2023-2024学年福建省龙岩市龙岩莲东中学与龙钢学校教育组九年级上学期第二次月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市龙岩莲东中学与龙钢学校教育组九年级上学期第二次月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年第一学期第二次阶段性统一练习
九年级数学学科
（时间：120分钟）
一、选择题
1．下列环保标志，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果反比例函数的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（ ）
A．B．2C．0D．
3．如图，在菱形中，E为上一点，、交于点O，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
4．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．－1C．1或－1D．0
5．在中，，那么的值是（ ）
A．2B．C．D．
6．如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，则线段的长为（ ）
A．B．4C．D．
7．二次函数的图象可以由二次函数的图象平移而得到，下列平移正确的是（ ）
A．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位
B．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位
C．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位
D．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位
8．如图，是的直径，C、D、E是上的点，若，，则的度数（ ）
A．B．C．D．
9．某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h（单位：m）关于离地时间t（单位：s）的函数解析式是h = 20 t - 5 t2，其中t的取值范围是（ ）
A．t≥0B．0≤t≤2C．2≤t≤4D．0≤t≤4
10．如图，已知正方形、正方形的边长分别为4和1，将正方形绕点旋转，连接，点是的中点，连接，则线段的最大值为（ ）．
A．B．C．D．
二、填空题
11．已知点坐标为，则点关于原点的对称点的坐标为 ．
12．在描掷一枚质地均匀的硬币的实验中，第10次抛掷时，正面朝上的概率是 ．
13．若，则 ．
14．一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的底面半径是 ．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，tan∠CPN为 ．
16．已知：是的反比例函数，当时，，当时，的取值范围是
三、解答题
17．（1）解方程：；
（2）计算：．
18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，已知的面积为4．
(1)分别求出和的值；
(2)求的面积；
(3)结合图象直接写出中的取值范围是 ．
19．已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．
20．小源的父母决定期末考试后带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为： ．明月山， ．庐山， ．婺源， ．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小源的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小源随机抽两次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等．
(1)小源最希望去婺源，则小源第一次恰好抽到婺源的概率是 ；
(2)除婺源外，小源还希望去明月山，求小源抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析）．
21．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，经过四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图．结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
(1)如图1，判断圆心______（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点；
(2)在图1中画出的切线（为格点）；
(3)在图2中画出的中点；
22．如图，等腰中，以为直径的与、的延长线分别交于点、，垂直于．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的长．
23．小雨、小华、小星暑假到某超市参加社会实践活动，在活动中他们参加了某种水果的销售工作，已知该水果的进价为8元/千克．他们通过市场调查发现：当销售单价为10元时，那么每天可售出300千克；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少50千克．
(1)求该超市销售这种水果，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；
(2)为响应政府号召，该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润给希望工程．公司通过销售记录发现，当销售单价不超过13元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x（元/千克）的增大而增大，求a的取值范围．
24．（1）如图1，在中，，是直线上的一点，将线段绕点逆时针旋转至，连接，求证：；
（2）如图2，在图1的条件下，延长，交于点，交于点，求证；
（3）如图3，是内一点，，，，直接写出的面积为___________．
25．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与y轴交于点，点A是对称轴与x轴的交点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①所示，P是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接，求的面积的最大值；
(3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点D，求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．D
【分析】根据轴对称图形的概念和中心对称图形的概念，对每个选项进行判断即可．
