精品解析：2023年广东省深圳市南山区中考二模数学试卷

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1. 如图所示的空心圆柱，其俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解： 该空心圆柱体的俯视图是：
故选：D．
【点睛】本题考查几何体的三视图，从不同的方向抽象出几何体的形状是解决问题的关键．
2. 2022年世界杯在卡塔尔举办，为了办好这届世界杯，人口仅有280万的卡塔尔投资2200亿美元修建各项设施，数据2200亿用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数的绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：2200亿，
2200亿用科学记数法表示为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为 ，其中 ，为整数，确定与的值是解题的关键．
3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用根的判别式的意义对A选项和C选项进行判断；通过解方程对B选项和D选项进行判断．
【详解】A．，方程没有实数解，所以A选项符合题意；
B．或，解得，所以B选项不符合题意；
C．方程化为一般式为，则，方程有两个不相等的实数解，所以C选项不符合题意；
D．，解得，所以D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
4. 如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一次函数的性质可得出点A的坐标，再观察图象可得当时，函数的图象位于的图象的下方，即可求解．
【详解】解：∵函数和的图象相交于点，
∴，
解得，
∴点A坐标为，
根据图象可知，不等式的解集为，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的不等式的关系，利用数形结合思想解答是解题的关键．
5. 如图，直线，等边的顶点C在直线b上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用三角形外角性质得到，然后利用平行线性质得出结果．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角性质，在图形中识别外角和内错角是解决问题的关键．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定有一张中奖B. 从装有10个红球的袋子中摸出一个白球是随机事件
C. 篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是必然事件D. 为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查
【答案】D
【解析】
【分析】根据概率的意义对A进行判断；根据随即事件和必然事件对B、C进行判断；根据全面调查和抽样调查对D进行判断．
【详解】A、某种彩票的中奖率为1%，则买100张彩票可能中奖，故A错误；
B、从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件，故B错误；
C、篮球巨星姚明在罚球线投篮一次投中是随机事件，故C错误；
D、为了解一批日光灯的使用寿命可采用抽样调查，故D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7. 如图，点O为的边上的一点，经过点B且恰好与边相切于点C，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，由切线性质可知，由，，可得，由，利用锐角三角形函数可得，再根据，即可求得结果．
【详解】解：连接，
∵与相切于点C，
∴，
∵，，
∴，则，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的性质定理，解直角三角形，扇形的面积公式，连接切点与圆心是解决问题的关键．
8. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A. B. 6C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，设蜡烛火焰的高度为，则：
，
解得：，
即蜡烛火焰的高度为，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．
9. 如图，等边内有一点E， ，，当时，则长为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】B
【解析】
【分析】以点B为旋转中心把顺时针旋转至，可证是等边三角形，，利用勾股定理求出的长即可求解．
【详解】以点B为旋转中心把顺时针旋转至，
则．
∴是等边三角形，
∴，
∴，
，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10. 如图，矩形ABCD中，∠BAC=60°，点E在AB上，且BE：AB=1：3，点F在BC边上运动，以线段EF为斜边在点B的异侧作等腰直角三角形GEF，连接CG，当CG最小时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在∠ABC的平分线上，当CG⊥BG时，CG最小，此时，画出图2，根据△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，证明△EGB≌△FGC，可得BE=CF，设AB=m，根据BE∶AB=1∶3，可得CF=BE=m，根据含30度角的直角三角形可得AD，进而可得结论．
【详解】解：如图1，取EF的中点O，连接OB，OG，作射线BG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°
∵O是EF的中点，
∴OB=OE=OF
∵∠EGF=90°，O是EF的中点，
∴OG=OE=OF
∴OB=OG=OE=OF
∴B，E，G，在以O为圆心的圆上，
∴∠EBG=∠EFG,
∵∠EGF=90°， EG=FG，
∴∠GEF=∠GFE=45°
∴∠EBG=45°
∴BG平分∠ABC，
∴点G在∠ABC的平分线上，
当CG⊥BG时，CG最小，
此时，如图2，
∵BG平分∠ABC，
∴∠ABG=∠GBC=∠ABC=45°，
∵CG⊥BG
∴△BCG是以BC为斜边的等腰直角三角形，∠BGC=90°
∴BG=CG
∵∠EGF=∠BGC=90°
∴∠EGF-∠BGF=∠BGC-∠BGF,
∴∠EGB=∠FGC,
在△EGB和△FGC中，

∴△EGB≌△FGC(SAS)，
∴BE=CF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC
设AB=m
∵BE∶AB=1∶3
∴CF=BE=m，
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，
∴∠ACB =30°
