2023-2024学年浙江省杭州市建兰中学九年级上学期12月月考数学试题(含解析)

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数学试题卷
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，，那么下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在一个不透明的口袋中装有4个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在附近，则口袋中红球可能有（ ）
A．8个B．12个C．16个D．20个
5．将抛物线向右平移个单位,再向下平移个单位后,得到的抛物线解析式为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图,转盘的红,黄,蓝,紫四个扇形区域的圆心角分别记为．自由转动转盘,则下面说法错误的是（ ）

A．若,则指针落在红色区域的概率大于
B．若,则指针落在红色区域的概率大于落在黄色区域的概率
C．若,则指针落在红色或蓝色区域的概率和为
D．若,则指针落在红色或黄色区域的概率和小于
7．如图，已知是的直径，半径，点在劣弧上（不与点，点重合），与交于点，设，则（ ）
A．B．
C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．与自变量的部分对应值如下，已知有且仅有一组值错误（其中均为常数）．
甲同学发现当时，是方程的一个根；乙同学发现当时，则．下列说法正确的是（ ）
A．甲对乙错B．甲错乙对C．甲乙都错D．甲乙都对
10．我国伟大的数学家刘徽于公元263年攥《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值（如图1）．刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法．如图2，六边形是圆内接正六边形，把每段弧二等分，可以作出一个圆内接正十二边形，点为的中点，连结交于点，若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．顶点在函数的图象上，请写出一个满足条件的二次函数表达式 ．
12．一个可以自由转动的两色转盘，其中白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，若让转盘自由转动一次，则指针落在红色区域的概率是 ．
13．在半径为5cm的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm和8cm，则这两条弦之间的距离为 ．
14．球从地面竖直向上弹起时的速度为10米秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球从弹起后又回到地面所经过的总路程是 ．
15．如图，小杨将一个三角板放在⊙O上，使三角板的一直角边经过圆心O，测得AC＝5cm，AB＝3cm，则⊙O的半径长为 ．
16．如图是一张矩形纸片，在上任意取一点，将沿折叠，若点恰好落在对角线上的点处， ．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设二次函数（是实数）．甲求得当时，；当时，；乙求得当时，．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
18．一个不透明的袋中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外，没有任何其他区别．有如下两个活动：
活动1：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后从袋中剩余的球中再随机摸出一个球，摸出的两个球都是红球的概率记为；
活动2：从袋中随机摸出一个球，记录下颜色，然后把这个球放回袋中并摇匀，重新从袋中随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率记为．
请你猜想，的大小关系，并用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果，验证你的猜想．
19．已知：如图，作ABC的外接圆，在AB上方作弦AD使AD＝BC连接CD，并求证：CDAB（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写做法）
20．如图，以的一边为直径作交于点，，与边的交点恰好为的中点，连结．
(1)求证：．
(2)若，求弧的长．
21．现有一块直角三角形木板，它的两条直角边分别为3米和4米．计划对它进行加工，要剪裁出一个正方形且四个顶点都在三角形的边上，请你利用学过的知识，画图设计出符合要求的所有方案，并求出各方案中剪裁出的正方形边长．
22．已知二次函数，其中．
(1)若该二次函数图象开口向下，当时，二次函数图象的最高点为，最低点为，点的纵坐标为5，求点和点的坐标；
(2)在二次函数图象上任取两点，当时，总有，求的取值范围．
23．某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：）以、飞行高度（单位：）随飞行时间（单位：）变化的数据如下表．
探究发现：与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决：如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．

（1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域．若飞机落到内（不包括端点），求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
24．如图，的半径为1，直径的夹角，点是弧上一点，连接分别交于点．
(1)若，求证：．
(2)当点在弧上运动时，
①猜想：线段与有怎样的数量关系，并给出证明．
②求证：．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．是正比例函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．不是二次函数，故不符合题意；
D．是一次函数，故不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】设，则，代入各项验证即可．
【详解】解：设，则，
A、，说法正确，不符合题意；
B、，说法正确，不符合题意；
C、，，即，说法错误，符合题意；
D、，，即，说法正确，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“设参数的方法解决比例问题”是解本题的关键.
