2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区育英外国语中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）

这是一份2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区育英外国语中学九年级（上）月考数学试卷（12月份），共31页。

A．＝B．＝
C．＝D．＝
2．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（ ）
A．200mB．500mC．500mD．1000m
4．已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③④
5．一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2
D．平均数是3，众数是2
6．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．②③④
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填
7．黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
8．若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 ．
9．已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为 ．
10．某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评、和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以3：2：5的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评、和讲演成绩分别为90分、80分和94分，则这名同学的最终成绩为 分．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如果在AB上任取一点M，那么AM≤AC的概率是 ．
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝ cm．
13．已知a≠b，且a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，那么＝ ．
14．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ．
15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 ．
16．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．若OG•DE＝3（2﹣），则⊙O的面积为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．（8分）计算：
（1）；
（2）sin45°﹣cs30°tan60°．
18．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
19．（5分）如图，AD是△ABC的高，，，AC＝10，求△ABC的周长．
20．张明、李成两位同学初二学年10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如图所示：
利用图中提供的信息，解答下列问题．
（1）完成下表：
（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是 ；
（3）根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．
21．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x＝3时，y＝ ；
（2）当x＝ 时，y有最 值为 ；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1 y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是 ．
22．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（2，0）和点C．
（1）若点C坐标为（1，3），
①求这个二次函数的表达式；
②当﹣1≤x≤2时，直接写出y的取值范围．
（2）若点C坐标为（1，m）且该函数的图象开口向上，直接写出m的取值范围．
23．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
24．（7分）小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关S1、S2、S3、S4、S5和一个小灯泡，当开关S1闭合时，再同时闭合开关S2、S3或S4、S5都可以使小灯泡发亮．
（1）当开关S1、S2已经闭合时，再任意闭合开关S3、S4、S5中的一个，小灯泡能亮起来的概率是 ；
（2）当开关S1已经闭合时，再任意闭合开关S2、S3、S4、S5中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
25．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
26．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF•CG＝DF•BG．
27．（12分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．
2023-2024学年江苏省南京市鼓楼区育英外国语中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分，在每小题所给出的四个选项中，恰有
1．已知ab＝cd，则下列各式不成立的是（ ）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项进行变形即可得解．
解：A、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；
B、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；
C、∵＝，∴ab＝cd，不符合题意；
D、∵＝，∴cd+c+d＝ab+a+b，符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了比例的性质，熟记并熟练应用两内项之积等于两外项之积的性质是解题的关键．
2．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解；∵点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式是解题的关键．
