2023-2024学年河南省南阳市内乡县实验初级中学九年级上学期期中数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省南阳市内乡县实验初级中学九年级上学期期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（ ）

A．图形的平移B．图形的旋转C．图形的轴对称D．图形的相似
3．下列各式的计算中，正确的是（ ）.
A．
B．=3+4=7
C．
D．
4．如图，，若，，则的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
5．用配方法解下列方程时，配方正确的是（ ）
A．方程，可化为
B．方程，可化为
C．方程，可化为
D．方程，可化为
6．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（ ）
A．5mB．2 mC．4 mD． m
7．如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若设人行道的宽度为x米，则可以列出关于x的方程是( )
A．x2＋9x－8＝0B．x2－9x－8＝0C．x2－9x＋8＝0D．2x2－9x＋8＝0
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（―1，2）
B．（―9，18）
C．（―9，18）或（9，―18）
D．（―1，2）或（1，―2）
9．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点坐标是，则经过第2022次变换后点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．设是关于x的方程 的两个根，且，则k的值为（ ）
A．3B．C．2D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．一元二次方程的一般形式是 ．
12．若a是方程的一个根，则代数式的是 ．
13．若实数m，n满足，则的值是 ；
14．如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为 ．
15．将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，．若以点、、为顶点的三角形与相似，则的长度是 ．
三、解答题（7小题，共75分）
16．计算：．
17．先化简，再求值：
，其中a＝.
18．解方程：
(1)用配方法：；
(2)用公式法：．
19．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低元．
（1）填表：（不需化简）
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
20．开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．
21．如图，图中小方格都是边长为1的正方形，与是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形顶点上．
(1)画出位似中心点O；
(2)与的位似比为______；
(3)以点O为位似中心，再画一个使它与的位似比等于．
22．小蒋和小张拿着工具来测量学校操场一棵大树的高度．如图所示，小蒋拿着自制的直角三角形纸板，不停移动，当他站在点C处用眼睛观察到此时斜边与点B恰在同一条直线上，且与水平地面平行，然后小蒋站立不动，小张在处放置一平面镜，移动平面镜至点G处时，小蒋刚好在平面镜内看到树顶端B的像．已知，、均垂直于，求该树的高度．（平面镜的大小忽略不计）
23．如图，先把一矩形纸片对折，设折痕为，再把点叠在折痕线上，得到．过点折纸片使点叠在直线上，得折痕．
求证：；
你认为和相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由．
答案与解析
1．D
【分析】根据最简二次根式的定义求解即可．
【详解】解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟练掌握和运用最简二次根式的定义是解决本题的关键．
2．D
【分析】根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断；
【详解】根据题意画出如下图形：可以得到，则
即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度

故选：D.
【点睛】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解.
3．C
【详解】试题分析：根据二次根式的乘法法则及二次根式有意义的条件进行判断即可．A、、没有意义，故本选项错误；B、=5，运算错误，故本选项错误；C、，故本选项正确；D、，运算错误，故本选项错误．
故选C．
考点：二次根式的乘除法．
4．D
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：，
，
，，
，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
5．D
【分析】本题考查了配方法解方程．用配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤：①将常数项移到方程的右侧．②将二次项系数化为1．③结合直接开方法进行解答即可．根据配方法的步骤，对每个方程都做这样的变形，由此便可以解答本题．
【详解】A、方程，可化为，故此选项错误，不符合题意；
B、方程，可化为，故此选项错误，不符合题意；
C、方程，可化为，故此选项错误，不符合题意；
D、方程，可化为，故此选项正确，符合题意；
故选：D．
6．B
【详解】如图，
∵AB=10m，tanA= ．
∴设BC=x，AC=2x，
由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，
∴AC=4，BC=2m．
故选：B．
7．C
【详解】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（18﹣3x）（6﹣2x）=60，
化简整理得，x2﹣9x+8=0．
故选C．
8．D
【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似
∴△ ABO∽△A′B′O且＝
.∴＝＝
∴A′E＝AD＝2
OE＝OD＝1
∴A′（-1,2）
同理可得A′′（1,-2）
方法二：∵点A（-3，6）且相似比为
∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×），
