重庆市江津区16校联盟学校2023-2024学年八年级上学期12月定时作业 数学试题（含解析）

这是一份重庆市江津区16校联盟学校2023-2024学年八年级上学期12月定时作业 数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初2025届数学题卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．第19届杭州亚运会刚刚落下帷幕，在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．要使分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的对角线条数为（ ）
A．3B．4C．9D．18
5．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，的周长是，则的长为（ ）

A．B．C．D．
6．小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，，相交于点，，要使，则补充下列其中一个条件后，不一定能推出的是（ ）

A．B．C．D．
8．下列说法错误的是（ ）
A．直角三角形两锐角互余
B．直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等
C．如果两个三角形全等，则它们一定是关于某条直线成轴对称
D．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
9．设a、b、c是的三边，化简：（ ）
A．B．C．0D．
10．设a，b是实数，定义一种新运算：．下面有四个推断：
①，②，③，④，
其中所有正确推断的序号是（ ）
A．①②③④B．①③④C．①③D．①②
二、填空题（每小题4分，共32分）
11．已知则 .
12．如图，是等边三角形的边上的高，，点M是边上的动点，点E是边的中点，则的最小值为 ．

13．若，，则的值是 ．
14．如图，在中，点分别是线段的中点，且，则 ．

15．因式分解： ．
16．如图，已知，要使，还要添加什么条件？添加 ；判定全等的理由是 ．（只需写出一个条件即可，不添加任何字母和辅助线）

17．给定一列分式：，，，，…（其中x≠0），用任意一个分式做除法，去除它后面一个分式得到的结果是 ；根据你发现的规律，试写出第6个分式 ．
18．如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为 ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是 ．
三、解答题（19小题8分，20—26小题10分共78分）
19．按要求解答下列各题．
(1)计算：；
(2)分解因式：．
20．先化简，再求值：，其中，．
21．如图，在，．
(1)作垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)连接，若，的周长是17，求的周长．
22．如图，已知和都是等腰直角三角形，，，，分别交，于点M，F．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，，的坐标分别为，，.

(1)画出关于轴对称的，并写出顶点的坐标；
(2)求的面积.
24．我们规定：，例如．
(1)试求和的值；
(2)判断与（的值均不相等）的值是否相等？请说明理由．
25．在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
【发现】
（1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ；
【应用】
（2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②如果一个长方形的长和宽分别为和，且，求这个长方形的面积．
26．阅读理解
半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．

【问题背景】
如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________．
【探索延伸】
如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【结论运用】
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．

1．D
【分析】此题考查了轴对称图形即沿着某条直线折叠，直线两旁的部分完全重合，熟练掌握定义是解题的关键，根据定义逐项判断即可．
【详解】、此选项不是轴对称图形，不符合题意；
、此选项不是轴对称图形，不符合题意；
、此选项不是轴对称图形，不符合题意；
、此选项是轴对称图形，符合题意；
故选：．
2．B
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查了合并同类项、完全平方公式、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：A. ，故此选项错误，不符合题意；
B. ，故此选项错误，不符合题意；
C. ，故此选项错误，不符合题意；
D. ，故此选项正确，符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理与多边形的对角线条数多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数，然后根据对角线的总条数计算即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于，
∴多边形的边数为．
∴对角线的总条数，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质；先根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，
的周长是，
，
，
故选：A．
6．B
【分析】只需要作A关于直线l的对称点，连接对称轴与点B交直线l与点P，点P即为所求（作B关于直线l的对称点亦可）；
【详解】解：根据两点之间线段最短可知，只需要作A关于直线l的对称点，连接B与A关于直线l的对称点与直线l的交点即可所求，则只有选项B符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了轴对称—最短路径问题，正确理解题意是解题的关键．
7．C
【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理依次分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴当添加时，可根据“”判断；
当添加时，可根据“”判断；
如果添加，则根据“SSA”不能判定；
当添加时，可根据“SAS”判断．
观察四个选项，选项C符合题意，
故选：C．
8．C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定．根据直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定等知识，一一判断即可．
【详解】解：A、直角三角形两锐角互余，故A不符合题意；
B、直角边、斜边分别相等的两个直角三角形全等，故B不符合题意；
C、如果两个三角形全等，则它们不一定是关于某条直线成轴对称，故C符合题意；
D、与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故D不符合题意．
故选：C．
9．C
【分析】根据a、b、c是的三边得，，化简绝对值即可得．
【详解】解：∵a、b、c是的三边，
∴，，
∴
=
=0
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，绝对值，解题的关键是掌握这些知识点．
10．C
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
①∵，，
∴，故正确；
②∵，，
∴，故错误；
③∵，，
∴，故正确；
④∵，，
∴，故错误．
综上，正确的是①③．
故选：C．
【点睛】本题考查了实数的运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则将原式变形得出答案．
【详解】∵xa=2，xb=3，
∴x3a+2b=（xa）3（xb）2
=23×32
=.
故答案是：.
【点睛】考查了幂的乘方运算以及同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
12．6
【分析】连接，与交于点M，则就是的最小值，通过三角形全等的性质，可得即可得出结论．
【详解】解：连接，与交于点M，如图所示：