3．小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了1 000m，则他升高了（ ）
A．200mB．500mC．500mD．1000m
【分析】根据题意作出图形，然后根据坡度为1：2，设BC＝x，AC＝2x，根据AB＝1000m，利用勾股定理求解．
解：∵坡度为1：2，
∴设BC＝x，AC＝2x，
∴AB＝＝x，
即x＝1000，
解得：x＝200．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度构造直角三角形，利用勾股定理求解．
4．已知二次函数y＝ax2﹣2x+（a为常数，且a＞0），下列结论：①函数图象一定经过第一、二、四象限；②函数图象一定不经过第三象限；③当x＜0时，y随x的增大而减小；④当x＞0时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．②③C．②D．③④
【分析】由a的正负可确定出抛物线的开口方向，结合函数的性质逐项判断即可．
解：∵a＞0时，抛物线开口向上，
∴对称轴为直线x＝＝＞0，
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＞时，y随x的增大而增大，
∴函数图象一定不经过第三象限，函数图象可能经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握a决定二次函数的开口方向，进一步能确定出其最值是解题的关键．
5．一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6），投掷5次，分别记录每次骰子向上的一面出现的数字．根据下面的统计结果，能判断记录的这5个数字中一定没有出现数字6的是（ ）
A．中位数是3，众数是2
B．平均数是3，中位数是2
C．平均数是3，方差是2
D．平均数是3，众数是2
【分析】根据中位数、众数、平均数、方差的定义，结合选项中设定情况，逐项判断即可．
解：当中位数是3，众数是2时，记录的5个数字可能为：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A选项不合题意；
当平均数是3，中位数是2时，5个数之和为15，记录的5个数字可能为1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B选项不合题意；
当平均数是3，方差是2时，5个数之和为15，假设6出现了1次，方差最小的情况下另外4个数为：2，2，2，3，此时方差s2＝×[3×（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.4＞2，因此假设不成立，即一定没有出现数字6，故C选项符合题意；
当平均数是3，众数是2时，5个数之和为15，2至少出现两次，记录的5个数字可能为1，2，2，4，6，故D选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题主要考查平均数、众数和中位数及方差，解题的关键是掌握平均数、众数和中位数及方差的定义．
6．如图，将矩形ABCD沿着GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同时点E、O、F在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF∥EC；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．②③④
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G为AD中点，点E为AB中点，设AG＝OG＝DG＝x，AE＝BE＝OE＝y，则BC＝AD＝2x，CD＝AB＝2y，利用勾股定理分析求得AB与AD的数量关系，从而判断②；设DF＝OF＝a，则CF＝2y﹣a，OC＝BC＝2x，利用勾股定理进一步判断③和④．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠CGD＝∠BCG，
由折叠可知：∠AEG＝∠OEG，∠CEO＝∠BEC，AG＝OG＝DG，AE＝OE＝BE，∠DGF＝∠OGF，∠GCE＝∠BCG，
∴AG＝AD，AE＝BE＝AB，∠OGF＝∠OCE，
∴GF∥EC，故①正确；
∵∠AEG+∠OEG+∠CEO+∠CEB＝180°，
∴∠AEG+∠BEC＝90°，
∴∠GEC＝90°，
设AG＝OG＝DG＝x，AE＝BE＝OE＝y，则BC＝AD＝2x，CD＝AB＝2y，
∴GC2＝DG2+CD2＝x2+（2y）2，CE2＝BE2+BC2＝y2+（2x）2，GE2＝AG2+AE2＝x2+y2，
∵GE2+CE2＝GC2，
代入整理得，y2＝2x2，
∴，
即：AB＝AD，故②错误；
设DF＝OF＝a，则CF＝2y﹣a，OC＝BC＝2x，
在Rt△COF中，由勾股定理得：
a2+（2x）2＝（2y﹣a）2，
解得：a＝y，
∵，
∴GE＝y，
∴GE＝a，故③正确；
∴OC＝2x＝2×y＝y＝2a，
即：，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查勾股定理，矩形的性质，掌握折叠的性质和利用勾股定理构建方程是解题关键．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填
7．黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女士身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约 8 厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）
【分析】根据黄金分割定义：下半身长与全身的比等于0.618即可求解．
解：根据已知条件可知：
下半身长是165×0.6＝99（cm），
设需要穿的高跟鞋为y cm，则根据黄金分割定义，得
＝0.618，
解得：y≈8，
经检验y≈8是原方程的根，
答：她应该选择大约8cm的高跟鞋．
故答案为8．
【点评】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
8．若一个圆锥的底面圆的半径是2，侧面展开图的圆心角的度数是180°，则该圆锥的母线长为 4 ．
【分析】该圆锥的母线长为l，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2π×2＝，然后解方程即可．
解：设该圆锥的母线长为l，
根据题意得2π×2＝，
解得l＝4，
即该圆锥的母线长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
9．已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为 48 ．
【分析】先判断△ABC的形状，再计算△ABC的面积，最后利用相似三角形的性质得结论．
解：法一、∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝×6×8＝24．
∵△ABC∽△DEF，
