2022-2023学年河北省沧州市献县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河北省沧州市献县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.点P(−2,3)关于y轴对称点的坐标是( )
A. (−2,3)B. (2,−3)C. (2,3)D. (−2,−3)
2.一个多边形的每一外角都等于60°，那么这个多边形的内角和为( )
A. 1260°B. 1080°C. 720°D. 360°
3.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为( )
A. 7.5
B. 8
C. 15
D. 无法确定
4.小丽在化简分式*x2−1=x−1x+1时，*部分不小心滴上小墨水，请你推测，*部分的式子应该是( )
A. x2−2x+1B. x2+2x+1C. x2−1D. x2−2x−1
5.在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是( )
A. x2+2x+4=(x+2)2B. x2−4=(x+2)(x−2)
C. x2−4x−4=(x−2)2D. x2+4=(x+2)2
6.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在CA的延长线上，DE⊥BC于点E，∠BAC=100°，则∠D=( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 80°
7.若分式x+y3xy中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A. 扩大3倍B. 不变C. 缩小9倍D. 缩小3倍
8.若线段AP，BP，AB满足AP+BP>AB，则关于P点的位置，下列说法正确的是( )
A. P点一定在直线AB上B. P点一定在直线AB外
C. P点一定在线段AB上D. P点一定在线段AB外
9.若(y+3)(y−2)=y2+my+n，则m、n的值分别为( )
A. m=5，n=6B. m=1，n=−6
C. m=1，n=6D. m=5，n=−6
10.如图，点I是△ABC三条角平分线的交点，△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，关于S1+S2与S3的大小关系，正确的是( )
A. S1+S2=S3B. S1+S2S3D. 无法确定
11.已知x−y=12，xy=43，则xy2−x2y的值是( )
A. −23B. 1C. 116D. 23
12.如图，等边三角形ABC的边长为4，AD是边BC上的中线，M是AD上的动点，E是AC上的一点，若AE=2，当EM+CM取得最小值时，则∠ECM的度数为( )
A. 15°
B. 22.5°
C. 30°
D. 45°
13.若mx−4−1−x4−x=0无解，则m的值是( )
A. −2B. 2C. 3D. −3
14.如图，已知AB=CD，AD=BC，OA=OC，BO=DO，直线EF过O点，则图中全等三角形最多有( )
A. 2对B. 3对C. 5对D. 6对
15.如图，在四边形ABCD中，∠A=110°，∠C=80°，将△BMN沿MN翻折，得到△FMN.若MF/​/AD，FN/​/DC，则∠D的度数为( )
A. 75°
B. 85°
C. 95°
D. 100°
16.如图所示的是正方形的房屋结构平面图，其中主卧与客卧都是正方形，其面积之和比其余面积(阴影部分)多6.25m2，则主卧与客卧的周长差是( )
A. 5m
B. 6m
C. 10m
D. 12m
二、填空题：本题共4小题，共11分。
17.若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD=2，BD=3.CD=1，则△ABC的面积等于______．
18.若x2+x−1=0，则3x4+3x3+3x+2的值为______ ．
19.如图，在△ABC中，AE是△ABC的角平分线，D是AE延长线上一点，DH⊥BC于点H.若∠B=30°，∠C=50°，则∠EDH= ______ ．
20.定义一种新运算：如果a≠0，则有a△b=a−2+ab+|−b|，那么(−12)△2= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共11分。
21.先化简，再求值：(2x−5x−2−1)÷x2−6x+9x2−2x，然后从0，1，2，3四个数中选择一个恰当的数代入求值．
四、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题11分)
(1)因式分解：3ax2+6axy+3ay2；
(2)解方程：2x−3=3x．
23.(本小题11分)
如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD.求证：DB=DE．
24.(本小题11分)
如图，画一个两条直角边都相等的Rt△ABC，并过斜边BC上一点D作射线AD，再分别过B、C作射线AD的垂线BE和CF，垂足分别为E、F．
(1)试判断线段BE、CF、EF长度之间有什么关系？试说明理由．
(2)改变D的位置，再重复上面的操作，(1)中的结论是否发生改变？为什么？
25.(本小题11分)
阅读理解以下文字：
我们知道，多项式的因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式．通过因式分解，我们常常将一个次数比较高的多项式转化成几个次数较低的整式的积，来达到降次化简的目的．这个思想可以引领我们解决很多相对复杂的代数问题．
例如：方程2x2+3x=0就可以这样来解：
解：原方程可化为x(2x+3)=0，所以x=0或者2x+3=0．
解方程2x+3=0，得x=−32所以解为x1=0，x2=−32．
