2023-2024学年四川省眉山市仁寿县鳌峰初级中学九年级上学期12月月考数学试题(含解析)

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九年级（上）数学试题2023.12
考试时间120分钟 总分150分
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
1．如果，那么x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
3．下列四组线段中，是成比例线段的是（ ）
A．3cm，4cm，5cm，6cmB．4cm，8cm，3cm，5cm
C．5cm，15cm，2cm，6cmD．8cm，4cm，1cm，3cm
4．方程的两个根为（ ）
A．B．C．D．
5．在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2+4x﹣3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣3，﹣6）B．（1，﹣4）C．（1，﹣6）D．（﹣3，﹣4）
6．如图，在中，点D在BC边上，连接AD，点C在线段AD上，，且交AD于点E，，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知a是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2020B．2021C．D．
8．在某篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场，设有x个队参赛，根据题意，可列方程为（）
A．B．
C．D．
9．如图，菱形，点M，N在AC上，，．若，，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（ ）
A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1
11．已知二次函数的图像如图，有下列5个结论：
①；②；③；④；⑤（的实数），其中正确的结论个数有（ ）

A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
12．方程的根是 ．
13．已知，则 ．
14．如果，且，则的值为 ．
15．已知与是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为，点B的坐标为，则点的坐标为 ．
16．已知点，，都是抛物线（m为常数）的点，则将，，用“<”连接为 ．
17．如图，是等边三角形，是等腰直角三角形，，于点E，连CD分别交AE、AB于点F，G，过点A作交BD于点H．则下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有 （填序号）．
三、解答题：本大题共8个小题，共78分
18．计算：．
19．．已知，，求和的值．
20．如图，在和中，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
21．已知抛物线与直线如图所示．
(1)求交点A，B的坐标；
(2)求的面积；
(3)直接写出不等式的解集．
22．已知关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足x12+x22=16+x1x2，求实数k的值．
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)若企业一天想获得4000元的利润，则销售单价应定为多少？
(2)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；并求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．如图，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M．
(1)求证：△EDM∽△FBM；
(2)若F是BC的中点，BD＝12，求BM的长；
(3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，点P是线段BD上的动点，是否存在点P使DP•BP＝BF•CD，若存在，求出∠CPF的度数；若不存在，请说明理由．

25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线对应的函数表达式．
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的动点，若以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，请求出所有的Q点的坐标．
参考答案与解析
1．A
【分析】由二次根式的性质可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：；
故选A．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据抛物线的顶点坐标是，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图形和性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标是是解题的关键．
3．C
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A．，故选项错误，该选项不符合题意；
B．，故选项错误，该选项不符合题意；
C．，故选项正确，该选项符合题意；
D．，故选项错误，该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
4．D
【分析】将进行因式分解，，计算出答案．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程．
5．C
【分析】首先得出二次函数y=2x2+4x-3=2（x+1）2-5，再求出将二次函数y=2（x+1）2-5的图象向右平移2个单位的解析式，再求出向下平移1个单位的解析式即可y=2（x-1）2-6，从而求解．
【详解】解： y=2x2+4x-3=2（x+1）2-5，
∵将二次函数y=2（x+1）2-5的图象向右平移2个单位的解析式，再求出向下平移1个单位，
∴y=2（x-1）2-6，
∴顶点坐标为（1，-6）．
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的平移性质．
6．C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理及相似三角形的性质及判定，根据，可得，根据，可得，再根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
故选项A错误；
∵，
∴，，，
∴
故选项B错误；C正确，
∵，，
∵，，
故选项D错误；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的化简求值．本题考查了一元二次方程的解，先根据一元二次方程根的定义得到，再化简所求代数式，得出，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∵
=
∴原式，
故选D．
8．A
【分析】共有x个队参加比赛，则每队参加（x-1）场比赛，但2队之间只有1场比赛，根据共安排36场比赛，列方程即可．
【详解】解：设有x个队参赛，根据题意，可列方程为：
x（x﹣1）＝36，
故选A．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系.
