2023-2024学年山东省济宁市金乡县九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省济宁市金乡县九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
九年级数学试题
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在平面直角坐标系中，P（﹣1，3）关于原点的对称点Q的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）
2．用配方法解一元二次方程，变形正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．二次函数的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．市一小学数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示，设矩形的宽为xcm，长为ycm，那么这些同学所制作的矩形长y（cm）与宽x（cm）之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，AB 是⊙O 的直径， ∠D＝32° ，则∠AOC 等于( )
A．158°B．58°C．64°D．116°
6．如图，下列不能判定与相似的是（ ）
A．B．C．D．
7．某同学所住小区有东、南、西、北四个入口，李老师和王老师先后去该同学家家访，李老师和王老师恰好从同一个入口进入该小区的概率是（ ）．
A．B．C．D．
8．电影《长安三万里》上映以来，全国票连创佳绩，据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，将增长率记作，则方程可以列为( )
A．B．C．D．
9．反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形中，点F是边上的一点，把矩形沿折叠，点C落在边上的点E处，，点M是线段上的动点，连接，过点E作的垂线交于点N，垂足为H．以下结论：①；②；③；④=．其中正确的结论有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．一元二次方程的根是 ．
12．如图，直线与反比例函数和的图像分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则的面积是 ．
13．用一个圆心角为120°，半径为9的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆半径是 ．
14．如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ．
15．如图，直线yx﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，与y（x＜0）的图象交于点C，过点C作CD⊥x轴于点D．如果S△BCD∶S△AOB＝1∶4，则k的值为 ．
三、解答题（共7小题，共55分）
16．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，，请按要求画图：以点A为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点和的坐标．
17．学校准备将一块长，宽的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加，设增加的面积是．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)若要使绿地面积增加，则长与宽都要增加多少米？
18．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．
19．如图，为⊙的直径，过圆上一点作⊙的切线交的延长线与点，过点作交于点，连接．
(1)直线与⊙相切吗？并说明理由；
(2)若，，求的长．
20．一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求的面积；
(3)观察一次函数与反比例函数的图象，请直接写出时x的取值范围．
21．【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．
图1 图2 备用图
【问题探究】
(1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
(2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．
22．已知：抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，是x轴正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，在图1中探究：是否存在点D，使？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点P为直线上方抛物线上任意一点，连接、、，交直线于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求出此时k的值．
答案与解析
1．C
【分析】根据关于原点的对称的点的横纵坐标坐标互为相反数问题可解.
【详解】解：P（﹣1，3）关于原点的对称点Q的坐标是：（1，﹣3）．
故选C．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标的性质，解答关键是注意点坐标的符号变化.
2．B
【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．B
【分析】根据二次函数的顶点式解析式即可写出顶点坐标．
【详解】解：对于二次函数，
当时，y取最小值，
因此顶点坐标为．
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的顶点式解析式，如果，那么函数图象的顶点坐标为 ，需要熟记并灵活运用．
4．A
【分析】根据题意有：xy=200；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y的实际意义有x、y应大于0．
【详解】解：∵xy=200
∴y= (x>0，y>0)
故选A．
【点睛】现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
5．D
【分析】首先根据圆周角定理可求得∠BOC的度数，再根据邻补角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵∠BOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠D=32°，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键．
6．A
【分析】由图可知△ABC与△ABD中∠A为公共角，所以只要再找一组角相等，或一组对应边成比例即可满足△ABD∽△ACB；得出选项A、B、C满足△ABD∽△ACB，选项D不满足△ABD∽△ACB，即可得出结论．
【详解】解：虽然，但∠ABD≠∠C，
∴△ABD与△ACB不相似，
∴选项A符合；
∵，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项B不符合；
∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项C不符合；
∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴选项D不符合.
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，此题主要考查学生对相似三角形判定定理的理解和掌握，难度不大，属于基础题，要求学生应熟练掌握．
7．A
【分析】本题主要考查列表或画树状图求事件的概念，掌握概率的计算方法是解题的关键，根据题意画树状图把所有等可能结果表示出来，再找出所有可能出现的结果，根据概率的计算方法即可求解．
【详解】解：将所有等可能结果表示出来，如图所示，
所有等可能结果有种，其中从同一个入口进入的结果有种，
∴李老师和王老师恰好从同一个入口进入该小区的概率是，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设增长率记作，分别求得三天的收入，根据三天后累计票房收入达10亿元，列方程即可求解．
【详解】解：设增长率记作，依题意，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了反比例函数的图象和一次函数的图象的综合．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．
【详解】解：当时，，反比例函数的图象在一，三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，选项B符合；
当时，，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项．
故选：B．
10．B
【分析】本题考查折叠的性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握勾股定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用矩形的折叠相关知识，先用勾股定理求出，设，结合和利用勾股定理列出方程可求出，从而判定③错误，利用一线三直角模型可证明，从而判定①正确，利用相似三角形的性质可知，而，从判定故②错误，作，证明，可判断故④正确，从而得解．
【详解】由矩形的性质得：，，，
由折叠的性质得，，，
在中，，
∴，
设，
∴，
在中，，
解得，即，故③错误；
在矩形中，，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故②错误；
作，
则四边形 是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故正确的有①④，共两个．
故选B．
11．，
【分析】化这一般形式，运用因式分解法求解；
【详解】解：，
∴，．
故答案为：，
【点睛】本题考查一元二次方程的求解；掌握一元二次方程的求解是解题的关键．
12．
【分析】如图，连接，，，，记与x轴的交点为C，依据轴，可得与的面积相等，再根据反比例函数和的图像分别交于A、B两点，即可得到，，进而得出的面积为．
【详解】解：如图，连接，，，，记与x轴的交点为C，
∵轴，
∴与的面积相等，
又∵反比例函数和的图像分别交于A、B两点，
∴，，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数中比例系数k的几何意义：在反比例函数的图像上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．
13．3
【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，然后解方程即可．
【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为r，
根据题意得2πr=，解得r=3，
即这个圆锥的底面圆半径是3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
14．3或##或3
【分析】由在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，即可求得AP的长，然后分别从△APQ∽△ACB与△APQ∽△ABC去分析，利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【详解】解：∵AC=4，P是AC的中点，
∴AP=AC=2，
①若△APQ∽△ACB，则，
即，
解得：AQ=3；
②若△APQ∽△ABC，则，
即，
解得：AQ=；
∴AQ的长为3或．
故答案为3或．
15．
【分析】先求解的坐标，再证明 结合S△BCD∶S△AOB＝1∶4，可得 再求解的坐标，从而可得答案.
【详解】解： 直线yx﹣2的图象与x、y轴交于B、A两点，
令 则 令 则