根据你的理解，结合所学知识，解决以下问题：
(1)解方程：x2−5x=0；
(2)解方程：(x+3)2−4x2=0；
(3)已知△ABC的三边长为4，x，y，请你判断代数式y2−8y+16−x2的值的符号．
26.(本小题11分)
(1)如图(1)，已知CE与AB交于点E，AC=BC，∠1=∠2.求证：△ACE≌△BCE．
(2)如图(2)，已知CD的延长线与AB交于点E，AD=BC，∠3=∠4.探究AE与BE的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查平面直角坐标系点的对称性质：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，比较简单．
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可解答本题．
【解答】
解：点P(m,n)关于y轴对称点的坐标P′(−m,n)，
∴点P(−2,3)关于y轴对称的点的坐标为(2,3)．
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：∵一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，
∴这个多边形的边数是：360°÷60°=6，
∴这个多边形的内角和=180°×(6−2)=720°，
故选：C．
由一个多边形的每一个外角都等于60°，且多边形的外角和等于360°，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．
本题考查了多边形的外角和定理．此题比较简单，注意掌握多边形的外角和等于360度是关键．
3.【答案】A
【解析】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E．
∵∠A=90°，
∴AD⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=DE=3，
又∵BC=5，
∴S△BCD=12BC⋅DE=12×5×3=7.5．
故选：A．
如图，过点D作DE⊥BC于点E.利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．
本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
4.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键．直接利用分式的性质结合约分得出答案．
【解答】
解：∵*x2−1=x−1x+1，
∴*(x−1)(x+1)=(x−1)(x−1)(x+1)(x−1)=x2−2x+1x2−1，
故*部分的式子应该是x2−2x+1．
5.【答案】B
【解析】解：A、x2+2x+4≠(x+2)2，该选项不符合题意；
B、x2−4=(x+2)(x−2)，该选项符合题意；
C、x2−4x−4≠(x−2)2，该选项不符合题意；
D、x2+4≠(x+2)2，该选项不符合题意；
故选：B．
各项分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠C=∠B=40°，
∵DE⊥BC于点E，
∴∠D=90°−∠C=50°，
故选：B．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，求得∠C=40°，然后根据直角三角形两锐角互余，即可求得∠D=50°．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵3x+3y3(3x⋅3y)=3(x+y)9×3xy=13×(x+y3xy)，
∴分式的值缩小3倍．
故选：D．
根据分式的基本性质解答即可．
本题考查的是对分式的性质的理解，分式中元素扩大或缩小N倍，只要将原数乘以或除以N，再代入原式求解，是此类题目的常见解法．
8.【答案】D
【解析】解：∵线段AP，BP，AB满足AP+BP>AB，
∴P一定在线段AB外．
故选：D．
根据三角形中任意两边之和大于第三边解决此题．
本题主要考查三角形中任意两边之和大于第三边，熟练掌握三角形中任意两边之和大于第三边是解决本题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵(y+3)(y−2)=y2−2y+3y−6=y2+y−6，
∵(y+3)(y−2)=y2+my+n，
∴y2+my+n=y2+y−6，
∴m=1，n=−6．
故选：B．
先根据多项式乘以多项式的法则计算(y+3)(y−2)，再根据多项式相等的条件即可求出m、n的值．
本题主要考查多项式乘以多项式的法则：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
10.【答案】C
【解析】解：∵点I是△ABC三条角平分线的交点，
∴△ABI和△BIC和△AIC的高相等，
∵△ABI的面积记为S1，△ACI的面积记为S2，△BCI的面积记为S3，
∴S1+S2=12AB⋅h+12AC⋅h=12(AB+AC)⋅h，S3=12BC⋅h，
由△ABC的三边关系得：AB+AC>BC，
∴S1+S2>S3，
故选：C．
根据角平分线的性质和三角形三边关系和三角形的面积公式解答即可．
此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出△ABI和△BIC和△AIC的高相等解答．
11.【答案】A
【解析】【分析】
首先利用提公因式法，求得xy2−x2y=−xy(x−y)，把已知式子代入求得答案．
此题考查了提公因式法的运用．能够把xy2−x2y变形为−xy(x−y)是解题的关键．
【解答】
解：∵x−y=12，xy=43，
∴xy2−x2y=−xy(x−y)=−43×12=−23．
故选：A．
12.【答案】C
