2023-2024学年四川省成都市成华区列五中学九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市成华区列五中学九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程中是一元二次方程的是( )
A. 2x+1=0B. x+1x=2C. x2−1=0D. x2+2x=−1
2.若线段a，b，c，d是成比例线段，且a=1cm，b=4cm，c=2cm，则d=( )
A. 8cmB. 0.5cmC. 2cmD. 3cm
3.如图是一个空心圆柱体，其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同.将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于0.4，由此可估计袋子中白球的个数约为( )
A. 4B. 6C. 8D. 9
5.若一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )
A. a0)的图象上，
∴k=(15−2b)(2 3b−5 3)=b⋅ 3b，
解得b=3或5，
当b=5时，OB=2b=10，此时B与M重合，不符题意，舍去，
∴b=3，
∴k=b⋅ 3b=9 3，
故答案为：9 3．
过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，设OC=b，通过直角三角形和等边三角形的性质用b表示出A、B两点的坐标，进而代入反比例函数的解析式列出b的方程求得b，便可求得k的值．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，关键是列出b的方程．
23.【答案】5 2
【解析】解：∵PQ/​/BC，AD⊥BC，
∴AE⊥PQ，
∵PQ/​/BC，
∴△APQ∽△ABC，
∴AEPQ=ADBC=23，
∴3AD=2BC，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMN=∠MNQ=∠MPQ=90°，
∴四边形PMNQ是矩形，
∴PQ=MN，PM=ED，
∵AE=PQ，AD=BC，
∴AE+ED=BM+MN+CN，
∴MN+QN=BM+MN+CN，
∴QN=BM+CN；
∵△ABC的面积等于75，
∴12BC⋅AD=75，
∵AD=23BC，
∴13BC2=75，
∴BC=15，AD=10，
设MN=x，则BM+CN=15−x，PM=QN=10−x，
∵MQ= MN2+QN2= x2+(10−x)2= 2(x−5)2+50，
∴当x=5时，MQ有最小值5 2．
故答案为：5 2．
根据平行线的性质得到AE⊥PQ，根据相似三角形的性质得到AEAD=PQBC，求得AE：PQ=AD：BC，由于AD=BC，可得AE=PQ，根据垂直的定义得到∠PMN=∠MNQ=∠MPQ=90°，推出四边形PMNQ是矩形，得到PQ=MN，PM=ED，等量代换即可得到QN=BM+CN，根据三角形的面积得到BC⋅AD=8，求得BC=4，AD=4，设MN=x，则BM+CN=4−x，PM=QN=4−x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的性质和判定、三角形面积、勾股定理，解决问题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质定理．
24.【答案】解：(1)设年平均增长率为x，由题意得：
20(1+x)2=28.8，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍)．
答：年平均增长率为20%；
(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得：
(y−6)[300+30(25−y)]=6300，
整理得：y2−41y+420=0，
解得：y1=20，y2=21．
∵让顾客获得最大优惠，
∴y=20．
答：当每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【解析】(1)设年平均增长率为x，根据东部华侨城景区在2020年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2022年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．列出方程求解即可；
(2)设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，由题意得关于y的方程，解方程并对方程的解作出取舍即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确列出方程是解题的关键．
25.【答案】解：(1)∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= AB2−BC2=4，
∵∠ACB=90°，△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A′落在AC的延长线上，
∴∠A′CB=90°，A′B=AB=5，
Rt△A′BC中，A′C= A′B2−BC2=4，
∴AA′=AC+A′C=8;
(2)过C作CE//A′B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴∠A′BC′=∠ABC，BC′=BC=3，
