2023-2024学年江苏省泰州市靖江市靖江外国语学校九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

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九年级数学独立作业 2023.12
（考试时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（共有6小题，每小题3分，共18分．）
1．下列函数中，y是x的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，小明为检验M、N、P、Q四点是否共圆，用尺规分别作了MN、MQ的垂直平分线交于点O，则M、N、P、Q四点中，不一定在以O为圆心，OM为半径的圆上的点是( )
A．点MB．点NC．点PD．点Q
3．如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，已知，，则的长为（ ）
A．8B．2C．4D．10
5．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于（ ）
A．B．48C．D．
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.请把答案直接写在答题卷相应位置上）
7．若，则 ．
8．方程的根为 ．
9．二次函数的顶点坐标为 ．
10．若圆锥的底面半径为3cm，母线长是5cm，则它的侧面展开图的面积为 cm2．
11．已知方程关于x的一元二次方程，则a的值为 ．
12．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是 ．（用“”连接）
13．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸．
14．如图，在中，，点E是的内心，过点E作交于点F，则的长为 ．
15．如图，为半圆O的直径，点O为圆心，点C是弧上的一点，沿为折痕折叠交于点M，连接，若点M为的黄金分割点，则的值 ．
16．如图，在中，是边的中点，于E．若F是边上的点，且使为等腰三角形，则的长为 ．
三、解答题(本大题共有10小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（1）计算：
（2）解方程：（用配方法）
18．先化简，再求值：．其中m，n是方程的两解．
19．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为，且，求m的值．
20．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使；
(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，经过点A．先过点F画的平行线交于M，N两点，再画弦的中点G．
21．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
22．图1、图2别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿与斜坡垂直，大腿与斜坡平行，G为头部，假设G、E、D三点共线且头部到斜坡的距离为，上身与大腿夹角，膝盖与滑雪板后端的距离长为，．
(1)求此滑雪运动员的小腿的长度；
(2)求此运动员的身高．（参考数据：，，）
23．如图，是的直径，点是上一点，与过点的切线垂直，垂足为，直线与的延长线交于点，弦平分，交于点，连接，．
(1)求证：平分；
(2)求的半径；
(3)若是的中点，求阴影部分的面积．
24．已知在平面直角坐标系中，原点O是正方形的对角线交点，点，过x轴正半轴上的动点作x轴垂线交过点B，C两点的抛物线于点Q（其中C为抛物线的顶点）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在四边形为菱形，若存在，求出m值；若不在，说明理由．
25．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，则把分别以为横坐标和纵坐标得到的点，称为该一元二次方程的“友好点”．
(1)若方程为，则该方程的“友好点”P的坐标为 ．
(2)若关于x的一元二次方程的“友好点”为P，过点P向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．
(3)是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”P始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．
26．以为直径作半圆，点C是该半圆上一动点，连接，并延长到点D，使，过点D作于点E、交于点F，连接．
（1）如图1，当点E与点O重合时，求的度数；
（2）如图2，当时，求线段的长；
（3）在点C运动过程中，若点E在线段上，是否存在以点为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时线段的长；若不存在，请说明理由．
答案与解析
1．B
【分析】本题考查二次函数的定义，根据“形如的式子叫二次函数”判断即可．
【详解】解：A. ，分母中有字母，不是整式函数，不符合题意；
B. 是二次函数，符合题意；
C. 是一次函数，不符合题意；
D. 是反比例函数，不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】连接OM，ON，OQ，OP，由线段垂直平分线的性质可得出OM=ON=OQ，据此可得出结论．
【详解】解：连接OM，ON，OQ，OP，
∵MN、MQ的垂直平分线交于点O，
∴OM=ON=OQ，
∴M、N、Q在以点O为圆心的圆上，OP与ON的大小关系不能确定，
∴点P不一定在圆上．
故选C．
3．A
【分析】本题考查网格中的锐角三角函数．利用勾股定理求出，勾股定理逆定理，得到，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可．
【详解】解：由图，可知：，
∴，
∴，
∴，，，，
综上：只有选项A是错误的，
故选A．
4．D
【分析】本题考查平行线分线段成比例．根据题意，得到，求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选D．
5．A
【分析】先根据方程有两个相等的实数根得到，再将带入即可得到，从而得到答案．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
故先：A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知当时方程有两个相等的实数根．
6．C
【分析】本题考查了菱形的性质，考查了菱形面积的计算，本题中求得，再根据 的值即可求得菱形的边长，即可求得点的坐标，代入反比例函数即可解题是解题的关键.