9．B
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，根据菱形的对角线平分一组对角可得，然后求出和相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可．
【详解】如图， 在菱形中，，
又∵，，
∴．
∴，
∴，
即，
解得．
故选B．
10．D
【分析】设x2﹣2x+1＝a，则（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0化为a2+2a﹣3＝0，求出方程的解，再判断即可．
【详解】解：设x2﹣2x+1＝a，
∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，
∴a2+2a﹣3＝0，
解得：a＝﹣3或1，
当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，
即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无实数解；
当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，此时方程有解，
故选：D．
【点睛】此题考查换元法解一元二次方程，借助另外设未知数的方法解一元二次方程使理解更容易，计算更简单.
11．B
【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：由对称知，当时，函数值大于0，即，故③正确；
由图象可知：图象开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴交于正半轴，
则，，，故，故①错误；
当时，，即，当时，，即，故②错误；
当时函数值小于0，，且，
即，代入得，得，故④正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，故⑤正确．
综上所述，③④⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数系数符号，熟知系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定是解题的关键．
12．，
【分析】此题考查的是解一元二次方程，先移项，然后对方程左边因式分解，然后利用因式分解法解答即可．
【详解】解：
∴或
解得：，
故答案为：，．
13．9．
【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的值，再求出y的值，得到结果．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
则．
故答案是：9．
【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件．
14．
【分析】此题考查了比例的性质，设，得出，，，再根据，求出的值，从而得出，，的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：设，
则，，，
，
，
，
，，，
；
故答案为．
15．或
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形．且相似比为，点B的坐标为，
∴点B的对应点的坐标为或，即或，
故答案为：或．
16．
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越小，据此求解可得．
【详解】解：∵抛物线中，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴离对称轴水平距离越远，函数值越小，
∵由二次函数图象的对称性可知，
∴．
故答案为：．
17．①③④⑤
【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知是等腰三角形且顶角，据此可判断；②求出和度数，从而得出度数，据此可判断；③证明即可判断；④由、即可得证；⑤设，则、，设，由知，根据是等腰直角三角形，，据此得出，证得，从而得出与的关系即可判断．
【详解】解：∵为等边三角形，为等腰直角三角形，
∴、、、，
∴是等腰三角形，且顶角，
∴，故①正确；
∵，，即，
∴，
∴，，
∴，
由知，故②错误；
记与的交点为，
由且知，
则，
在和中，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，故④正确；
在中，设，则、，
设，
∵，
∴，
中，∵、，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
整理，得：，
由得，即，故⑤正确；
综上所述：正确的说法有①③④⑤，
故答案为①③④⑤．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．
18．
【分析】本题考查了负整数指数幂、二次根式的性质、零次幂和绝对值；
先利用负整数指数幂、二次根式的性质、零次幂和绝对值的性质化简，再计算即可．
【详解】解：原式
．
19．，
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式的应用，熟练掌握有理化的基本步骤是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
．
20．(1)见解析
(2)的长为9
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）牢记“两角对应相等的两个三角形相似”；（2）牢记“相似三角形面积的比等于相似比的平方”．
（1）由，可得出，结合，可证出；
（2）由，利用相似三角形的性质可得出，结合，可求出的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即．
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，即，
∴或（不合题意，舍去），
∴的长为9．
21．(1)，
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，
（1）联立两个函数解析式得方程组，解方程组即可得出交点坐标，．
（2）把代入直线解析式求出点C的坐标，根据求解．
（3）由图像可知不等式的解集就是抛物线在直线下方时对应的x的取值范围．
【详解】（1）解：联立两个函数解析式得
，解得：，
∴，
（2）设直线与y轴交点为C，如图，
当时，
∴点C坐标为
∴
=
；
（3）∵点A横坐标为，点B横坐标为1，
由图象知时抛物线在直线下方．
∴不等式的解集为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握坐标系内三角形面积的求法．
22．(1) k≤;(2)-2.
