2024扬州中学高二上学期12月月考试题数学含解析

这是一份2024扬州中学高二上学期12月月考试题数学含解析，共23页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知等差数列中，，则公差（ ）
A. 4B. 3C. D.
2. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
3. 设是等比数列，下列说法一定正确的是（ ）
A. 成等比数列B. 成等比数列
C 成等比数列D. 成等比数列
4. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 182B. 128C. 56D. 42
5. 已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于（ ）
A B. 2C. D. 4
6. 已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A. 3B. 2C. D.
7. 对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为（ ）
A. B. C. D. 63
8. 若过点可作函数图象两条切线，则必有（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A B.
C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相交
C. 设，则
D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
12. 已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，，，，已知成等差数列，公差为d，则（ ）
A. 成等差数列B. 若，则C. D.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则______.
14. 已知三个互不相等的一组实数，，成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数，，为______.
15. 设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为_______________________．
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的通项公式.
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
19. 已知是等差数列前项和，，公差且 从“①为与的等比中项”，“②等比数列的公比”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列存在并作答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
20. 已知圆，点，过轴下方一点作圆的切线与轴分别交于，两点.
（1）过点直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）当时，求点的坐标.
21. 设函数，其中为自然对数的底数.
（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；
（2）若直线是函数的切线，求实数的值；
22. 已知椭圆和抛物线，点F为的右焦点，点H为的焦点．
（1）过点F作的切线，切点为P，求抛物线的方程；
（2）过点H的直线l交于P，Q两点，点M满足，（O为坐标原点），且点M在线段上，记的面积为的面积为，求的取值范围．扬州中学高二数学阶段检测试卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）
1. 已知等差数列中，，则公差（ ）
A. 4B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式即可求解.
【详解】在等差数列中，，
所以有．
故选：B
2. 已知，则（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出导数，再代入求值即可．
【详解】由，则，所以．
故选：C．
3. 设是等比数列，下列说法一定正确是（ ）
A. 成等比数列B. 成等比数列
C. 成等比数列D. 成等比数列
【答案】D
【解析】
【详解】
项中，故项说法错误；项中，故项说法错误； 项中，故项说法错误；故项中，故项说法正确，故选D.
4. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ）
A. 182B. 128C. 56D. 42
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得的值，代入公式，即可求得；
【详解】设等差数列的首项为，公差为d，
由，，得，
解得，所以；
故选:D.
5. 已知双曲线的渐近线方程为，则E的焦距等于（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】利用双曲线的渐近线方程求出，然后利用求出c，即可求出焦距.
【详解】双曲线的渐近线方程为，可得：，
所以，所以焦距为.
故选：D
6. 已知点，若点C是圆上的动点，则面积的最小值为( )
A. 3B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出直线的方程和线段的长度，利用圆心到直线的距离再减去圆的半径得出的高的最小值，即可求解.
【详解】由题意，易知直线的方程为，且,
∵圆可化为，
∴圆心为，半径为1，
又∵圆心到直线的距离，
∵的面积最小时，点C到直线的距离最短，该最短距离即圆心到直线的距离减去圆的半径，
故面积的最小值为.
故选：D.
7. 对于如图所示的数阵，它的第11行中所有数的和为（ ）
A. B. C. D. 63
【答案】C
【解析】
【分析】求出第11行第一个数为-56，最后一个数为-66，即得解.
【详解】解：前10行的数共有（个），
所以第11行第一个数为-56，最后一个数为-66，
则第11行所有数的和为.
故选：C
8. 若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
【详解】设切点为，，
又，所以切线斜率，
所以切线方程为，
又切线过点，
则，，
即，
由过点可作两条切线，
所以有两个正根，
即，整理可得，
故选：C.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 已知等比数列是单调数列，设是其前项和，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式和前项和求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
则有，解得或，
当时数列不是单调数列，所以，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，
，
所以成立，故D正确.
故选:BD
10. 下列函数在定义域上为增函数的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】利用导数研究函数的单调性一一判定选项即可.
【详解】由在上是增函数，故A正确；
对于函数，当时，，当时，，所以在定义域上不是增函数，故B错误；
函数的定义域为，所以在定义域上是增函数，故C正确；
，
定义域为，
在定义域内不是增函数，故D错误；
故选：AC.
11. 已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 以为直径的圆与准线相交
C. 设，则
D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据焦点弦公式即可判断A；求出线段的中点坐标及圆的半径，从而可判断B；根据抛物线的定义可得，即可判断C；分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，结合根的判别式即可判断D.
【详解】抛物线焦点，准线，
由题意，故A正确；
因为，则以为直径的圆的半径，
线段的中点坐标为，则线段的中点到准线的距离为，
所以以为直径的圆与准线相切，故B错误；
抛物线的焦点为，，
当且仅当三点共线时，取等号，所以，故C正确；
对于D，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点，
当直线斜率存在时，设直线方程为，联立，消得，
当时，方程的解为，此时直线与抛物线只有一个交点，
当时，则，解得，
综上所述，过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线有3条，故D正确．
故选：ACD．
12. 已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，设，，，，已知成等差数列，公差为d，则（ ）
A 成等差数列B. 若，则C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，由椭圆定义及成等差数列，得到，，，，故，A正确；B选项，在A选项基础上得到，，，设出直线的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由得到，由弦长公式得到，联立得到；C选项，由焦半径公式推导出，C正确；D选项，在的基础上，得到，D错误.