CD⊥x轴于点D，
轴，
而S△BCD∶S△AOB＝1∶4，




故答案为：
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合，相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键.
16．，
【分析】本题考查作图位似变换，解题的关键是根据位似的性质作图，即可得出答案．
【详解】解：如图，即为所求
点，
17．(1)y与x之间的函数表达式为：
(2)绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米
【分析】（1）根据题意可得长和宽增加后矩形的长为，宽为，列方程即可求解；
（2）令代入方程求解即可．
【详解】（1）解：长和宽增加后矩形的长为，宽为，
则由题意得
，
∴y与x之间的函数表达式为：.
（2）解：将代入中得，，
解得，，（舍去），
∴绿地面积增加时，矩形的长与宽都要增加2米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
18．河宽为17米．
【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得AB的长．
【详解】解：∵CB⊥AD，ED⊥AD，
∴∠CBA＝∠EDA＝90°，
∵∠CAB＝∠EAD，
∴∆ABC∽∆ADE，
∴，
又∵AD=AB+BD，BD=8.5，BC＝1，DE＝1.5，
∴，
∴AB＝17，
即河宽为17m．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
19．(1)相切，见解析
(2)
【分析】（1）先证得：，再证，得到，即可求出答案；
（2）设半径为；则：，即可求得半径，再在直角三角形中，利用勾股定理，求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
∵为切线，
∴，
又∵，
∴，，
且，
∴，
在与中；
∵，
∴，
∴，
∴直线与相切．
（2）设半径为；
则：，得；
在直角三角形中，，
，解得
【点睛】本题主要考查与圆相关的综合题型，涉及全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行线性质、勾股定理及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
20．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查待定系数法求解析式和函数解析式的性质，
（1）根据题意将点代入即可；
（2）通过求解一次函数和反比例函数交点与坐标轴围成的面积即可求得的面积；
（3）观察图象，反比例函数在一次函数下方x所对应的范围即为解．
【详解】（1）解： 一次函数与反比例函数的图象过点，
，，
，，
一次函数表达式为，反比例函数的表达式为；
（2）由，解得或，
，
设一次函数与x轴的交点为C，
则，
；
（3）∵
∴x的取值范围是或．
21．(1)见解析
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题主要了考查相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）利用两边对应成比例且夹角相等证明可得，再根据可得，再根据对顶角相等可得，然后运用等量代换即可证明结论；
（2）与第（1）同样的方法证明；
（3）当E恰好落在线段AB上时，利用（1）的结论和对顶角相等，证明然后分别根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：设交于点O，如图1；
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）解：成立，理由如下：
设交于点O，如图2，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
即．
（3）解：如图：当点E在上时，

由（1）的结论可得，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
22．(1)
(2)
(3)，
【分析】此题主要考查了利点坐标确定函数解析式，解题的关键是利用待定系数法得到的方程
（1）利用待定系数法将三点坐标带入，即可求得抛物线解析式．
（2）先求出直线BC的解析式，设定，根据题意，列方程求解即可．
（3）过点P作，做出与相似，根据，得到关于P点的方程，求解即可．
【详解】（1）解：将，，代入，
解得，
∴，
；
（2）设直线的解析式为，
，解得，
，
设，则，
当时，
解得，（舍）
点D的坐标为
（3）
过点P作交于点G，
设，则，
，
∴
，
，
，
当时，k有最大值，
此时．