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=﹣4k+5≥0，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=1﹣2k、x1x2=k2﹣1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2中，解之即可得出k的值．
【详解】（1）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴△=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5≥0，解得：k≤，
∴实数k的取值范围为k≤．
（2）∵关于x的方程x2+（2k﹣1）x+k2﹣1=0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2=1﹣2k，x1x2=k2﹣1．
∵x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=16+x1x2，
∴（1﹣2k）2﹣2×（k2﹣1）=16+（k2﹣1），
即k2﹣4k﹣12=0，
解得：k=﹣2或k=6（不符合题意，舍去）．
∴实数k的值为﹣2．
23．(1)元或元
(2)销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，为数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解决本题的关键是二次函数图象的性质．
（1）设销售单价为x元，根据利润售价成本销售量列方程解题即可；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，根据“利润售价成本销售量”列出每天的销售利润（元）与销售单价（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
【详解】（1）设销售单价为x元时，每天的销售利润为元，
则，
解得：或，
故销售单价为元或元时，每天的销售利润为元；
（2）设销售单价为x元时，每天的销售利润为y元，
由题意得：，
∵，
∴抛物线开口向下．
∵，对称轴是直线，
∴当（元）时，（元）；
即销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
24．(1)证明见解析；(2)BM＝4；(3)存在，∠CPF＝30°．
【分析】(1)根据题意及中点的性质得出四边形CBED是平行四边形，根据平行的性质得出∠EDB＝∠FBM，∠DME＝∠BMF，从而得出△EDM∽△FBM；
(2)根据(1)中三角形相似的比例关系即可推理得出答案;
（3）先由角平分线的定义和平行线的性质可得DC＝BC，结合DP•BP＝BF•CD可证明△PDC∽△FBP，从而∠BPF＝∠PCD，利用三角形内角和及平角定义可证∠PDC＝∠CPF，然后通过证明△ADE是等边三角形，可进一步求出结论.
【详解】(1)证明：∵AB＝2CD，点E是AB的中点，
∴DC＝EB．
又∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形．
∴ED∥BC．
∴∠EDB＝∠FBM．
又∵∠DME＝∠BMF，
∴△EDM∽△FBM；
(2)解：∵△EDM∽△FBM，
∴，
∵F是BC的中点，
∴DE＝BC＝2BF，
∴DM＝2BM，
∴DB＝DM+BM＝3BM，
∵DB＝12，
∴BM＝DB＝×12＝4；
(3)存在，∵DC∥AB，
∴∠CDB＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∴∠CDB＝∠CBD，
∴DC＝BC，
∵DP•BP＝BF•CD，
∴，
∴△PDC∽△FBP，
∴∠BPF＝∠PCD，
∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°，
∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°，
∴∠PDC＝∠CPF，
∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝60°，
∴∠EDB＝∠PDC＝30°，
∴∠CPF＝30°．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，同时考查了三角形相似的判定及性质，等边三角形的判定与性质，难度适中．此题的综合性较强，需要灵活运用平行四边形的判定及性质，以及三角形相似的判定及性质.
25．(1)
(2)，
(3)或或或
【分析】（1）先假设出函数解析式，利用三点法求解函数解析式；
（2）设出M点的坐标，利用 即可进行解答；
（3）当OB是平行四边形的边时，表示出PQ的长，再根据平行四边形的对边相等列出方程求解即可；当OB是对角线时，由图可知点A与P应该重合．
【详解】（1）解：设此抛物线的函数解析式为：，
将，，三点代入函数解析式得：
，
解得，
所以此函数解析式为：；
（2）解：∵点的横坐标为，且点在这条抛物线上，
∴点的坐标为：，
∴
∵，
当时，有最大值为：．
答：时，有最大值．
（3）解：设．
当为边时，根据平行四边形的性质知，且，
∴的横坐标等于的横坐标．
又∵直线的解析式为，则．
由，得，
解得，，．（不合题意，舍去）
如图，当为对角线时，知与应该重合，．
四边形为平行四边形则，横坐标为4，
代入得出为．
由此可得或或或．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，理解相关知识是解答关键．