∴两个三角形的相似比为＝．
∵△ABC的周长为6+8+10＝24，
∴△DEF的周长＝2×24＝48．
故答案为：48．
法二、∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝×6×8＝24．
∵△ABC∽△DEF，
∴两个三角形的相似比为＝．
∴△DEF的三边长分别为12、16、20．
∴△DEF的周长＝12+16+20＝48．
故答案为：48．
【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性质、勾股定理的逆定理是解决本题的关键．
10．某学校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从平时表现、民主测评、和讲演三个方面分别按百分制打分，然后以3：2：5的比例计算最终成绩，若一名同学的平时表现、民主测评、和讲演成绩分别为90分、80分和94分，则这名同学的最终成绩为 90 分．
【分析】根据题意和加权平均数的计算方法，可以计算出这名同学的最终成绩．
解：这名同学的最终成绩为：＝90（分），
故答案为：90．
【点评】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如果在AB上任取一点M，那么AM≤AC的概率是 ．
【分析】欲求AM≤AC的概率，先求出M点可能在的位置的长度，结合已知AC的长度，求得AB的长，再让两者相除即可．
解：在等腰直角三角形ABC中，设AC长为1，则AB长为，
在AB上取点D，使AD＝1，则若M点在线段AD上，满足条件．
则AM≤AC的概率为1÷＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了概率里的古典概型．在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的．
12．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一点，若以P、A、D为顶点的三角形与△PBC相似，则PA＝ 2或3 cm．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，当若点A，P，D分别与点B，C，P对应，与若点A，P，D分别与点B，P，C对应，分别分析得出AP的长度即可．
解：设AP＝xcm．则BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm
以A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，
①当AD：PB＝PA：BC时，
＝，
解得x＝2或3．
②当AD：BC＝PA：PB时，＝，解得x＝3，
∴当A，D，P为顶点的三角形与以B，C，P为顶点的三角形相似，AP的值为2或3．
故答案为2或3．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
13．已知a≠b，且a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，那么＝ 1 ．
【分析】本题关键是由已知a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，得a、b是方程x2﹣13x+1＝0的两根，从而得两根关系式，将分式化简，把两根关系式代入即可．
解：由题意得a，b是x2﹣13x+1＝0的两根，那么a+b＝13，ab＝1．
∴原式＝+＝+＝＝1．
【点评】解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．
14．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是 ．
【分析】过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．分别求出PD、DC，相加即可．
解：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．
∵AB＝2，
∴AE＝，PA＝2，
∴PE＝1．
∵点D在直线y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD＝．
∵⊙P的圆心是（2，a），
∴点D的横坐标为2，
∴OC＝2，
∴DC＝OC＝2，
∴a＝PD+DC＝2+．
故答案为：2+．
【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用圆与直线的关系以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．注意函数y＝x与x轴的夹角是45°．
15．有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 2﹣2 ．
【分析】如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD﹣BE求解即可．
解：如图，连接BE，BD．
由题意BD＝＝2，
∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
∴BE＝MN＝2，
∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，
∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，
∴DE的最小值为2﹣2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2确定最小值）
故答案为2﹣2．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．若OG•DE＝3（2﹣），则⊙O的面积为 6π ．
【分析】构造等弦的弦心距，运用相似三角形以及勾股定理进行求解．
解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．
∴OH＝AD，即AD＝2OH，
又∵∠CAD＝∠BAD⇒CD＝BD，∴OH＝OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
＝，即BD2＝AD•DE．
BD2＝AD•DE＝2OG•DE＝6（2﹣）．又BD＝FD，
∴BF＝2BD，
∴BF2＝4BD2＝24（2﹣）①，AC＝x，则BC＝x，AB＝x，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠FAD＝∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB＝∠ADF＝90°，AD＝AD，∠FAD＝∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF＝AB＝BC＝FD．
∴CF＝AF﹣AC＝x﹣x＝（﹣1）x．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF2＝BC2+CF2＝x2+[（﹣1）x]2＝2（2﹣）x2②