∵CE//A′B，
∴∠A′BC′=∠CEB，
∴∠CEB=∠ABC，
∴CE=BC=3，
Rt△ABC中，S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，AC=4，BC=3，AB=5，
∴CD=AC⋅BCAB=125，
Rt△CED中，DE= CE2−CD2= 32−(125)2=95，
同理BD=95，
∴BE=DE+BD=185，C′E=BC′+BE=3+185=335，
∵CE//A′B，
∴BMCE=BC′C′E，
∴BM3=3335，
∴BM=1511;
(3)DE存在最小值1，理由如下：
过A作AP//A′C′交C′D延长线于P，连接A′C，如图：
∵△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，
∴BC=BC′，∠ACB=∠A′C′B=90°，AC=A′C′，
∴∠BCC′=∠BC′C，
而∠ACP=180°−∠ACB−∠BCC′=90°−∠BCC′，
∠A′C′D=∠A′C′B−∠BC′C=90°−∠BC′C，
∴∠ACP=∠A′C′D，
∵AP//A′C′，
∴∠P=∠A′C′D，
∴∠P=∠ACP，
∴AP=AC，
∴AP=A′C′，
在△APD和△A′C′D中，
∠P=∠A′C′D∠PDA=∠A′DC′AP=A′C′，
∴△APD≌△A′C′D(AAS)，
∴AD=A′D，即D是AA′中点，
∵点E为AC的中点，
∴DE是△AA′C的中位线，
∴DE=12A′C，
要使DE最小，只需A′C最小，当A′、C、B共线，A′C的最小值为A′B−BC=AB−BC=2，
∴DE最小为12A′C=1．
【解析】本题考查直角三角形的旋转变换，涉及勾股定理、等腰三角形判定、全等三角形判定与性质等知识，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
(1)先求出AC=4，再在Rt△A′BC中，求出A′C= A′B2−BC2=4，从而可得AA′=8;
(2)过C作CE//A′B交AB于E，过C作CD⊥AB于D，先证明CE=BC=3，再根据S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，求出CD，进而可得DE和BE及C′E，由CE//A′B得BMCE=BC′C′E，即可得BM=1511;
(3)过A作AP//A′C′交C′D延长线于P，连接A′C，先证明∠ACP=∠A′C′D=∠P，得AP=AC=A′C′，再证明△APD≌△A′C′D得AD=A′D，DE是△AA′C的中位线，DE=12A′C，要使DE最小，只需A′C最小，此时A′、C、B共线，A′C的最小值为A′B−BC=AB−BC=2，即可得DE最小值为12A′C=1．
26.【答案】(1)问题发现：
证明：∵△ABC与△APQ都是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，AB=AC∠BAP=∠CAQAP=AQ，
∴△BAP≌△CAQ(SAS)，
∴BP=CQ；
(2)变式探究：
解：∠ABC和∠ACQ的数量关系为：∠ABC=∠ACQ；理由如下：
∵在等腰△ABC中，AB=BC，
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)，
∵在等腰△APQ中，AP=PQ，
∴∠PAQ═12(180°−∠APQ)，
∵∠APQ=∠ABC，
∴∠BAC=∠PAQ，
∴△BAC∽△PAQ，
∴BAAC=PAAQ，
∵∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∴△BAP∽△CAQ，
∴∠ABC=∠ACQ；
(3)解决问题：
解：连接AB、AQ，如图3所示：
∵四边形ADBC是正方形，
∴ABAC= 2，∠BAC=45°，
∵Q是正方形APEF的中心，
∴APAQ= 2，∠PAQ=45°，
∴∠BAP+∠PAC=∠PAC+∠CAQ，
∴∠BAP=∠CAQ，
∵ABAC=APAQ= 2，
∴△ABP∽△ACQ，
∴ACAB=CQBP=1 2，
∵CQ=2 2，
∴BP= 2CQ=4，
设PC=x，则BC=AC=4+x，
在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，
即62=(4+x)2+x2，
解得：x=−2± 14，
∵x>0，
∴x=−2+ 14，
∴正方形ADBC的边长=4+x=4−2+ 14=2+ 14．
【解析】(1)问题发现易证AB=AC，AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，由SAS证得△BAP≌△CAQ，即可得出结论；
(2)变式探究由等腰三角形的性质得出∠BAC=12(180°−∠ABC)，∠PAQ═12(180°−∠APQ)，由∠APQ=∠ABC，得出∠BAC=∠PAQ，证得△BAC∽△PAQ，得出BAAC=PAAQ，易证∠BAP=∠CAQ，则△BAP∽△CAQ，得出∠ABC=∠ACQ；
(3)解决问题连接AB、AQ，由正方形的性质得出ABAC= 2，∠BAC=45°，APAQ= 2，∠PAQ=45°，易证∠BAP=∠CAQ，由ABAC=APAQ= 2，得出△ABP∽△ACQ，则ACAB=CQBP=1 2，求出BP= 2CQ=4，设PC=x，则BC=AC=4+x，在Rt△APC中，AP2=AC2+PC2，代入求出x=−2+ 14，即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．