'C．
当A'C的值最大时，EF的值最大，
∵A'C≤BC+BA'＝6+10＝16，
∴当C，B，A'三点共线时，EF存在最大值．
∴EF＝8，
即EF的最大值为8．
【点评】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及旋转的性质、勾股定理、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．x
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