精品解析：2023年广东省深圳市光明区勤诚达学校中考数学三模试题

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1. 下列实数为无理数的是（ ）
A. 2023B. 0.618C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数是无限不循环小数进行判断即可．
【详解】解：由题意知，2023，0.618，，均为有理数，
为无理数，
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义．熟练掌握无理数是无限不循环小数是解题的关键．
2. 三星堆遗址考古成果是中华文明多元一体发展模式的重要实物例证．下列三星堆文物图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形（一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），中心对称图形（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心）的定义判断求解；
【详解】解： A、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C、选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握两种图形的基本定义是解题的关键．
3. 小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级7名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下：14，15，13，13，18，15，15.请问阅读课外书数量的众数是（ ）
A. 13B. 14C. 15D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数进行解答即可．
【详解】解：因为这组数据中15出现了3次，出现的次数最多，
所以这组数据的众数是15．
故选：C．
【点睛】本题考查了众数的概念，熟记概念是解决此题的关键．
4. 发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．2022年，深圳汽车制造业生产值为2154亿元．将数字2154亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】2154亿即用科学记数法表示成的形式，其中，，代入可得结果．
【详解】解：2154亿即的绝对值大于表示成的形式，
∵，，
∴2154亿表示成，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法．解题的关键在于确定的值．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式依次计算判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项正确，符合题意；
C、，选项错误，不符合题意；
D、，选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】题目主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分别解出两个不等式再数轴上表示出来即可得到答案．
【详解】解：分别解两个不等式可得，
，
在数轴上表示为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查解不等式组及在数轴上表示解集，解题的关键是正确求解两个不等式．
7. 下列作线段的垂直平分线的尺规作图，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据垂直平分线的作法进行判断即可．
【详解】解：A中是角平分线，故不符合要求；
B中是过直线外一点作直线的垂线，故不符合要求；
C中是线段的垂直平分线，故符合要求；
D中是作相等的线段，故不符合要求．
故选：C．
【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，作线段．解题的关键在于熟练掌握垂直平分线的作法．
8. 下列命题正确的是（ ）
A. B. 1的相反数是它本身
C. 对角线相等的四边形是矩形D. 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点
【答案】D
【解析】
【分析】根据实数的大小比较、相反数的定义、矩形的判定及三角形的内心依次判断即可．
【详解】解：A、，原命题错误，不符合题意；
B、1的相反数是，原命题错误，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题错误，不符合题意；
D、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，原命题正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】题目主要考查命题的判断及实数的大小比较、相反数的定义、矩形的判定及三角形的内心，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
9. 某市为“加快推进污水管网建设，着力提升居民生活品质”，需要铺设一段全长为米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前天完成这一任务，设原计划每天铺设x米管道，则根据题意，下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，根据提前天完成这一任务即原计划时间比实际时间多天列方程即可．
【详解】解：设原计划每天铺设x米管道，则实际每天铺设管道，
根据题意，列方程为：
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题；解题的关键是找对等量关系正确列方程．
10. 如图，点A，B，C，D是上的四点，为的直径，，，垂足为，则和和四边形的面积之比为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作的垂线与的延长线交于点，根据圆内接四边形的性质，得出，再根据圆的基本概念，得出，再根据等边对等角，得出，再根据平行线的性质，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据图形的面积，得出，进而得出，再根据比的性质，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作的垂线与的延长线交于点，

∵点A，B，C，D是上的四点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴和和四边形的面积之比为．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆的基本概念、等边对等角、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、比的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理，并正确作出辅助线．
二、填空题
11. 因式分解：____．
【答案】．
【解析】
【分析】直接运用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：．
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，掌握完全平方公式是解题关键．
12. 假期前，小明家设计了3种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在3张相同的卡片上，小明随机抽取1张，他抽到去近郊露营的概率是________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵妈妈将三种方案分别写在3张相同的卡片上，即共有3种等可能结果，
∴小明随机抽取1张，他抽到去近郊露营的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率等于所求情况数与总情况数之比．
13. 已知一元二次方程的一个根是1，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入方程，得到关于的一元一次方程，然后解此一元一次方程，即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根是1，
∴把代入，可得：，
解得：，
∴的值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
14. 如图，是直角三角形，，点，点，双曲线经过点A．将△ABC沿BC方向平移得到，点在反比例函数上，边与边相交于点D，若点D在的三等分点，则________．

【答案】
【解析】
【分析】先求出点A的纵坐标，再利用平行线分线段成比例定理求出的长，进而可求出k的值．
【详解】解：当时，，
∴．
∵点，点，
∴．
∵，
∴，
∴点D在的三等分点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移的性质，平行线分线段成比例定理，待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
15. 如图，已知在中，，，点D在边上，连接．以为斜边作，且，，边的中点F恰好落在．若，则________．

