重庆市万州第三中学四校联考2023-2024学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析）

这是一份重庆市万州第三中学四校联考2023-2024学年八年级上学期12月月考 数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题10个小题，每个小题4分，共40分）
1．的平方根是( )
A．3B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）．
A．B．C．D．
3．如图，点，，，在同一条直线上，，，要使≌，还需添加的一个条件是（ ）

A．B．C．D．
4．下列结论中不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列命题的逆命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等B．若，则
C．全等三角形的面积相等D．两直线平行，同位角相等
6．估计的值在（ ）
A．5到6之间B．6到7之间C．7到8之间D．8到9之间
7．若二次三项式可分解成，则的值是（ ）
A．﹣16B．﹣8C．8D．16
8．东汉《九章算术》中，“折竹抵底”问题，意思是：一根竹子，原高10尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后剩余部分的竹子高度为（ ）
A．4.2尺B．4尺C．5.2尺D．5尺
9．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为11，则的周长为（ ）
A．14B．17C．19D．20
10．关于x的二次三项式（a，b均为非零常数），关于x的三次三项式（c，d，e，f均为非零常数），下列说法有正确的有（ ）
①当的结果为关于x的三次三项式时，则
②当多项式A与B的乘积中不含项时，则；
③．
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题8小题，，每题4分，共32分）
11．的相反数是 ． ．
12．分解因式： ．
13．中，，的平分线与边所夹的锐角为，则 ．
14．已知点A、B、C在数轴上表示的数a、b、c的位置如图所示：化简： ．

15．如图，是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知，，其中阴影部分的面积是

16．若能被整除，则的值是 ．
17．如图，是的角平分线，，垂足为E，是的中线，，，，的面积为 ．

18．如果一个四位自然数，各个数位上的数字均不为0，且千位数字与个位数字之积等于去掉千位数字与个位数字得到的两位数，则称这个数为“中积数”．如：8162．∵，∴8162是“中积数”：又如：5234，∵，∴5234不是“中积数”，若一个“中积数”为，则这个数为 ；对一个“中积数”，规定它的前三个数字组成的三位数，它的后三个数字组成的三位数，若能被17整除，则满足条件的“中积数”的最小值是 ．
三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余各题10分，共78分）解答时，每题必须给出必要的推理过程和计算步骤．
19．（1）计算：
（2）解方程：
20．如图，已知中，.
(1)请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE.（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，求证：.请完成下面的证明过程：
证明：∵AD平分，
∴______，
在与中
∴，
∴______，，AE=AC，
∵______，且，
∴，∴，
∴______，
∵，∴.
21．多项式，，A与B的乘积中不含项，且常数项是－6．
(1)试确定m和n的值；
(2)利用（1）的结果，求的值．
22．已知的三边为a，b，c．
(1)说明代数式的值一定大于0．
(2)若满足，而c是最长边，求c的范围．
23．如图，哈市某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，角上有四个边长为米的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化．
(1)用含有a、b的式子表示绿化的总面积；（结果写成最简形式）；
(2)当，时，开发商找来甲、乙两个绿化队完成此项绿化任务，已知甲队每小时可以绿化3平方米，乙队每小时绿化2平方米，若要求甲队的工作时间不超过乙队的工作时间，则甲队至多工作多少小时？
24．（1）如图1，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．
（2）如图2，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为13米，此人以米每秒的速度收绳，6秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）

