重庆市开州区开州区云枫初级中学2023-2024学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市开州区开州区云枫初级中学2023-2024学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了作图请一律用黑色签字笔完成；等内容，欢迎下载使用。

八年级数学试题
总分150分 时间120分钟
注意事项：
1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成；
4.考试结束，由监考人员将答题卡收回．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．下列图形不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．在代数式中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．已知两条线段的长度分别为2和5，则下列长度的线段可以和它组成三角形的是（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．下列说法中错误的是（ ）
A．两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形全等
B．三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和
C．等腰三角形的角平分线、高和中线“三线合一”
D．三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分
6．下列说法错误的是（ ）
A．代数式不是分式B．分式的值不可能为0；
C．分式是最简分式D．分式中的都扩大为原来的2倍，分式的值不变
7．如图，已知，点B，F，C，E在同一条直线上，若，则线段的长为（ ）

A．2B．2.5C．3D．5
8．如图，在中，，，于点E，若，的周长为10，则的长为（ ）

A．B．3C．D．4
9．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）

A．B．
C．D．
10．已知整式则下列说法中正确的有（ ）个．
①存在的值，使得；
②若，则；
③若则；
④若为常数，若关于的多项式不含常数项，则有最小值为．
A．0B．1C．2D．3
二、填空题（本题8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上
11．计算： ．
12．从六边形的顶点出发，可以画出 条对角线．
13．若，，则等于 ．
14．若是一个完全平方式，那么 ．
15．若，则的值为 ．
16．如图，把一张长方形纸片沿折叠后，点A落在边上的点处，点B落在点处，与交于点G，若，则的度数为 ．
17．如图，ABC中，AD垂直BC于点D，且AD = BC，BC上方有一动点P满足，则点P到B、C两点距离之和最小时，∠PBC的度数为 ．
18．如图，分别以的边所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点O，连接． 有如下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的是 ．
三、解答题（本大题共8个小题，第19题8分，其余每题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的置上．
19．计算
(1)；
(2)．
20．分解因式
(1)
(2)
21．先化简，再求值：，其中是满足条件的整数．
22．如图，已知：在中，，于点D．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点F，连接（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求证：．
证明：∵，
∴ ① ，
∵是的垂直平分线，
∴ ② ，
∴，
∴，
即 ③ ，
∵，
∴ ④ ，
∴，
∴．
23．如图，在和中，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
24．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．因此，我们可以通过这种方式来研究某些公式或者定理．
(1)如图所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是_______________；
(2)如图所示，四边形是由两个全等的直角三角形和直角三角形以及另外一个无缝拼成．若，，，，．试通过上述方法探究三者之间的等量关系；
(3)如图所示，四边形中，，．若以为边的正方形的面积为，以为边的正方形的面积为，利用上述方法或者结论，求以为边的正方形的面积．
25．在平面直角坐标系中，，，连接交轴于点，，过点作轴的垂线交轴于点．
(1)若点从点出发，沿的边逆时针运动至点，速度每秒个单位长度，运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示；
(2)如图，连接，当向左平移的过程中，轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
26．如图1，为等腰直角三角形，，点D为外一点，连接，过点A作，交于点E，过点D作，垂足为H，．
(1)求证：；
(2)如图2，延长到点G，连接，使得，F为上一点，连接，若．求证：；
(3)如图3，点K在内，连接，当的值最小时，直接写出的值．
1．D
【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，逐一判断即可．
【详解】解：A选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
B选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
C选项图形是轴对称图形，故不符合题意；
D选项图形不是轴对称图形，故符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题关键．
2．B
【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，以及合并同类项法则逐项分析即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，正确；
C．，故不正确；
D．与不是同类项，不能合并，故不正确；
故选B．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的除法，以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．C
【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义，可以判断出题中六个代数式有个为分式，由此得出结论，解题的关键是正确理解分式的定义，形如：且为整式，中含有字母，这样的代数式是分式．
【详解】根据分式的定义可知：为分式，共个，
故选：．
4．A
【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三条边的关系求出第三边的取值范围即可求解．
【详解】解：∵两边分别为2和5，
∴第三边大于，且小于，
∴A符合题意．
故选A．
5．C
【分析】本题考查三角形相关知识，根据轴对称的性质，三角形外角的性质，等腰三角形三线合一，三角形中线的性质等，逐项判断即可．
【详解】解：A，两个三角形关于某条直线对称，那么这两个三角形全等，说法正确；
B，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，说法正确；
C，等腰三角形顶角的角平分线、底边的高和底边的中线“三线合一”，原说法错误；
D，三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分，说法正确；
故选C．
6．D
【分析】本题考查了分式的定义，最简分式，分式的性质等知识．熟练掌握分式的定义，最简分式，分式的性质是解题的关键．
根据分式的定义，最简分式，分式的性质对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A、代数式不是分式，正确，故不符合要求；
B、分式的值不可能为0，正确，故不符合要求；
C、分式是最简分式，正确，故不符合要求；
D、分式中的都扩大为原来的2倍，得，分式的值改变，错误，故符合要求；
故选：D．
7．A
【分析】根据三角形全等的性质可知，进而可求得答案．
【详解】解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等），牢记全等三角形的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据已知可得，从而可得，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．
【详解】解：，且的周长为10，
，
，
，
，
，
，
，，
．
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．
9．B
【分析】根据阴影部分面积相等列等式即可．
【详解】解：由面积相等可知，，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示两个图形中阴影部分的面积．
10．B
【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式，多项式乘以多项式不含问题，因式分解的应用等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
①由得，代入验证即可；
②把代入求解即可；
③先根据求出x的值，进而求出A和B的值，然后计算即可；