∴A′（-1,2）
∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称
∴A′′（1,-2）
故选：D．
9．A
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2022除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：点第一次关于轴对称后在第二象限，
点第二次关于轴对称后在第三象限，
点第三次关于轴对称后在第四象限，
点第四次关于轴对称后在第一象限，即点回到原始位置，
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
余2，
经过第2022次变换后所得的点与第二次变换的位置相同，在第三象限，坐标为．
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
10．B
【分析】本题考查了一元二次方程判别式及根与系数的关系，是一元二次方程的两根时，，根据题意得，由，根据根与系数解得．
【详解】解：是关于x的方程 的两个根，
，
，
，即，
解得：，
方程 有两个根，
，
当时，，故不符合题意，舍去，
当时，，故符合题意，
，
故选：B．
11．
【分析】一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．
【详解】解：，
去括号，得，
移项得，
原方程的一般形式是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．
12．2021
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先利用一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解： a是方程的一个根，
，
，
故答案为：．
13．5
【分析】两个非负数的和为0，须两个非负数同为0，须被平方的式子与被开方的式子都为0，求得m、n的值．
【详解】∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，是解决此类为题的关键．
14．
【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D．
根据题意，∠ABC=90°﹣30°=60°，∠ACD=30°，
设AD=x米，在Rt△ACD中，tan∠ACD=，
∴CD===x，
在Rt△ABD中，tan∠ABC=，
∴BD===x，
∴BC=CD+BD=x+x=80，
∴x=．
故答案为．
【点睛】此题考查了解直角三角形及勾股定理的应用，用到的知识点是方向角，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角．
15．或2
【分析】本题考查折叠的性质，三角形相似的判定和性质．利用分类讨论的思想是解题关键．结合折叠的性质可设，则．分类讨论：①当时，此时，得出，代入数据，即得出关于x的方程，解之即可；②当时，此时，同理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，
设，则．
∵，
∴可分类讨论：①当时，则此时，
∴，即，
解得：，
∴此时的长度是；
②当时，则此时，
∴，即，
解得：，
∴此时的长度是2．
故答案为：或2．
16．2
【分析】本题考查了实数的运算，先根据有理数的乘方运算，平方差公式，二次根式的性质进行化简，再算实数加减即可．
【详解】解：原式
．
17．a+1，
【详解】试题分析：首先通分相加计算括号内的式子，把除法转化为乘法，即可化简，最后代入a的值计算即可．
试题解析：=
=
＝a＋1.
把a＝代入，得原式＝＋1＝.
18．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程．
（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
二次项系数化为1，得．
移项，得
配方，得，即．
，
；
（2）解：
方程化为一般形式，得，
，，，
，
，
，．
19．解：（1），， ；（2）70元．
【详解】解：（1）由题意得80-x；200+10x；800-200-（200+10x）；
（2）根据题意，得
80×200+（80-x）（200+10x）+40[800-200-（200+10x）] -50×800=9000．
整理，得x2-20x+100=0，解这个方程得x1= x2=10，
当x=10时，80-x=70＞50．
答：第二个月的单价应是70元．
20．拂云阁DC的高度约为32m
【分析】延长交于点，则四边形是矩形，则，，在，中，分别表示出，根据，建立方程，解方程求解可得，根据即可求解．
【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形，
则，，
在中，，
在中，，
，
即，
解得，
(m)．
拂云阁DC的高度约为32m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了作图--位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
（1）连接对应点，交点即为位似中心；
（2）求出对应线段长的比即为位似比；
（3）对应线段长为作图即可．
【详解】（1）解：如图，连接，并延长交于点O，点O为所求；
（2）解：与的位似比为．
故答案为．
（3）解：由题意得：，
，
，
同理，找到，
如图所示：为所求．
22．米
【分析】延长DE交AB于H，则，米，根据反射原理可知，得，设，则，再由，，根据列方程，进而求解即可．
【详解】解：如图，延长DE交AB于H，
∵，则，，
∴四边形ACDH是矩形，
∴，米．
根据反射原理可知，
又∵，，
∴，
∴，
设米，则米，
∴米，米，
，
，
∴
（米）．
这棵古树的高为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形，难度一般．
23．（1）证明见解析;(2)相似,证明见解析.
【分析】（1）△PBE和△QAB都是直角三角形，所以再证一对角相等即可．由∠ABE=90°得∠EBP+∠ABQ=90°，易证∠ABQ=∠PEB．得证．
（2）△PBE和△BAE都是直角三角形，利用（1）的结论，结合BP=BQ可证直角的两边对应成比例，得证．
【详解】∵，，
∴．
在与中，
∵，，
∴．（2）和相似．
∵，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了翻折变换与相似三角形的判定，解题的关键是熟练的掌握翻折变换的折叠问题与相似三角形的判定.