25．如图，在中，，，，，，动点P从点C开始出发，沿的路径运动，且速度为每秒，设运动的时间为t秒．
(1)填空：当时，______（用含t的式子表示）；
(2)经过几秒，的面积等于？
(3)直接写出当t为何值时，是以或为底边的等腰三角形？
26．（1）问题情境如图1，和都是等边三角形，连接，求证：．
（2）迁移应用如图2，和都是等边三角形，A，B，E三点在同一条直线上，M是的中点，N是的中点，P在上，是等边三角形，求证：P是的中点．
（3）拓展创新如图3，P是线段的中点，，在的下方作等边（P，F，H三点按逆时针顺序排列，的大小和位置可以变化），连接，．当的值最小时，直接写出等边边长的最小值．
1．C
【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，依据平方根的定义和性质解答即可．
【详解】解：
故选：C．
2．C
【分析】分别根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法运算，积的乘方运算法则逐一分析判断即可．
【详解】解：，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
，故C符合题意；
，故D不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查的是合并同类项，同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，积的乘方运算，掌握基础的运算法则是解本题的关键．
3．C
【分析】本题考查的是添加条件判断三角形全等，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；根据已有添加，，可得补充两边的夹角与另一边可得三角形全等，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴添加，不能判定，故A不符合题意；
添加，可得，仍不能判定，故B不符合题意；
添加，可得，故C符合题意，
添加，不能判定，故D不符合题意；
故选C
4．A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和，利用直角三角形的三边关系和三角形内角和为逐项判断．
【详解】解：A、，设，，，
则，
解得：，则，故不是直角三角形，符合题意；
B、，设，，，
则，即，
故是直角三角形，符合题意；
C、，即，故是直角三角形，不合题意；
D、，则，
又，
则，
解得：，故是直角三角形，不合题意；
故选：A．
5．D
【分析】分别写出各命题的逆命题，再判断即可．
【详解】解：A：逆命题为：相等的两个角是对顶角，为假命题，不符合题意；
B：逆命题为：若，则．取，可知为假命题，不符合题意；
C：逆命题为：面积相等的三角形一定全等．一个直角三角形的面积可以和一个钝角三角形的面积相等，可知为假命题，不符合题意；
D：逆命题为：同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理可知为真命题，符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查命题的逆命题以及判定命题的真假．熟记相关数学结论是解题关键．
6．C
【分析】本题考查无理数的估算，掌握是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
故选C．
7．A
【分析】利用十字相乘进行因式分解的方法求得m，n的值，然后将其代入中计算即可求得答案．
【详解】解：二次三项式可分解成即，
，
解得：，，
则，
故选：A．
【点睛】本题考查十字相乘法进行因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
8．A
【分析】先根据题意画出图形，设尺，从而可得尺，在中，利用勾股定理即可得．
【详解】解：如图，由题意得：尺，尺，，
设尺，则尺，
在中，，即，
解得，
即折断后剩余部分的竹子高度为尺，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．
9．B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算是解题的关键．
【详解】解：∵是的垂直平分线，，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴的周长为．
故选B．
10．C
【分析】此题考查了整式的加减混合运算，整式的乘法运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．
【详解】解：①
的结果为关于的三次三项式，且，
∴，
解得：，故①正确；
②
∵的结果中不含项,.
，
解得：，故②正确；
③当时，，
∴，
当时，
∴，
即，
∴，故③错误；
故选:C．
11．
【分析】根据相反数和绝对值的概念进行化简计算即可．
【详解】解：的相反数是
故答案为：；．
【点睛】本题考查实数的大小比较及相反数的概念和绝对值的化简，难度不大，掌握概念正确计算是解题关键．
12．
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再利用公式法即可求解，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：原式
，
故答案为：．
13．或
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键．根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到，当时，根据三角形外角的性质得到，即可求得；当时，根据三角形内角和定理得到，即可求得．
【详解】解：设的角平分线交于点，
当时，如图1，
，
，
，
，
，
；
当时，如图2，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
14．b
【分析】根据数轴可知，则可知，，即可根据平方根，立方根的性质进行化简．
【详解】根据数轴可知，则可知，，
故答案为：b．
【点睛】本题主要考查了平方根、立方根的性质，根据数轴得出数与0的大小关系是解题的关键．
15．56
【分析】先利用勾股定理求出，再利用勾股定理计算出，根据计算即可．
【详解】解：如图，

在中，，
在中，，
∴
，
故答案为：56．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股树问题．
16．2
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，根据题意得出设，从而得到，即可．
【详解】解：能被整除，
设，
则，
，，
，，
故答案为：2．
17．
【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由角平分线的性质得到，求出的面积， 的面积．
过作于H，由角平分线的性质得到，即可求出，，得到，由是的中线，得到，再运用即可．
【详解】解：过作于，