【答案】##
【解析】
【分析】由题意知，，，由，，可得，则，证明，则，设，由，即，解得，，由勾股定理得，，，，由，即，解得，进而可求的值．
【详解】解：由题意知，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
∵，即，解得，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∵，
∴，
∵，即，解得，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了余弦、正切，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16 ．
【答案】
【解析】
【分析】利用绝对值的代数意义，算术平方根的负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解：原式，
．
【点睛】本题考查的是绝对值，特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握“运算基础运算”是解本题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】首先将原式括号中两项通分，再利用同分母分式的减法法则计算合并，然后把除法转化为乘法，接着因式分解后约分得到最简结果，最后将 x 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解本题的关键在熟练掌握相关的运算法则．
18. 某中学计划以“爱护眼睛，你我同行”为主题开展四类活动，分别为A：手抄报；B：演讲；C：社区宣传；D：知识竞赛，为了解全校学生最喜欢的活动（每人必选一项）的情况，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）在扇形统计图中，D类活动对应扇形的圆心角为多少度？
（4）若该校有1500名学生，估计该校最喜欢C类活动的学生有多少？
【答案】（1）100 （2）见解析
（3）108° （4）600名
【解析】
【分析】（1）由的人数及其所占百分比可得总人数；
（2）根据四个活动人数之和等于总人数可得人数，从而补全图形；
（3）乘以样本中人数所占百分比即可；
（4）用1500乘以类活动的百分比即可．
小问1详解】
本次共调查的学生有（名；
故答案为：100；
【小问2详解】
对应人数为（名，
补全条形图如下：
【小问3详解】
，
类活动对应扇形的圆心角为108度；
小问4详解】
（名，
答：估计该校最喜欢类活动的学生有600名．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19. 飞盘运动由于门槛低、限制少，且具有较强的团体性和趣味性，在全国各地悄然兴起，深受年轻人喜爱，某商家拟用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘，已知橡胶飞盘的进货单价比海绵飞盘的进价单价多6元．
（1）海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是多少元
（2）由于飞盘畅销，商家决定再购进这两种飞盘共300个，其中橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，且每种飞盘的进货单价保持不变，若橡胶飞盘的销售单价为14元，海绵的销售单价为6元，试问第二批购进橡胶飞盘多少个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大？第二批飞盘的最大利润是多少元？
【答案】（1）海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是4元和10元
（2）第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大，第二批飞盘的最大利润是1000元
【解析】
【分析】（1）设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个元，然后根据用620元购进30个海绵飞盘和50个橡胶飞盘列出方程求解即可；
（2）设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘个，然后根据利润单件利润数量列出w关于m的一次函数关系式，再根据橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍求出m的取值范围，即可利用一次函数的性质求解．
【小问1详解】
解：设海绵飞盘每个x元，则橡胶飞盘每个元，
由题意得，，
解得，
∴，
∴海绵飞盘和橡胶飞盘的进货单价分别是4元和10元；
【小问2详解】
解：设第二批购进橡胶飞盘m个，利润为w元，则购进海绵飞盘个，
由题意得，，
∵橡胶飞盘数量不多于海绵飞盘数量的2倍，
∴，
∴，
∵，
∴w随m增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为元，
∴第二批购进橡胶飞盘200个时，全部售完后，第二批飞盘获得利润最大，第二批飞盘的最大利润是1000元．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际运用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际运用，正确理解题意列出对应的方程和函数关系式是解题的关键．
20. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系，y值越大，表示接受能力越强．
（1）点是二次函数的顶点，则 ， ；
（2）用光滑的曲线在所给的坐标系中画出二次函数的图象；

（3）根据图象，当内，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）；，学生的接受能力逐步 （填“增强”，“不变”或“降低”）．
（4）某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是多少分钟？
【答案】（1）13，59.5
（2）见解析 （3）增强；降低
（4）10分钟或16分钟
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的解析式将其改写成顶点式的形式即可；
（2）根据表格中的数据描点连线即可；
（3）根据图象解答即可；
（4）令， 求出x的值即可．
【小问1详解】
，
故答案为：13，59.5；
【小问2详解】
如图；
【小问3详解】
∵，
∴抛物线开口向下，对称轴是直线x=13，
当时，学生接受能力逐步增强；
当时，学生的接受能力逐步降低．
故答案为：增强；降低；．
【小问4详解】
当时，，
解得，，
某同学对概念的接受能力达到59时，提出概念所用的时间是10分钟或16分钟．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，在解题时注意数形结合思想的运用是解题关键．
21. 【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？
【解决问题】
（1）数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，

∵是的外角，
∴ （填“＞”，“＝”或“＜”），
∴ （填“＞”，“＝”或“＜”）；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接，请你判断与的数量关系，并说明理由；

【问题拓展】
（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）

【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三角形外角的性质求解即可；
（2）设与交于点G，连接，根据圆周角定理和三角形外角的性质求解即可；
（3）过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，根据题意得到当经过A，B的与相切时，最大，然后利用解直角三角形和勾股定理求解即可．
【小问1详解】
∵是的外角，
∴，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
，理由如下：
如图所示，设与交于点G，连接，

∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图所示，由（2）可得，当经过A，B的与相切时，最大，

过点O作交于点H，延长交于点E，过点E作交于点F，
∴，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴设的半径，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
∴解得或（舍去），
∴，
∴．
【点睛】此题考查了最大张角问题，圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22. （1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；
（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的性质，找相等的边和角证全等即可；
（2）过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，构造相似三角形和，列比例式求解算出，最后根据计算即可；
（3）过点作的垂线交于点，根据勾股定理算出，根据已知条件观察推理出，，结合与重叠部分的面积是的面积的，设列方程求出，最后根据勾股定理求出即可．
【详解】（1）正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点
，
，，
，即，
在和中
，
；
（2）如图，过点作的平行线交于点、交于点，过点作垂线交于点，
四边形和四边形都是矩形，，，，
，，，
，
，，
，
，
，
即，
，
；
（3）如图，过点作的垂线交于点，
设，则，
设，则，
，，
，
又，
，
，，四边形和四边形都是平行四边形，是直角三角形
∴，(有公共角且都有直角)，
，
∴，
∵，
即，
∴，，
设，则，
∵，
即，
∴，
与重叠部分的面积是的面积的，平行四边形对角线平分平行四边形的面积，
，
即，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的证明、勾股定理、特殊四边形（平行四边形、矩形、正方形）的性质、相似三角形，综合性强，熟练掌握相关知识、结合图象分析是解题的关键．x
0
43
5
53.5
h
k
20
55
30
31