【解析】解：作点E关于AD对称的点F，连接CF，与AD交于点M，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∵点E、点F关于AD对称，
∴F在AB上，
∴MF=ME，
∴EM+CM=MF+CM≥CF，
即EM+CM最小，且为CF，
∵AE=2，
∴AF=2，即点F为AB中点，
∴∠ECF=12∠ACB=30°，
故选：C．
作点E关于AD对称的点F，连接CF，与AD交于点M，推出EM+CM最小时即为CF，再根据等边三角形的性质可得结果．
本题考查了轴对称−最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到EM+CM取得最小值时点M的位置是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】解：方程两边都乘(x−4)得：
m+1−x=0，
∵方程无解，
∴x−4=0，
即x=4，
∴m+1−4=0，
即m=3，
故选C．
先按照一般步骤解方程，得到用含有m的代数式表示x的形式，因为无解，所以x是能令最简公分母为0的数，代入即可解出m．
增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
14.【答案】D
【解析】解：①△ADC≌△CBA，
在△ADC和△CBA中，AB=DCAC=CABC=AD，
∴△ADC≌△CBA(SAS)；
②△ABD≌△CDB，
在△ABD和△CDB中，AB=CDAD=CBBD=DB，
∴△ABD≌△CDB(SAS)；
③△OAD≌△OCB，
在△OAD和△OCB中，AO=CO∠AOD=∠COBDO=BO，
∴△OAD≌△OCB(SAS)；
④△OEA≌△OFC，
∵△OAD≌△OCB，
∴∠DAO=∠BCO，
在△OEA和△OFC中，∠EAO=∠FCOAO=CO∠AOE=∠COF，
∴△OEA≌△OFC(ASA)；
⑤△OED≌△OFB，
在△OED和△OFB中，EO=FO∠EOD=∠FOBDO=BO，
∴△OED≌△OFB(SAS)；
⑥△OAB≌△OCD，
在△OAB和△OCD中，AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO，
∴△OAB≌△OCD(SAS)，
则图中全等三角形一共有6对．
故选：D．
本题是开放题，应先根据平行四边形的性质及已知条件得到图中全等的三角形：△ADC≌△CBA，△ABD≌△CDB，△OAD≌△OCB，△OEA≌△OFC，△OED≌△OFB，△OAB≌△OCD共6对．再分别进行证明．
本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
15.【答案】B
【解析】解：∵MF/​/AD，FN/​/DC，∠A=110°，∠C=80°，
∴∠BMF=110°，∠FNB=80°，
∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=55°，∠FNM=∠MNB=40°，
∴∠F=∠B=180°−55°−40°=85°，
∴∠D=360°−110°−80°−85°=85°，
故选：B．
首先利用平行线的性质得出∠BMF=110°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=55°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数即可得出∠D的度数．
此题主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．
16.【答案】C
【解析】解：设主卧边长为am，客卧边长为bm，
∴主卧与客卧面积之和为(a2+b2)m2，
∴阴影部分面积为：(a+b)2−(a2+b2)=2ab(m)，
∵主卧与客卧面积之和比其余面积(阴影部分)多6.25m2，
∴(a2+b2)−2ab=6.25，
∴(a−b)2=6.25，
∴a−b=2.5(m)，
∴主卧与客卧的周长差为：4(a−b)=10(m)，
故选：C．
先设主卧边长为am，客卧边长为bm，求出主卧与客卧面积之和为(a2+b2)m2，再求出阴影部分面积为2abm，再根据主卧与客卧面积之和比其余面积(阴影部分)多6.25m2列出关系式，求出a−b=2.5m，最后求主卧与客卧的周长差即可．
本题主要考查完全平方公式的几何背景，用代数式表示图中各部分的面积及各部分面积之间的关系是解答此题的关键．
17.【答案】2
【解析】解：如图．
∵BD=3，CD=1，
∴BC=BD−CD=2，
又∵AD是BC边上的高，AD=2，
∴△ABC的面积=12BC⋅AD=12×2×2=2．
故答案为2．
首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
本题考查了三角形的面积，三角形的高的定义，掌握钝角三角形的高的画法进而画出图形是解题的关键．
18.【答案】5
【解析】解：∵x2+x−1=0，
∴x2+x=1．
∴3x4++3x3+3x+2
=3x2(x2+x)+3x+2
=3x2+3x+2
=3(x2+x)+2
=3+2
=5．
故答案为：5．
把所求多项式进行变形，代入已知条件，即可得出答案．
本题考查了因式分解的应用，把所求多项式进行灵活变形是解题的关键．
19.【答案】10°
【解析】解：由三角形的外角性质知：∠HED=∠AEC=∠B+12∠BAC，
故∠B+12∠BAC+∠EDH=90° ①，
△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
即：12∠C+12∠B+12∠BAC=90° ②，
②−①，得：∠EDH=12(∠C−∠B)=12×(50°−30°)=10°．
故答案为：10°．
在△EHD中，由三角形的外角性质知：∠HED=∠AEC=∠B+12∠BAC，所以∠B+12∠BAC+∠EDH=90°；联立△ABC中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出∠EDH=12(∠C−∠B)．