由①、②，得2（2﹣）x2＝24（2﹣），
∴x2＝12，解得x＝2或﹣2（舍去），
∴AB＝x＝•2＝2，
∴⊙O的半径长为．
∴S⊙O＝π•（）2＝6π．
故答案为6π．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线及圆周角定理等知识，综合性较强，解题时熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
17．（8分）计算：
（1）；
（2）sin45°﹣cs30°tan60°．
【分析】（1）先根据零指数、绝对值、负整数指数幂的意义计算，再分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用特殊角的三角函数值得到原式＝﹣×，然后进行二次根式的混合运算．
解：（1）原式＝1﹣|1﹣|﹣2+
＝1+1﹣﹣2+2
＝；
（2）原式＝﹣×
＝﹣
＝．
【点评】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了实数的运算．
18．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19．（5分）如图，AD是△ABC的高，，，AC＝10，求△ABC的周长．
【分析】在直角三角形ACD中，根据边角关系先求出AC、CD,再在直角三角形ABD中，求出AB、BD，最后求出三角形ABC的周长．
解：在Rt△ACD中，，
∵，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝＝8．
在Rt△ABD中，∵，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，AB＝6．
∴△ABC的周长为:AB+AC+BD+CD
＝
＝．
【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
20．张明、李成两位同学初二学年10次数学单元自我检测的成绩（成绩均为整数，且个位数为0）分别如图所示：
利用图中提供的信息，解答下列问题．
（1）完成下表：
（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是 李成 ；
（3）根据图表信息，请你对这两位同学各提一条不超过20个字的学习建议．
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数和方差的定义求解；
（2）直接看图得到；
（3）分析（1）的统计数据即可．
解：（1）
（2）如果将90分以上（含90分）的成绩视为优秀，则优秀率高的同学是李成；
（3）李成的学习要持之以恒，保持稳定；张明的学习还需加把劲，提高优秀率．
【点评】本题考查的是平均数、众数、中位数和方差的概念．要学会从统计数据中得出正确的结论．
21．二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x＝3时，y＝ ﹣1 ；
（2）当x＝ 1 时，y有最 小 值为 ﹣2 ；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1 ＞ y2
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是 ﹣2≤y≤2 ．
【分析】（1）由表中给出的三组数据，列方程组求得二次函数的解析式，再求出x＝3时，y的值；
（2）实际上是求二次函数的顶点坐标；
（3）求得抛物线与x轴的两个交点坐标，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；再进行判断即可；
（4）根据抛物线的顶点，当x＝5时，y最大，当x＝1时，y最小．
解：（1）由表得，解得，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣x﹣，
当x＝3时，y＝＝﹣1；
（2）将y＝x2﹣x﹣配方得，y＝（x﹣1）2﹣2，
∵a＝＞0，∴函数有最小值，当x＝1时，最小值为﹣2；
（3）令y＝0，则x＝±2+1，抛物线与x轴的两个交点坐标为（2+1，0）（﹣2+1，0）
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距离大于x2到1的距离，∴y1＞y2
（4）∵抛物线的顶点为（1，﹣2），∴当x＝5时，y最大，即y＝2；当x＝1时，y最小，即y＝﹣2，
∴函数值y的取值范围是﹣2≤y≤2；
故答案为﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．
【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，是中考压轴题，难度较大．
22．（7分）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（2，0）和点C．
（1）若点C坐标为（1，3），
①求这个二次函数的表达式；
②当﹣1≤x≤2时，直接写出y的取值范围．
（2）若点C坐标为（1，m）且该函数的图象开口向上，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）①把（2，0）和C（1，3）分别代入y＝ax2+bx+2中得到关于a、b的方程组，然后解方程组即可；
②先抛物线解析式配成顶点式，则根据二次函数的性质得到当x＝时，y有最大值，再分别计算出x＝﹣1和x＝2所对应的函数值，然后写出当﹣1≤x≤2时，y的取值范围；
（2）把（2，0）和C（1，m）分别代入y＝ax2+bx+2中，则可用m表示a得到a＝1﹣m，然后根据二次函数的性质得到1﹣m＞0，最后解不等式即可．
解：（1）①把（2，0）和C（1，3）分别代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝﹣2x2+3x+2；
②∵y＝﹣2（x﹣）2+，
∴当x＝时，y有最大值，
当x＝﹣1时，y＝﹣2x2+3x+2＝﹣2﹣3+2＝﹣3；
当x＝2时，y＝﹣2x2+3x+2＝﹣2×4+3×2+2＝0，
∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围为﹣3≤y≤；
（2）把（2，0）和C（1，m）分别代入y＝ax2+bx+2得，
解得a＝1﹣m，
∵该函数的图象开口向上，
∴a＞0，
即1﹣m＞0，
解得m＜1．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征．
23．为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
【分析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
解：（1）由题意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴当x＝60时，P最大值＝8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵抛物线P＝﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x＝58时，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