【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键．
2．B
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限，
∴，
∴a的值可以是2．
故选：B
【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内；当时，图象位于第二、四象限内是解题的关键．
3．B
【分析】根据菱形的性质得到，，再证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方得到即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
则，
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
4．B
【分析】根据一元二次方程解的定义得到，再解关于a的方程，然后根据一元二次方程定义确定a的值．
【详解】解：把代入一元二次方程得，
解得，
而，
的值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义．
5．D
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，正确记忆正弦值与各边之间的关系是解题关键．
6．C
【分析】本题考查旋转的性质，含角直角三角形性质及勾股定理；由旋转的性质得；由含角直角三角形性质得，再由勾股定理即可求得结果．
【详解】解：由旋转的性质得；
∵，，
∴，
∴；
在中，由勾股定理得：．
故选：C．
7．C
【分析】二次函数平移都是通过顶点式体现，将转化为顶点式，与原式对比，利用口诀左加右减，上加下减，即可得到答案
【详解】解：∵，∴ 的图形是由的图形，向左平移2个单位，然后向上平移1个单位
【点睛】本题主要考查二次函数图形的平移问题，学生熟练掌握左加右减，上加下减即可解决这类题目
8．B
【分析】连接，由同弧所对的圆周角相等，得到．，由是的直径，得到，所以，再由，得到，进而求出的度数．
【详解】解：连接．
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角的度数与所对的弧的度数的关系是解题的关键．
9．B
【分析】把该函数解析式化为顶点式，进而问题可求解．
【详解】解：由可知该函数的顶点坐标为，对称轴为直线t=2，
∴由题意可知t的取值范围是0≤t≤2；
故选B．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．D
【分析】本题主要考查了、三角形中位线定理、正方形的性质、三角形三边关系、勾股定理，延长至点，使，连接，，，由三角形中位线定理可得，由正方形的性质结合勾股定理可得，，由三角形三边关系可得，从而可得的最大值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，延长至点，使，连接，，，
，
点是的中点，，
是的中位线，
，
正方形、正方形的边长分别为4和1，
，，
，
的最大值为，
的最大值为，
故选：D．
11．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征即可求得点A关于原点的对称点的坐标．
【详解】因为点A坐标为（-1，2），所以点A关于原点的对称点的坐标为．故答案为.
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标特征，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征．
12．
【分析】根据实际可知一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是，由此可知答案．
【详解】解：∵一枚硬币只有两个面，正面朝上的概率是，反面朝上的概率也是，
故第10次抛掷这枚硬币正面朝上的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算，能够根据事件计算出概率是解决本题的关键．
13．##
【分析】本题考查了比例的性质，分式的运算．熟练掌握比例的性质是解题的关键．
由，可得 ，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查了圆锥的相关计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图的形状是解题关键．根据“圆锥的底面圆的周长等于其展开图的扇形的弧长”即可得答案．
【详解】解：设该圆锥的底面半径是，
由题意得：，
解得，
故答案为：1．
15．2
【分析】连接格点MN、DM，可得MN∥EC，由平行线的性质得出∠DNM＝∠CPN，证出∠DMN＝90°，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：连接格点MN、DM，如图所示：
则四边形MNCE是平行四边形，△DAM和△MBN都是等腰直角三角形，
∴EC∥MN，∠DMA＝∠NMB＝45°，DM＝AD＝，MN＝BM＝，
∴∠CPN＝∠DNM，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM，
∵∠DMN＝180°﹣∠DMA﹣∠NMB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∴tan∠CPN＝tan∠DNM＝，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查角的正切值，掌握正切的定义并能够利用网格将所求角转化到直角三角形中是解题的关键．
16．或
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的性质，先求出，从而得出反比例函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，计算出当时，，当时，，即可得出答案，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：是的反比例函数，
，
当时，，
，
，
，
反比例函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围或，
故答案为：或．
17．（1），；（2）0
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程、实数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算顺序是解此题的关键．
（1）利用公式法解一元二次方程即可；
（2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值的性质、二次根式的性质，进行计算即可得出答案．
【详解】解：（1），
，，，
，
，
，；
（2）．
18．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）由题意可得，得到反比例函数解析式为：，把点和点代入反比例函数解析式得：，，由此即可得解；
