2024年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（三）

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【答案】A
【解析】由题意得 ,
令 ，，该函数在R上为单调增函数，且 ，
故函数有两个不同的零点，即有两个不同的零点，
令即直线与的图象有两个不同交点，
又，当时，递增，当时，递减，
则，当时，，
作出其图象如图：
由图象可知直线与的图象有两个不同交点，需有，
故选：A.
2．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）如图，把一个长方形的硬纸片沿长边所在直线逆时针旋转得到第二个平面，再沿宽边所在直线逆时针旋转得到第三个平面，则第一个平面和第三个平面所成的锐二面角大小的余弦值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，把两个单位正方体叠放在一起，
平面，平面，平面分别代表第一，二，三个平面，
四边形为正方形，，
平面，平面，，
，平面，平面；
同理可得：平面；
平面的法向量为，平面的法向量为，
，，
，，即与的夹角为，
所求锐二面角的大小的余弦值是.
故选：C．
3．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知，为两个相互垂直的单位向量，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因，为两个相互垂直的单位向量，不妨设，，
因，可设，其中，
则，，，
，
，
，
设，，
则，
其中表示点与点的距离，表示点与点的距离，
如图
设点与点所在的直线为，则其方程为：，即，
联立，得或，
即当或，时，取的最小值，
所以的最小值为，
故选：B
4．（2023·广东佛山·高三校联考阶段练习）已知正项数列的前n项和为，且，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题设，则，
又都为正项，则，故，
所以，
所以，故.
故选：C
5．（2023·广东佛山·高三校联考阶段练习）如图，某公园有一个半径为2公里的半圆形湖面，其圆心为O，现规划在半圆弧岸边取点C、D、E，且，在扇形区域内种植芦苇，在扇形区域内修建水上项目，在四边形区域内种植荷花，并在湖面修建栈道和作为观光线路.当最大时，游客有更美好的观赏感受，则的最大值为（ ）
A．B．4C．D．6
【答案】C
【解析】设，则，
，则、为正数.
在三角形中，连接，由余弦定理得：，
在三角形中，由余弦定理得：
，
所以,
由于，所以当时，取得最大值，
也即时，取得最大值为.
故选：C
6．（2023·广东广州·高三仲元中学校考阶段练习）设，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0