【详解】A选项，由椭圆定义可知：，
又成等差数列，故，
则，则，则，，
又，
故，故A正确；
B选项，若，此时，，故，且，
设，因为直线斜率一定不为0，
设直线为，与联立得：
，即
则，
因为，所以，
联立解得，故
由弦长公式可得：，
所以，平方得：，
其中，
故，解得：，即，
由可得：，
整理得：，即，
故，解得：或，
因为，所以舍去，故，B正确；
C选项，设椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，
下面证明，，
过点M作MA⊥椭圆的左准线于点A，作MB⊥椭圆右准线于点B，
则有椭圆的第二定义可知：，
其中，
则，，
故，故，
，故，所以，C正确；
D选项，设直线为，由得：，故，D错误.
故选：ABC
【点睛】椭圆焦半径公式：
（1）椭圆上一点，其中椭圆左右焦点分别为，
则，，
（2）椭圆上一点，其中椭圆下上焦点分别为，
则，，
记忆口诀：左加右减，下加上减.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数的导数公式求解.
【详解】解：因为，
所以，
故答案为：
14. 已知三个互不相等的一组实数，，成等比数列，适当调整顺序后，这三个数又能成等差数列，满足条件的一组实数，，为______.
【答案】，2，（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据等差数列、等比数列的定义求解.
【详解】，2，成等比数列，而，，2成等差数列，
∴，，可取，2，.
故答案为: ，2，.（答案不唯一）
15. 设是双曲线的左、右焦点，是坐标原点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为_______________________．
【答案】
【解析】
【分析】由与互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到关于的方程.
【详解】如图所示：
因为焦点到渐近线的距离为，所以，则，所以，
因为，所以，
解得：.
【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到关系求得离心率.
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，圆．若圆上存在两点A，B，且圆上恰好存在一点P，使得四边形OAPB为矩形，则实数a的取值集合是_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，OP中点，求出P点的轨迹方程，因P又在圆上，所以两圆有且仅有一个公共点，所以或，求解即可得出答案.
【详解】设，OP中点，D也是AB中点，，
因为D也是AB中点，所以，
，
因为在圆内，所以，∴，
又因为，，所以，
∴，
∴P在上，P又在圆上，满足条件的P恰好有一个点，
∴两圆有且仅有一个公共点，
∴或，
或或0或2，所以a的取值集合．
故答案为：.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的通项公式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）因为，所以，两式相减整理得数列为等比数列，进而得通项；
（2）由得，直接利用“累加法”可得数列的通项公式.
【详解】（1）因为，
所以，
所以当时，，
整理得，
由，令，得，解得，
所以是首项为1，公比为2的等比数列.所以.
（2）由得.
累加得，
当时也满足上式，所以.
18. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【答案】（1）
（2）切线方程为，切点为.
【解析】
【分析】（1）求导得到导函数，计算，得到切线方程.
（2）设切点，求导计算得到斜率，确定函数切线，根据切线过原点得到，计算得到答案.
【小问1详解】
，，.
故曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2详解】
设切点为，，
切线方程为，.
切线经过原点，故，所以，，
故，切点为，切线方程为，
即过原点的切线方程为，切点为.
19. 已知是等差数列前项和，，公差且 从“①为与的等比中项”，“②等比数列的公比”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列存在并作答.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求.
【答案】（1）答案见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）分别选择①和②列方程计算，解得基本量，利用公差判断得①符合条件，即得通项公式；
（2）利用裂项相消法求和即可.
【详解】解：（1）若选①，为与的等比中项，则，
由为等差数列，，得
把代入上式，可得，即
解得或，又因为公差，故，
，故；
若选②，等比数列的公比，
可得，即，即有即，
又，可得，即，
解方程得，不符合题意，故选①，
此时；
（2）因为，所以
.
【点睛】结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
20. 已知圆，点，过轴下方一点作圆的切线与轴分别交于，两点.
（1）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）当时，求点的坐标.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线的方程为，根据点到直线的距离等于半径列方程求解即可；
（2）设直线的方程为，根据点到直线的距离等于半径列方程求出，进而根据点横坐标为即可求解.
【小问1详解】
由题知，直线的斜率一定存在，所以设直线的方程为，
整理得，
因为直线被圆C截得的弦长为，所以圆心C到直线的距离，
又因为，解得或，
所以直线的方程为或；
【小问2详解】
当时，，，
因为直线，都是圆C的切线，所以直线的方程为；
此时直线的斜率一定存在，设其方程为，即，
圆心C到直线的距离，解得或（舍去），
则直线，把代入，解得，
所以点Q坐标为.
21. 设函数，其中为自然对数的底数.
（1）若在定义域上是增函数，求的取值范围；
（2）若直线是函数的切线，求实数的值；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得在上恒成立；即在上恒成立，令，利用导数求出其最小值即可；
（2）设切点为，则，由题意得，得，，令，利用导数求出其单调区间和最值即可
【详解】（1）函数的定义域为，，
∵在上是增函数
∴在上恒成立；即在上恒成立
设，则
由得
∴在上为增函数；即
∴.
（2）设切点为，则，
因为，所以，得，
所以.
设，则，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以.
因为方程仅有一解，
所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，解题的关键是由题意得，，得到，然后构造函数，利用导数求得，从而得，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题
22. 已知椭圆和抛物线，点F为的右焦点，点H为的焦点．
（1）过点F作的切线，切点为P，求抛物线的方程；
（2）过点H的直线l交于P，Q两点，点M满足，（O为坐标原点），且点M在线段上，记的面积为的面积为，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】设直线的方程为：，联立可得：．求出的坐标，然后求解，推出抛物线方程；
设点，直线方程为：，联立可得：．利用韦达定理，结合又，求出的纵坐标的范围然后求解三角形的面积的比值，推出结果即可．
【小问1详解】
由题可知：设直线的方程为：，
联立可得：．
则△，故且，即点,
故，所以，抛物线的方程：；
【小问2详解】
设点，直线方程为：，
联立可得：．
故，从而，
又，则，
从而，且，则，
从而，
，
由此可得．