2023-2024学年福建省福州市平潭第一中学八年级上学期月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市平潭第一中学八年级上学期月考数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
（完卷时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．如果三角形的两边长分别为3和5，则第三边L的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
2．根据中国疾控中心“国家流感中心”发布的最新流感监测周报，2023年第8周，南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以甲流为主、亚型流感病毒共同流行．因此，生活中我们还是要做好防护、勤洗手，外出带好口罩．据了解，甲型流感病毒的直径大约是，这个数据用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，添加下列条件还不能判定的是（ ）

A．B．C．D．
5．若把分式中的和都扩大到原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的4倍B．扩大到原来的2倍
C．缩小到原来的D．不变
6．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C．D．
7．已知，则的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
8．《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，阴影部分是在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形．给出下列2种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（ ）

A．①B．②C．①②D．①②都不能
10．如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（ ）

A．8.4B．9.6C．10D．10.8
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
11．要使分式 有意义，则应满足的条件是 ．
12．分式与的最简公分母是 ．
13．若，，则的值为 ．
14．如图，在中，，线段的垂直平分线分别交于点D、E、连接、若，则的长为 .

15．多项式的最小值为 ．
16．若关于的分式方程有负整数解，则整数的值是 ．
三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
18．分解因式：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中．
20．解分式方程：
21．如图，点E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠A＝∠D＝90°．求证：∠B＝∠C．
22．为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A、B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用18万元购买A型充电桩与用24万元购买B型充电桩的数量相等，求A、B两种型号充电桩的单价各是多少万元？
23．如图，已知中，．

(1)请用基本尺规作图：作的角平分线交于点D，在上取一点E，使，连接．（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，求证：
24．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”． 如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”．
(1)已知分式，互为“和整分式”，则其“和整值”的值为_________；
(2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；②求的值；
(3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值．
25．如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且，满足．

(1)_________，_________；
(2)如图1，若点的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标；
(3)如图2，若点为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
答案与解析
1．B
【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，即可求得第三边的取值范围．
【详解】解：由三角形三边关系可得：，即．
故选：B．
2．D
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定解答．
【详解】解：．
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．B
【分析】根据同底数幂的乘法法则、积的乘方、完全平方公式、合并同类项分别进行计算，即可得到答案，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：A．,故选项错误，不符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：B．
4．A
【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即得答案．
【详解】解：，，，条件为边边角，不能证明，故A符合题意；
，，，条件为边角边，能证明，故B不符合题意；
，，，条件为角角边，能证明，故C不符合题意；
，，，条件为边角边，能证明，故D不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
5．D
【分析】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟练运用分式基本性质进行化简约分．
【详解】解：把分式中的和都扩大到原来的2倍，即，
故选：D．
6．A
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【详解】解：A、，故该选项符合题意；
B、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，没把一个多项式转化成几个整式积的形式（含有分式），不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查因式分解，这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．
7．C
【分析】根据完全平方公式得到，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解决此题的关键．
8．A
【分析】根据时间=路程÷速度，列出分式方程计算即可．
【详解】根据题意，得：，
故选A．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，列出方程是解题的关键．
9．C
【分析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式，即可得到答案．
【详解】解：在图①中，
左边的图形中阴影部分的面积为：，
右边图形中的阴影部分的面积为：，
故可得：，可验证平方差公式，符合题意；
在图②中，
左边的图形中阴影部分的面积为：，
右边图形中的阴影部分的面积为：，
故可得：，可验证平方差公式，符合题意；
故能够验证平方差公式的是：①②，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分的面积是解题的关键．
10．B
【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值．
【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：

则，
∴．
即的最小值为．
∵，，，，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为9.6．
故选：B．
【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键．
11．
【分析】本题考查分式有意义的条件，分母不等于零即可．
【详解】解：依题意得：，
解得；
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，最简公分母就是“各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”是解答此题的关键。由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案．
【详解】解：分式的分母，都是单项式，
分式与的最简公分母是，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算，直接利用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算将原式变形为，代入数值进行计算即可，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
14．4
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，求得，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵线段的垂直平分线分别交于点D、E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
15．
【分析】先利用分组分解法和配方法进行因式分解，再根据平方的非负性即可求解．
【详解】解：，
∵，，
∴，
∴当时，原式最小值为；，
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解和平方的非负性，熟练掌握完全平方公式和配方法是解题的关键．
16．5或6或8
【分析】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键．先解分式方程，当时，可得，再根据为负整数，且，为整数，逐一分析可得答案.
【详解】解： ，
，
，
当时，，
为负整数，且，为整数，
是4的负因数，
或或，
解得：或6或8，
当时，分式方程无解．
故答案为：5或6或8．
17．(1)
(2)
(3)3
(4)
【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算．
（1）先乘方，再计算除法，最后计算加减即可求解；
（2）根据乘法公式计算即可求解；
（3）根据同分母分式的减法计算即可求解；
（4）先乘方，再根据单项式的除法法则计算即可求解．
【详解】（1）解：

；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：

．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确计算．
（1）先提公因式，然后再用平方差公式分解因式；
（2）先提公因式，然后再用完全平方公式分解因式．
【详解】（1）解：

；
（2）解：
．
19．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则将式子化简，再代入进行计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
将代入得，原式．
20．x=1
【分析】分式有意义，则，先去分母，方程两边同乘以，转化为解一元一次方程，最后检验即可．
【详解】解：x-3+(x-2)=-3
x+x=-3+3+2
2x=2
x=1
检验：当x=1时，左边=3=右边
∴x=1是原方程的解
【点睛】本题考查解分式方程，其中涉及分式有意义的条件、一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21．见解析
【分析】先证BF=CE，再证Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），即可得出结论．
【详解】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，
∴△ABF和△DCE都是直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL），
∴∠B=∠C．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明Rt△ABF≌Rt△DCE是解题的关键．
22．型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元，利用数量总价单价，结合用18万元购买型充电桩与用24万元购买型充电桩的数量相等，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型充电桩的单价，再将其代入中，即可求出型充电桩的单价．
【详解】解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元．
23．(1)图见详解
(2)见详解
【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别、交于两点，再以这两点为圆心，大于这两点之间距离的一半为半径画弧，交于一点，然后连接点A和这一点，最后以点A为圆心，为半径画弧，进而问题可求解；
（2）根据证明，推出，，再证明，可得结论．
【详解】（1）解：图形如图所示：

（2）证明：平分，
，
在与中
，
，
，，，
．且，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24．(1)
(2)①；②的值为1
(3)的值为：1或
【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键．(1)根据定义求解即可；（2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数t且x为正整数，可得或，从而可得答案；（3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可．
【详解】（1）解：分式，互为“和整分式”，
，
其“和整值”的值为2；
（2）①，，
，
与互为“和整分式”，且“和整值”，
，
；
②，且分式的值为正整数且为正整数，
或，
或 ，
为正整数，
（舍去），则的值为1 ；
（3）由题意可得：，
，
，
，整理得：，
当，解得：，方程无解，
当，方程无解，则有增根，
将代入得，，解得：，
综上：的值为：1或．
25．(1)4，
(2)
(3)的值不发生变换，
【分析】（1）由非负数的性质即可求出的值；
（2）利用坐标的特点，通过证明，得到，即可得到答案；
（3）连接，则，证明，利用三角形的面积进一步解决问题
【详解】（1）解：，，，
，，
解得：，，
故答案为：4，；
（2）解：，，
，，
，
点的坐标为，
，
于点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：的值不发生变换，，
如图，连接，

，，
，
点为的中点，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、非负数的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形的面积等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．