3．A
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理求解．解题关键是掌握：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
【详解】解：∵，，
∴，故A选项正确；
，故B选项错误；
的值无法确定，故C选项错误；
的值无法确定，故D选项错误；
故选A．
4．C
【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率是解题关键．由摸到白球的频率稳定在附近得出口袋中得到白色球的概率，进而求出红球个数即可．
【详解】解：设袋中红球的个数为x，
根据题意，得：
，
解得，
经检验是分式方程的解，
口袋中红球可能有16个，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查二次函数图像及性质-平移问题．熟背“左加右减,上加下减”即可选出本题答案．
【详解】解:∵二次函数向右平移个单位,再向下平移个单位,
∴平移后的解析式为,即,
故选:D．
6．C
【分析】本题考查概率公式,熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解:∵,
∴,
∴A选项正确;
∵,
∴,
∴B选项正确;
∵,
∴,
∴,
∴C选项不正确;
∵,
∴,
∴落在红色或黄色区域的概率和小于,
∴D选项正确．
故选:C．
7．B
【分析】本题考查的是直角三角形中两锐角互余，圆周角定理的应用；本题先求解结合垂直的含义可得，再利用圆周角定理可得，结合角的和差运算可得结论；熟记圆周角定理是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴
故选B．
8．D
【分析】本题考查点的规律探究．熟练掌握旋转的性质，所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理，是解题的关键．先求出的长，进而求出B点的坐标，根据旋转的性质，得出点B的坐标规律，每6次一个循环，进而求出第2024次旋转后，点B的坐标即可．
【详解】解：如图，
在中，
，
，
，，
由勾股定理得，
，
，
，，
，
由题意，可得：，6次一个循环，
，
∴第2024次旋转后，点B的坐标为，
故选：D．
9．D
【分析】本题考查一元二次方程的解，二次函数的图象和性质，分两种情况求得函数的对称轴，根据函数的对称性和对称轴公式即可判断．
【详解】解：由二次函数与自变量x的部分对应值表可知：
当时，都是，
当时，和，符合题意，
∴由抛物线的对称性可知：函数图象的对称轴是直线，
∴点关于对称轴是对称点为，
∴是方程的一个根；
当时，和，符合题意，
∴由抛物线的对称性可知：函数图象的对称轴是y轴，
，
，
∴甲乙都对．
故选：D．
10．B
【分析】设正六边形的外接圆的圆心为O，连接，则，所以圆心O在上，由点G为的中点，得，可求得，由是等边三角形，得，则，所以，则，作交于点I，则，所以，则，于是得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图2，设正六边形的外接圆的圆心为O，连接，
，
，
∴圆心O在上，
∵点G为的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
作交于点I，则，
，
，
，
，
，
，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】此题重点考查正多边形与圆、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，写出一个顶点在原点的二次函数表达式即可．
【详解】解：∵函数的图象过原点，
∴当顶点为原点时，二次函数表达式为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查了几何概率的求法，根据概率的求法，用红色区域的圆心角度数除以即可解答．
【详解】解：∵白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，
∴若让转盘自由转动一次，则指针落在红色区域的概率是：．
故答案为：．
13．1cm或7cm
【详解】两条平行的弦可能在圆心的同旁或两旁，应分两种情况进行讨论
圆心到两条弦的距离分别为d1== 4cm，d2==3cm．
故两条弦之间的距离d=d1-d2=1cm或d=d1+d2=7cm
14．##10米
【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式，由函数性质求出小球的最大高度，从而得出结论．
【详解】解：，
，
∴当时，h有最大值，最大值是5，
∴球距离地面的最大高度是，
∴球从弹起后又回到地面所经过的总路程是
故答案为：．
15．3.4cm．
【分析】作OH⊥BC于H，如图，则CH＝BH，先利用勾股定理计算出BC＝，则CH＝，再证明Rt△COH∽Rt△CBA，然后利用相似比计算OC即可．
【详解】解：连接BC，作OH⊥BC于H，
则CH＝BH，
在Rt△ACB中，BC＝，
∴CH＝BC＝，
∵∠OCH＝∠BCA，
∴Rt△COH∽Rt△CBA，
∴，即，
解得，OC＝3.4．
故答案为：3.4cm．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
16．##
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，相似三角形的性质与判定，设交于F，由矩形的性质可得，，利用勾股定理求出，设，则，由折叠的性质可得，里面面积法求出，则，证明，得到，即，解方程即可得到答案．
【详解】解：设交于F，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
设 ，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
故答案为：．
17．不正确，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数交点式的解析式，求二次函数的函数值．灵活求解二次函数的解析式是解题的关键．
由甲正确，可求二次函数交点式的解析式为，将代入，求函数值，然后进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，是二次函数与轴的交点坐标，
∴二次函数解析式为，
将代入得，，
∵，
∴乙的结果不正确．
18．，验证过程见解析
【分析】首先根据题意分别根据列表法列出两个活动所有情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】活动1：
∵共有6种等可能的结果，摸到两个红球的有2种情况，
∴摸出的两个球都是红球的概率记为
活动2：
∵共有9种等可能的结果，摸到两个红球的有4种情况，
∴摸出的两个球都是红球的概率记为
∴