本题考查三角形内角和定理、三角形的外角性质以及角平分线的定义等知识，解题的关键是证明∠EDH=12(∠C−∠B)．
20.【答案】5
【解析】解：由题意可得：(−12)△2=(−12)−2+(−12)×2+|−2|
=4−1+2
=5．
故答案为：5．
直接利用已知运算规律，结合负整数指数幂的性质化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及有理数的混合运算，正确化简各数是解题关键．
21.【答案】解：原式=(2x−5x−2−x−2x−2)÷(x−3)2x(x−2)
=(2x−5−x+2x−2)⋅x(x−2)(x−3)2
=x−3x−2⋅x(x−2)(x−3)2
=xx−3，
∵x≠3且x≠0且x≠2，
∴当x=1时，原式=11−3=−12．
【解析】先通分，分解因式，再根据同分母相加减，分母不变分子相加减计算，化简后，再算乘法，进而约分化为最简分式，根据分式的意义确定x的值，代入原式计算即可．
掌握此题主要考查分式的化简求值，因式分解、通分、约分在分式化简中的综合应用是解题关键．
22.【答案】解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2；
(2)方程两边都乘以x(x−3)得：2x=3(x−3)，
去括号得：2x=3x−9，
移项得：2x−3x=−9，
合并同类项得：−x=−9，
系数化为1得：x=9，
检验：当x=9时，x(x−3)≠0，∴x=9是原方程的解．
【解析】(1)先提取公因式3a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
(2)方程两边都乘以x(x−3)得出方程，求出这个方程的解，最后进行检验即可．
本题考查的知识点是提公因式法与公式法的综合运用及解分式方程，解题的关键是熟练的掌握提公因式法与公式法的综合运用及解分式方程．
23.【答案】证明：因为△ABC是等边三角形，BD是中线，
所以∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又因为CE=CD，
所以∠CDE=∠CED．
又因为∠BCD=∠CDE+∠CED，
所以∠CDE=∠CED=12∠BCD=30°．
所以∠DBC=∠DEC．
所以DB=DE(等角对等边)．
【解析】【分析】
此题主要考查等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定与性质等知识，利用三角形外角的性质得到∠CED=30°是正确解答本题的关键．
根据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°，再根据等腰三角形的性质求得∠DBC=∠CED，根据等角对等边即可得到DB=DE．
24.【答案】解：(1)结论：CF=BE+EF．
理由：∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA=90°∠ABE=∠CAFAB=AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，AE=CF，
∴CF=AE=AF+EF=BE+EF；
(2)结论发生变化：当点D运动到BC中点的左边时，EF+CF=BE．
理由：如图，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°，
∵∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠CAF=∠ABE，
在△ABE和△CAF中，
∠AEB=∠CFA=90°∠ABE=∠CAFAB=AC，
∴△ABE≌△CAF(AAS)，
∴BE=AF，AE=CF，
∴BE=EF+CF；
【解析】(1)结论：CF=BE+EF 证明△ABE≌△CAF 即可；
(2)结论发生变化：当点D运动到BC中点的左边时，EF+CF=BE；
本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)原方程可化为：x(x−5)=0，
∴x0或x−5=0，
解得x1=0，x2=5，
∴原方程的解为：x1=0，x2=5；
(2)(x+3)2−4x2=0，
(x+3+2x)(x+3−2x)=0，
(3x+3)(−x+3)=0，
所以3x+3=0或者−x+3=0，
解得x1=3，x2=−1．
所以原方程的解为：x1=3，x2=−1；
(3)y2−8y+16−x2
=(y2−8y+16)−x2
=(y−4)2−x2
=(y−4+x)(y−4−x)，
∵△ABC的三边为4、x、y，
∴x+y>4，x+4>y，
∴y−4+x>0，y−4−x0，则16y+2x2−32−2y2>0．
本题是阅读材料问题，考查了因式分解的应用和三角形的三边关系，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是关键．
26.【答案】(1)证明：在△ACE和△BCE中，
∵AC=BC∠1=∠2CE=CE，
∴△ACE≌△BCE(SAS)；
(2)AE=BE．
理由如下：
在CE上截取CF=DE，
在△ADE和△BCF中，
∵AD=CB∠3=∠4CF=DE，
∴△ADE≌△BCF(SAS)，
∴AE=BF，∠AED=∠CFB，
∵∠AED+∠BEF=180°，∠CFB+∠EFB=180°，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴AE=BE．
【解析】(1)根据SAS可得出答案；
(2)在CE上截取CF=DE，证明△ADE≌△BCF(SAS)，可得出AE=BF，∠AED=∠CFB，则可得出BE=BF.结论得证．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．