【点评】本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润＝1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．
24．（7分）小明在学完物理“电学”知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关S1、S2、S3、S4、S5和一个小灯泡，当开关S1闭合时，再同时闭合开关S2、S3或S4、S5都可以使小灯泡发亮．
（1）当开关S1、S2已经闭合时，再任意闭合开关S3、S4、S5中的一个，小灯泡能亮起来的概率是 ；
（2）当开关S1已经闭合时，再任意闭合开关S2、S3、S4、S5中的两个，请用列表或画树状图的方法求小灯泡能亮起来的概率．
【分析】（1）直接根据等可能事件的概率公式求解即可；
（2）用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出小灯泡能亮起来的可能结果，再根据等可能事件的概率公式求解即可．
解：（1）∵任意闭合开关S3、S4、S5中的一个，有3种可能，小灯泡能亮起来只有1种可能，
∴P（小灯泡能亮起来）＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡能亮起来有4种可能，
∴P（小灯泡能亮起来）＝．
【点评】本题考查等可能事件的概率公式，用列表法和树状图法求概率，掌握用列表法和树状图法求概率的方法是解题的关键．
25．（8分）如图，已知AB为⊙O的直径，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA、CD的延长线相交于点E．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
【分析】（1）首先连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO＝90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OE＝R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．
【解答】
解：（1）证明：连接DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，则OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，
∴32+R2＝（R+1）2，
解得R＝4，
∴⊙O的半径为4．
【点评】本题主要考查的是切线的判断、圆周角定理的应用，掌握切线的判定定理，利用勾股定理列出关于r的方程是解题的关键．
26．（8分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF•CG＝DF•BG．
【分析】（1）由三角形的内和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根据两边对应成比例及夹角相等证明△ADF∽△ACG，其性质和角平分线的定义得AG平分∠BAC；
（2）由两对应角相等证明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性质得，，再根据等式的性质求出EF•CG＝DF•BG．
解：如图所示：
（1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°，
∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
在△ADF和△ACG中，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF＝∠CAG，
∴AG平分∠BAC；
（2）在△AEF和△ABG中，
，
∴△AEF∽△ABG，
∴，
在△ADF和△AGC中，
，
∴△ADF∽△AGC，
∴，
∴，
∴EF•CG＝DF•BG．
【点评】本题综合考查了三角形的内角和定理，相似三角形的判定与性质，角的和差，等量代换，等式的性质等相关知识点，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是利用等式的性质将比例式转换成乘积式．
27．（12分）如图1，折叠矩形纸片ABCD，具体操作：①点E为AD边上一点（不与点A，D重合），把△ABE沿BE所在的直线折叠，A点的对称点为F点；②过点E对折∠DEF，折痕EG所在的直线交DC于点G，D点的对称点为H点．
（1）求证：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①点E在移动的过程中，求DG的最大值；
②如图2，若点C恰在直线EF上，连接DH，求线段DH的长．
【分析】（1）根据两角对应相等两三角形相似证明即可．
（2）①设 AE＝x，证明△ABE∽△DEG，推出＝，可得DG＝＝﹣（x﹣）2+，利用二次函数的性质求解即可．
②如图2中，连接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性质可知EG垂直平分线段DH，利用面积法可得DH＝2×．
解：（1）如图1中，
由折叠可知∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四边形 ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．
（2）①设 AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，（0＜x＜5），
∴x＝时，DG有最大值，最大值为．
②如图2中，连接DH．
由折叠可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝3，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝5，
∵点C在直线EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝5﹣EF＝5﹣AE，
∴CF＝＝＝4，
∴AE＝EF＝5﹣4＝1，
∴DG＝＝，
∴EG＝＝＝，
由折叠可知EG垂直平分线段DH，
∴DH＝2×＝2×＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建二次函数解决问题，属于中考压轴题．姓名
平均成绩
中位数
众数
方差
张明
80
80
李成
260
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
姓名
平均成绩
中位数
众数
方差
张明
80
80
李成
260
姓名
平均成绩
中位数
众数
方差
张明
80
80
80
60
李成
80
85
90
260
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…