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．重点需要注意球放回与不放回的区别．
19．见解析
【分析】如图，分别作AB，AC的垂直平分线交于点O，然后以O为圆心，OA长为半径画圆，则圆O即为所求，根据线段垂直平分线的性质定理，即可证得圆O为ABC的外接圆，然后根据AD＝BC，可得∠ACD=∠BAC，从而得到CD∥AB．
【详解】解：如图，分别作AB，AC的垂直平分线交于点O，然后以O为圆心，OA长为半径画圆，则圆O即为所求，
理由：连结OC、OB，
∵作AB，AC的垂直平分线交于点O，
∴OA=OB，OA=OC，
∴以O为圆心，OA长为半径的圆过点B、点C，
即圆O为ABC的外接圆，
∵AD＝BC，
∴弧AD=弧BC，
∴∠ACD=∠BAC，
∴CD∥AB．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质定理，尺规作图，熟练掌握圆的基本性质，线段垂直平分线的性质定理，尺规作图的作法是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由，可得，由圆内接四边形，可求得，进而可证；
（2）由题意知，是的中位线，则，，，根据，求的值，然后根据弧长公式求弧长即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
由题意知，四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵点为的中点，为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴半径为，
∴，
∴弧的长为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，中位线，三角形内角和定理，弧长等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，中位线，三角形内角和定理，弧长公式是解题的关键．
21．作图见解析，正方形边长为或
【分析】由题意知，如图1，2是所有符合要求的方案；①图1中，设正方形的边长为，根据，列方程求解即可；②图2中，设正方形的边长为，根据，求得，根据，求得，根据，列方程计算求解即可．
【详解】解：由题意知，如图1，2是所有符合要求的方案；
①图1中，是直角三角形，四边形是正方形，，
∴，
设正方形的边长为，
由正方形的性质可得，，，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
∴正方形的边长为；
②图2中，是直角三角形，四边形是正方形，
，
由勾股定理得，，
∴，，
设正方形的边长为，
由正方形的性质可得，，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
解得，，
∴正方形的边长为；
综上所述，共有两种情况，正方形的边长为或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，正切，正弦，余弦．熟练掌握正方形的性质，利用三角函数表示边长的关系是解题的关键．
22．(1)，
(2)当时，；当时，
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．
（1）由题意知二次函数的对称轴为直线，当时，函数的最高点为顶点，最低点在处取到，则，代入求得，则，然后将代入，计算求解，可得点坐标；
（2）由题意知，分，，两种情况，结合图象求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数图象开口向下，
∴当时，由二次函数的图象与性质可知，函数的最高点为顶点，最低点在处取到，
∴，
将代入得，，
解得，，
∴，
当时，，
∴；
（2）解：由题意知，分，，两种情况求解；
①当时，如图1，
∵当时，总有，
∴，
解得，；
②当时，如图2，
∵当时，总有，
∴，
解得，；
综上所述，当时，；当时，．
23．探索发现：；问题解决：（1）；（2）大于且小于
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解.
【详解】探究发现：x与t是一次函数关系，y与t是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，
∴．
问题解决（1） 解：依题总，得．
解得，（舍），，
当时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）解：设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度．
，
，
，
在中，
当时，；
当时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用，利用待定系数法求函数的解析式，关键是把实际问题分析转变成数学模型．
24．(1)证明见解析
(2)①，证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）如图1，连接，由垂径定理得，，则，等边对等角求，则，进而结论得证；
（2）①如图2，连接，证明是等边三角形，则，，由，可得，证明，则，进而可证；②由①知，，，则，由圆周角定理可求，证明，则，证明，则，求和并等量代换可得．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵，为直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①解：，证明如下：
如图2，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②证明：由①知，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴即，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，三角形内角和，等边对等角，等边三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握垂径定理，三角形内角和，等边对等角，等边三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
…
0
1
2
…
…
…
飞行时间
0
2
4
6
8
…
飞行水平距离
0
10
20
30
40
…
飞行高度
0
22
40
54
64
…
红球1
红球2
白球
红球1
（红1，红2）
（红1，白）
红球2
（红2，红1）
（红2，白）
白球
（白，红1）
（白，红2）
红球1
红球2
白球
红球1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，白）
红球2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，白）
白球
（白，红1）
（白，红2）
（白，白）