∵是的角平分线， ，
∴ ，
∵，
∴，
，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴．
故答案为:．
18．
【分析】本题主要考查整式的加减，解题时要熟练掌握并能灵活计算是关键．依据题意，根据定义可得，进而得出，即可求解；根据定义可得，再结合已知条件得，得出，根据整除可得 能被整除，根据题意，要求最小的“中积数“，进而从开始分析，逐个计算，即可求解．
【详解】由题意得, ，
∴解得: ，
∴这个数为；
又由题意“中积数”，
又，
∴这个“中积数”为，
又，
∴这个“中积数”为，
又由题意, ，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴
，
∵能被整除，
∴能被整除，
∵要求最小“中积数”，
∴当，而，，不合题意；
当时，，则能被整除，
∵且为正整数， 都不能被整除，
∴时，不合题意.
当 时，，则能被整除，
且为正整数，
当时, ，
，
，
∴最小的“中积数“为，
故答案为:，．
19．（1）；（2）．
【分析】本题考查整式的乘法，运用立方根的定义解方程．
（1）运用单项式乘以多项式法则，完全平方公式计算，最后合并同类项即可解答；
（2）运用立方根的定义即可解答．
【详解】（1）
．
（2），
移项并合并同类项，得，
开立方，得，
移项并合并同类项，得．
20．(1)见详解
(2)∠DAE，∠AED，∠B，CD
【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可；
（2）先证明，再结合∠B，且，即可得到结论．
【详解】（1）解：如图所示即为所求；
（2）证明：∵AD平分，
∴∠DAE，
在与中，
∴，
∴∠AED，，AE=AC，
∵∠B，且，
∴，
∴，
∴CD，
∵，
∴．
故答案是：∠DAE，∠AED，∠B，CD．
【点睛】本题主要考查尺规作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键．
21．(1)
(2)，
【分析】题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）两多项式相乘后，利用多项式乘多项式法则计算，由乘积中的展开式中，不含项，且常数项是，确定出m和n的值；
（2）原式化简后代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
∵不含项，且常数项是，
∴，
解得：；
（2）解：
，
当时，原式．
22．(1)见解析
(2)．
【分析】本题考查了因式分解的应用以及三角形三边关系．
（1）由三角形三边关系可得出，将变形为，由此即可得出；
（2）将原等式变形为，由偶次方的非负性即可得出a、b的值，再根据三角形三边关系结合c是最长边，即可得出c的取值范围．
【详解】（1）解：
，
∵a，b，c为的三边，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，且c是最长边，
∴．
23．(1)
(2)155
【分析】本题主要考查列代数式和一元一次解不等式，
（1）根据面积公式求得大正方形和小正方形的面积即可求得绿化的总面积；
（2）将值代入求得绿化的总面积，并根据题意列出不等式即可求得甲队至多工作时长．
【详解】（1）解：∵长为米，宽为米的长方形地块，
∴长方形地块的面积为，
∵长方形地块角上有四个边长为米的小正方形空地，
∴每个小正方形空地的面积为，
则绿化的总面积为．
（2）当，时，绿化的总面积为，
设甲队的工作时间x，则，
解得，
则甲队至多工作155个小时．
24．（1）36；（2）船向岸边移动了米
【分析】（1）根据勾股定理，可以得到的长，再根据勾股定理的逆定理，可以判断是直角三角形由此解答即可；
（2）在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
【详解】解：（1）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，，
∴，
∴四边形的面积
；
解：（2）在中，
∵，
∴，
∴米，
∴船向岸边移动了米
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意, 利用数形结合的思想解答．
25．(1)
(2)秒或秒
(3)或
【分析】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是学会用分类讨论的思想考虑问题．
（1）先得出点运动的距离为:, 由,判断点在上，问题随之得解；
（2） 先求出 ，分当点在上，和当点在上两种情况，结合三角形的面积列出一元一次方程，解方程即可求解；
（3）当是以为底边的等腰三角形时，即有，根据运动的特点，可得点运动的距离为: , 即有, 解得: ； 当是以为底边的等腰三角形时，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质可证明，即有,进而可得方程, 解方程即可求解．
【详解】（1）解：在中, ，,
根据运动的特点可知：点运动的距离为，
∵,
∴, 即点在上,
∴,
∴,
故答案为: ；
（2）解：∵在中， ,
，
当点在上, 如图，
的面积等于15
，
，
，
解得：(秒)；
当点在上, 如图,
此时：点P运动的距离为：
的面积等于15
，
，
，
，
，
，
解得：(秒)；
综上：经过 秒或秒, 的面积等于；
（3）
解：当是以为底边的等腰三角形时，如图，
即有 ，
，
根据运动的特点，可得点P运动的距离为：，
，
解得： (秒)；
当 是以为底边的等腰三角形时，如图，
过点作于点，
∵在等腰中，， ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
根据运动的特点，可得点运动的距离为：，
∴，
解得：；
综上所述： 或．
26．（1）见解析 （2）见解析 （3）
【分析】（1）证出，根据证明；
（2）在上取点，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
（3）作， 使，连接，证明，由全等三角形的性质得出，则，当点在线段上时，的值最小，由直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明:∵和都是等边三角形，
∴，, ，
∴，
∴，
在和中
，
∴；
（2）证明: 在上取点，使得，连接，
∵和都是等边三角形.
∴，，，
∴是等边三角形,
∴，，
∵是等边三角形,
∴，，
∴，
∴，即，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点, 点为的中点,
∴，，
设，，则，，
∴，，
∴，
∴ ，
∴点为的中点；
（3）作，使，连接，
∵是等边三角形,
∴ ，，
∴，
，
，
，
当点在线段上时，的值最小，此时， 的值最小，
，
，
在中，，
即当的值最小时，边长的最小值为
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形性质，全等三角形判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“手拉手”模型及其变形．