（2）先利用待定系数法求出一次函数为，设一次函数与轴交于点，则，从而得到，再由进行计算即可；
（3）由函数图象即可得出答案．
【详解】（1）解：的面积为4，
，
解得：或，
由图象可得：，
，
反比例函数解析式为：，
把点和点代入反比例函数解析式得：，，
，；
（2）解：由（1）可得，，
，，
把，代入一次函数得：，
解得：，
一次函数解析式为：，
设一次函数与轴交于点，
在中，令，则，
解得：，
，
，
（3）解：由图可得：中的取值范围是或，
故答案为：或．
19．（1）证明见解析；（2）正整数m的值为1或2
【分析】（1）先计算判别式的值得到，再根据非负数的值得到，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；
（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值．
【详解】（1）证明：∵m≠0，
=m2﹣4m+4
=（m﹣2）2，
而（m﹣2）2≥0，即，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，
x﹣1=0或mx﹣2=0，
∴x1=1，x2=，
当m为正整数1或2时，x2为整数，
即方程的两个实数根都是整数，
∴正整数m的值为1或2．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据一般概率的计算公式求解即可；
（2）由列表法或树状图法得出所有结果及满足条件的结果，然后由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：第一次抽选有四个选择，
∴抽到婺源的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图得：
由树状图可得共有12种等可能的结果，其中满足条件的有10种，
（小源投到婺源、明月山两个景点中至少一个）．
【点睛】题目主要考查利用列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键．
21．(1)是，图见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图—应用与设计作图，涉及垂径定理，切线的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
（1）画出弦，的垂直平分线可得答案；
（2）连接，取格点，使即可；
（3）由方格的特征，取的中点，连接并延长交于点，即得的中点．
【详解】（1）解：如图，
，
圆心在弦，的垂直平分线上，由图可知，是在格点上，
故答案为：是；
（2）解：如图：即为所求，
；
（3）解：如图，
，
由方格的特征，取的中点，连接并延长交于点，则点即为所求．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，首先得到是等腰三角形，然后结合，证明，进而得到，即可证明出是的切线；
（2）连接，首先根据勾股定理求出，然后证明出，得到，代入求出，然后证明出，得到，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，连接，
∵，
∴是等腰三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵为的直径，
∴，，
∴，
如图所示，连接，

∵，，，
∴，
∵
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴，即
解得，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质和判定，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的性质在实际生活中的应用，通过构建函数模型解答销售利润问题．
（1）根据题意求解即可；
（2）设扣除捐赠后的日销售利润为元，得，利用对称轴的位置即可求的取值范围．
【详解】（1）根据题意可得，
，
∴每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式为；
（2）设扣除捐赠后的日销售利润为元，
，
当时，随的增大而增大，
，
，
．
即的取值范围为．
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）6
【分析】（1）由已知条件根据SAS可以证得△ABD≅△ACE ；
（2）过点D作DK⊥DC交FB的延长线于K，则由已知和（1）的结论可以证得△ECG≅△DFK，从而得到 DF=EG，进一步得到FG=EG+EF=DE=AE ．
（3）过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE，与（1）（2）同理可得△ABD≌△ACE，由此可得CE=BD=2，∠CED=∠CEB=90°，从而可以得到的面积．
【详解】（1）证明：如图1，
∵，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）证明：如图2，过点作交的延长线于．
∵，，
∴，
∵，，
∴，KF∥AC，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即．
（3）如图3中，过点A作AE⊥AD交BD于E，连接CE，
∵∠ADB=45°，∠DAE=90°，
∴△ADE与△ABC都是等腰直角三角形，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD=2，
∵∠AEC=∠ADB=45°，
∴∠CED=∠CEB=90°，
∴=6．
【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握作辅助线构造全等三角形的方法及三角形全等的判定与性质是解题关键 ．
25．(1)
(2)的最大值为
(3)存在，Q点坐标为或
【分析】（1）由题意可设抛物线解析式为，将代入可得，则可求解析式；
（2）连接，设，分别求出，
所以，
当时，的最大值为；
（3）设D点的坐标为，过D作对称轴的垂线，垂足为G，则，在中，，所以，求出，所以，连接，在中，，在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，此时，，设，为圆A的半径，，求出或，即可求Q．
【详解】（1）抛物线顶点坐标为，
∴可设抛物线解析式为，
将代入可得，
∴；
（2）连接，
由题意，，
设，
∴，
，
，
，
∴，
∴当时，的最大值为；
（3）存在，设D点的坐标为，
过D作对称轴的垂线，垂足为G，
则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴或（舍）
∴，
∴，
连接，在中，
∴，
∴，
∴在以A为圆心，为半径的圆与y轴的交点为Q点，
此时，，
设为圆A的半径，
，
∴，
∴，
∴或，
综上所述：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，能够利用直角三角形和圆的知识综合解题是关键．