∵，是等边三角形的边上的高，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴就是的最小值，
∵E是等边的边的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为6，
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质—“三线合一”、等边三角形的性质和垂直平分线的性质，三角形全等的判定和性质等知识的综合应用，解题关键是找到M点的位置．
13．6
【分析】本题考查了因式分解的应用，先分解因式，再把，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：6．
14．4
【分析】由点是的中点，可得，则，由点是的中点，可得，计算求解即可．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∴，即，
∵点是的中点，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了中线的性质．解题的关键在于熟练掌握：中线把三角形分成面积相等的两个部分．
15．
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
16． （答案不唯一） （答案不唯一）
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握判定方法，能根据不同的判定方法添加相应的条件是解题的关键．
【详解】解：添加，
在和中
，
（），
故答案为：，．
17． -
【分析】根据题中所给的式子计算并找出规律，根据此规律找出所求式子．
【详解】（1）÷=；÷（）=…规律是任意一个分式除以前面一个分式恒等于；
（2）∵由式子：，，，，…，发现分母上是y1，y2，y3，…故第6个式子分母上是y6，分子上是x3，x5，x7，故第6个式子是x13，再观察符号发现第偶数个为负，第奇数个为正，
∴第6个分式应该是-．
故答案为： ，-
【点睛】考核知识点：分式的除法.分析规律，掌握分式的除法法则是关键.
18． 8165
【分析】根据递减数的定义进行求解即可．
【详解】解：∵ 是递减数，
∴，
∴，
∴这个数为；
故答案为：
∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，
∴，
∵，
∴，
∵，能被整除，
∴能被9整除，
∵各数位上的数字互不相等且均不为0，
∴，
∵最大的递减数，
∴，
∴，即：，
∴最大取，此时，
∴这个最大的递减数为8165．
故答案为：8165．
【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据整式混合运算法则计算即可；
（2）先运用完全平方公式进行因式分解，再运用平方差公式因式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算、因式分解等知识点，掌握整式的混合运算法则以及利用公式法因式分解成为解答本题的关键．
20．，
【分析】本题考查的是多项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握“”和“”是解题的关键．
【详解】解：原式
当，时，
原式
．
21．(1)见解析；
(2)的周长为．
【分析】此题考查了垂直平分线的作法和垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题的关键；
（）分别以点，点为圆心，以大于长度为半径画弧交的两侧于两个交点，，连接，交于点，交于点，连接即可；
（）先根据垂直平分线性质将的周长转化为的长，再将三边相加即得．
【详解】（1）如图所示，分别以点，点为圆心，以大于长度为半径画弧交的两侧于两个交点，，连接，交于点，交于点，连接；
∴为所求；
（2）∵是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为．
22．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）本题考查的是全等三角形的判定，先证明，再利用证明即可；熟练的证明是解本题的关键；
（2）本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，含的角的直角三角形的性质；先证明，，可得，从而再利用含的直角三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
在与中，
∵
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴．
23．(1)作图见解析，；
(2)6.5
【分析】本题考查了作图轴对称变换：熟练掌握关于轴对称的点的坐标特征．
（1）利用关于轴对称的点的坐标特征找到、、的对称点、、，然后作出，再写出顶点的坐标；
（2）用一个矩形的面积减去三个直角三角形的面积计算的面积．
【详解】（1）如图，为所作；顶点；

（2）的面积．
24．(1)，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据，分别代入a、b的值，再根据同底数幂的乘法计算即可；
（2）根据分别计算与，进而得出结论．
【详解】（1）解：，
；
（2）∵，
∴，
，
∵的值均不相等，
∴．
【点睛】本题考查同底数幂的乘法运算和新定义运算的含义，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键．
25．（1）；（2）①；②这个长方形的面积为．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算．
（1）由图形得出完全平方公式即可；
（2）①根据完全平方公式计算出的值即可；
②令，，则，，根据完全平方公式计算即可．
【详解】解：（1）由图2可知，大正方形的边长为，即大正方形的面积为，
因大正方形由1个边长为和1个边长为的正方形及2个长为、宽为的长方形构成，
由此可得：．
故答案为：；
（2）①由可得：，
将，代入
得：，
解得：；
②令，，则，，
整体代入可得：
，
∴，
故这个长方形的面积为．
26．【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】
【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解．
【详解】解：【问题背景】，理由如下，
如图所示，

∵，，
∴将绕点逆时针旋转得，与重合，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴点共线，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【初步探索】根据题意，，延长至点，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【探索延伸】仍然成立，理由如下，
如图所示，延长至点，使得，

∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，且，
∴；
【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，

根据题意可得，，，，，
∴在中，，，则，
∴，
∵，
∴，
∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时，
∴（海里），（海里），
如图所示，延长至点，使得，则，

在中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴在中，
，
∴，
∴，
∴（海里），
∴此时两舰艇之间的距离为海里，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的的关键．