【详解】作，设，
∵四边形为菱形，
，
，
，
同理 ，
，
，
，
，
，
，
，解得：，
，
∴点坐标为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴代入点得：
故选: C.
7．
【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，代入，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
8．
【分析】移项后再因式分解求得两根即可；本题考查一元二次方程解法中的因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是本题的关键．
【详解】解：，
，
或,
解得，
故答案为： ．
9．
【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，掌握的顶点坐标为是解题的关键．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
10．15π
【分析】根据圆锥的侧面积计算公式计算即可．
【详解】解：底面半径为3cm，则底面周长=6πcm，侧面面积=×6π×5=15πcm2．
故答案为：15π．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面积公式．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且含未知数项的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，根据定义得到且是解题的关键．
【详解】解：∵方程关于x的一元二次方程，
∴且，
解得：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，解答关键是利用数形结合思想解答问题．先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为y轴，然后通过比较三个点到对称轴的远近确定函数值的大小．
【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为y轴，开口向下，
∴到y轴的距离最近，到y轴的距离最远，
∴．
故答案为：．
13．26
【分析】证明E为的中点，可得，设，则，，由勾股定理得：，可得，再解方程可得答案．
【详解】解：∵弦，为的直径，
∴E为的中点，
又∵（寸），
∴（寸），
设（寸），
则（寸），寸，
由勾股定理得：，
即，
解得，
∴（寸），
故答案为：26．
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理的应用，熟练的利用垂径定理解决问题是关键．
14．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过作，交于，根据平行线的性质和角平分线的定义可以得到，，证明，然后可以得到，设，则可得到，然后求解即可．
【详解】解：过作，交于，
则，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】过点作垂足为, 延长交半于点 连接 ，根据折叠的性质可得： ，从而可得，再根据黄金分割的定义可得 ，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而证明字模型相似三角形，进而利用相似三角形的性质可得，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得： ，从而可得，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】过点作垂足为, 延长交半于点 连接
由折叠得： ，
，
∵点为的黄金分割点，
，
∵为半圆的直径，
，
，
，
，
，
∵四边形是半的内接四边形，
，
，
，
，
在中,
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换 (折叠问题) ，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
16．，或
【分析】由相似三角形的性质可求的长，的长，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．
【详解】∵，，
∴，
∵是边的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，，
如图中，若时，
∴,
如图中，若时，过点E作于，
∵,
∴
∴,
∵，，
∴，
如图中，若时，过点作于，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，或．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
17．（1）；（2），
【分析】本题考查了解一元二次方程、实数的混合运算、二次根式的混合运算、特殊角的三角形函数值的混合运算：
（1）利用实数的混合运算、零次幂、二次根式的混合运算、特殊角的三角形函数值的混合运算即可求解；
（2）利用配方法即可求解；
熟练掌握相关运算法则及配方法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：（1）原式
．
（2）移项得：，
配方得：，
开方得：，
解得：，．
18．，
【分析】本题考查分式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系．先根据分式的混合运算法则，进行化简，根据根与系数的关系，得到，代入求值即可．掌握分式的运算法则，以及根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：原式
，
；
∵m，n是方程的两解，
∴，
∴原式．
19．(1)见解析
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程跟的判别式和根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系进行解题．
（1）利用根的判别式判断出即可解题；
（2）根据根与系数的关系得到方程，解题即可．
【详解】（1）证明：