④先根据多项式不含常数项求出m的值，然后利用完全平方公式变形即可求出最小值．
【详解】解：①∵，
∴，
∵
∴，
∴不存在的值，使得，故①不正确；
②∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，故②不正确；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
当时，，
∴；
当时，，
∴．故③正确；
④∵，
∴
，
∵多项式不含常数项，
∴，
∴．
∴
，
∵，
∴有最小值为．故④不正确．
故选：B．
11．
【分析】此题考查了零指数次幂和乘方运算，根据零指数幂和乘方法则计算即可，解题的关键是熟练掌握零指数次幂和乘方运算法则．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
12．3
【分析】直接根据从边形的顶点出发可以画条对角线即可得到答案．
【详解】解：从六边形的顶点出发，可以画出条对角线，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多边形的对角线条数问题，熟练掌握从边形的顶点出发可以画条对角线是解此题的关键．
13．
【分析】此题考查了同底数幂乘法的逆运算，把即可求解，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法的逆运算法则的应用．
【详解】．
14．3或
【分析】本题考查了完全平方公式．熟练掌握是解题的关键．
由题意知，，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
解得，或，
故答案为：3或．
15．9
【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式．熟练掌握等量代换，完全平方公式是解题的关键．
由题意知，，然后代值求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴原式，
故答案为：9．
16．
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，对顶角相等．熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
由折叠与长方形可知，，，则，由三角形内角和定理，对顶角相等可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：由折叠与长方形可知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．45°
【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，l∥BC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
【详解】∵S△PBC＝S△ABC，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°−45°＝45°；
故答案为：45°．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
18．①②③
【分析】①由轴对称的性质得，结合周角可求出；②先求出，利用“8”字三角形可求出；③利用三角形三条角平分线相较于一点可得出平分；④利用30度角的性质判断即可；⑤用反证法判断即可．
【详解】解：∵和是的轴对称图形，
∴，，，
∴，故①正确．
∴，
由翻折的性质得，，
又∵，
∴，故②正确．
由翻折的性质得，，，
∴平分，平分，
∴平分，故③正确．
∵，
∴只有当时，才成立，而不一定成立，故④不正确；
若，
∵，，
∴，
∴，这与，相矛盾，所以，故⑤不正确．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和，三角形角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，反证法，全等三角形的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先计算完全平方公式，单项式乘多项式，然后进行加减运算即可；
（2）先计算积的乘方，然后根据单项式除以单项式，同底数幂的乘法、除法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了完全平方公式，单项式乘多项式，积的乘方，单项式除以单项式，同底数幂的乘法、除法运算．熟练掌握完全平方公式，单项式乘多项式，积的乘方，单项式除以单项式，同底数幂的乘法、除法运算是解题的关键．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了提公因式法、公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的一般过程和平方差公式是解题关键，因式分解时，一般能提公因式的要先提公因式再利用公式法进行分解．
（1）利用提公因式法进行分解即可；
（2）先利用提公因式法进行分解，再利用公式法进行分解．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
21．，当时，原式
【分析】本题考查的是分数的化简求值；先计算分式的乘除法，再算减法，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：
是满足条件的整数，
，，，，，
，，，
，，，
当时，原式．
22．(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，连接两点，与的交点为E，于的交点为F，连接即可；
（2）按照步骤作答即可．
【详解】（1）解：如图，点E，点F，即为所求；
（2）证明：∵，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，，，．
【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握作垂线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，等边对等角，证明是解题的关键．
（1）根据证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出，由（1）知，由等腰三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
又∵，
∴，
由（1）知，
∴．
24．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（）根据大正方形的边长为 ，而大正方形由两个边长为，的正方形和两个长为，宽为的长方形组成即可得出答案；
（）由全等三角形的性质得出，，由梯形的面积及三角形的面积公式可得出答案；
（）由勾股定理可得出答案；
本题考查了完全平方公式的应用，勾股定理，全等三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理，正确理解并运用数形结合思想方法是解题的关键．
【详解】（1）依题意得：，
故答案为：；
（2）由题意可知，，，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
又，
∴四边形是梯形，
∴，，，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵以为边的正方形的面积为，以为边的正方形的面积为，
∴，，
如图，连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴以为边的正方形的面积为．
25．(1)；
(2)或或．
【分析】（）分当点在上时，当点在上时情况即可求解；
（）分，时；，时，和，情况即可求解；
此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平移的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．
【详解】（1）∵，，，
∴，
∴，，
∴，
如图，当点在上时，
由题意得：，
∴，
如图，当点在上时，
由题意得：，，
∴，
，
，
综上可知；
（2）如图，，时，
∴，
∴，
∴，，
由平移性质可知：，
由（）得：，，
∴，
∴点；
如图，，时，
由平移性质可知：，
同理，
∴，
∴，
∴；
当，，
同理，
∴，
综上可知：点的坐标为或或．
26．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据证明，即可推出；
（2）在上截取，连接与交于M，利用SAS可证得，得出，进而可得是等腰直角三角形，再证得平分，利用等腰三角形的性质可得，，即垂直平分，推出，即可证得结论；
（3）延长交于S，延长交于T，先证明当点K在内，的值最小时，，再运用三角形外角性质即可求得答案．
【详解】（1）∵为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）如图2，在上截取，连接与交于M，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
即，
∴是等腰直角三角形，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
即，
∴，
∴平分，
∴，
即垂直平分，
∴，
∵，
∴；
（3）如图3，延长交于S，延长交于T，
以点H为中心，将逆时针旋转60度到，
则，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴当共线时，的值最小，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短等知识，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键．