，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵方程的两个实数根分别为，且，
∴，，
即：，
解得：，．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得点O即可；
（2）设与的交点为，根据网格的特点和平行线的求得直线交于M，N两点，然后连接，交于点D，连接并延长交与点G即可求解．
【详解】（1）如图所示，连接，相交于点O，
由网格可得，，
由网格的特点可得，
∵点A，C，B，在同一个圆上
∴
∴点和即为所要求作的D点；
∵
∴四边形是矩形，
∴，
∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，
∴点O即为所求作的点；
‘
（2）如图所示，∵，点A，C，N，M在上
∴
∴四边形是等腰梯形，
∴，
∴，且平分，
∴点G即为所求作的点．

【点睛】本题考查了复杂作图，利用了垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质等知识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键．
21．(1)20%
(2)50元/个
【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，“月销售利润达到10000元”列方程，求解即可．
【详解】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）在中，，，，即可得出；
（2）由（1）得，，则，在中，，，解得，，根据运动员的身高为可得出答案．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
∴．
故滑雪运动员的小腿的长度为；
（2）由（1）得，，∴．
∵，∴．
在中，，，．
∴，即：，
，即：，
解得，，
∴运动员的身高为（）
【点睛】本题考查解直角三角形的应用——坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，继而推得，根据等边对等角以及平行线的性质即可得证得；
（2）连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，根据角平分线的定义及弧、弦、圆周角的关系可得，再根据勾股定理可得，即可得出答案；
（3）过点作，证明为等边三角形，利用勾股定理求得，再根据进行计算即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵为的切线
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴的半径；
（3）过点作，
∴，
∵，是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆的切线性质，平行线的判定和性质，等角对等，角平分线的定义，直径所对的圆周角为直角，弧、弦、圆周角的关系，勾股定理，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形，求不规则图形的面积等知识点．解题的关键是运用切线的性质来进行计算或论证，通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．
24．(1)
(2)
【分析】（1）由正方形可得，抛物线解析式为，将点代入解析式即可求解；
（2）求出，，则，由菱形可知，则，解出m值即可；
【详解】（1）解：∵原点O是正方形的对角线交点，
∴，
∵，
∴，
设抛物线解析式为，
将点代入，
得，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
∵，
∴，
∵轴，，
∴，，
∴当时，四边形为平行四边形，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
此时，
∴，
∴时，四边形为菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数的图象及性质，坐标与图形的性质，正方形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
25．(1)
(2)或
(3)
【分析】本题属于一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，点P为该一元二次方程的“友好点”的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题．
（1）解方程后，根据定义即可求P点坐标；
（2）求出方程的解为或，再分情况讨论：当时，此时；当时，此时，当时，；再由题意分别求出m的值即可；
（3）由直线经过定点，则方程的友好点P为，即可求．
【详解】（1）解：解方程得，，
∴该方程的“友好点”P的坐标为，
故答案为：；
（2）的解为或，
当时，，
此时，
由题意可得，
解得；
当时，，
此时，
∴，
∴；
当时，，
此时，
解得；综上所述：m的值为或；
（3）存在b，c满足条件，理由如下：
∵，
∴直线经过定点，
∴方程的友好点为，
∴方程为
∴．
26．（1）；（2）；（3）存在，或
【分析】（1）连接．根据直角三角形的性质和圆的性质可得是等边三角形，再根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余即可得到的度数；
（2）连接．根据垂直平分线的性质可得，根据勾股定理和线段的和差关系可得和的长，再证明，根据相似三角形的性质即可得到EF的长；
（3）分两种情况：①时；②；代入数值化简计算，讨论即可求得线段的长．
【详解】解：（1）连接．
∵C为中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为直径，
∴，
∴；
（2）连接．
∵，则垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）答：存在，
当交点E在之间时；
①如图，当时，
，
则，
又∵，
∴；
②如图，当时，
则，
则，
则，
∴，而
，
∴，
∴，
∴，
经检验：符合题意，
综上所述：的长为或．
【点睛】考查了圆的综合题，涉及的知识点有直角三角形的性质和圆的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．