∴AC =2AB= 2m
∴BC= ，
∴AD=m，
∴
故选∶A．
【点睛】本题属于几何综合题，是中考选择题的压轴题，考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是准确作辅助线综合运用以上知识．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11. 分解因式： _____．
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，然后运用完全平方公式进行运算即可．
【详解】原式）
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．解题的关键在于正确的运算．
12. 有4张背面相同，正面分别印有的卡片，现将这4张卡片背面朝上，从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】直接由概率公式求解即可．
【详解】解：一共有4张卡片，其中整数有2个，故从中随机抽取1张，恰好抽到正面印有整数的卡片的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查的是概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 如图，在中，，点D是边的中点，过点D作于点M，延长至点E，且，连接交于点N，若，则的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】证明，得，由勾股定理求得，得，再运用勾股定理求出即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点M为的中点，
∵，
∴，
∴，
∵，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握三角形全等是解题的关键．
14. 如图，在中，，在轴上，平分，平分，与相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，则的值为 ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】通过作垂线构造直角三角形，根据直角三角形的两锐角的平分线的夹角为，求出，在中根据特殊锐角三角函数值可求出、，在中，根据勾股定理求出，再根据，得出，进而求出，最后根据反比例函数系数的几何意义求出结果即可．
【详解】解：过点作，垂足为，延长交于点，过点作，垂足为，
平分，平分，，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
在和中，
，，，
，
，，
，，
，
，
又，
，
负值舍去，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定和性质，三角形全等以及解直角三角形，求出的面积是解决问题的前提．
15. 如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点在的外接圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共7小题，满分55分）
16. 化简分式：，并从1，2，3这三个数中取一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】3.
【解析】
【分析】先根据分式混合运算的相关运算法则将原式化简，再在所给的值中选取一个使原式有意义的值代入计算即可.
【详解】原式=
=
=
∵要使原分式有意义，
∴的值不能取-2、2、3，
∴可取的值为1，
当时，原式=1+2=3.
【点睛】本题有以下两个解题要点：（1）熟悉分式混合运算的相关运算法则；（2）代值计算时，所选取的值必须使原分式有意义.
17. 如图，已知点，，以坐标原点O为位似中心，在第四象限将缩小为原来的三分之一（即新图形与原图形的相似比为）．
（1）画出缩小后的图形；
（2）写出B点的对应点坐标；
（3）如果内部一点M的坐标为，写出点M经位似变换后的对应点坐标．
【答案】（1）见详解 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）将、缩小为原来的后，找出对应点，作出图形即可．
（2）根据（1）所作的图可以找出B点的对应点坐标．
（3）根据位似变换中坐标变换规律即可求出．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的图形．
【小问2详解】
解：由（1）得B点的对应点坐标：．
【小问3详解】
解：M由第二象限变换到第四象限为，
新图形与原图形的相似比为
．
【点睛】本题考查了位似变化作图及坐标变换，掌握位似变化作图方法及坐标在位似变换中的规律是解题的关键．
18. 为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．请结合图中信息，解决下列问题：
（1）求此次调查中接受调查的人数，并补全条形统计图．
（2）若本市人口300万人，估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数．
（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自同区的概率．
【答案】（1）50人，统计图见解析
（2）估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意的人数分别为120万人，108万人
（3）
【解析】
【分析】（1）由满意的有20人，占，即可求得此次调查中接受调查的人数，进而求出非常满意的人数，最后补全统计图即可；
（2）用300万乘以样本中表示满意和非常满意的人数占比即可得到答案；
（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自同区的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：人，
∴这次调查中接受调查的人数为50人，
∴调查结果为非常满意的人数为人，
补全统计图如下：
【小问2详解】
解：万人，万人，
∴估算该市对市创卫工作表示满意和非常满意人数分别为120万人，108万人；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中选择的市民均来自同区的结果数有4种，
∴选择的市民均来自同区的概率为
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形与扇形统计图的知识．灵活运用所学知识是解题的关键．
19. 如图，的弦交于点E，连接，延长到点P，连结与相切，且．
（1）求证：点A是的中点；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接交于F点，如图，根据切线的性质得到，再证明，则根据垂径定理得到；
（2）根据圆周角定理，由得到，则可证明，然后利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可计算出的长．
【小问1详解】
证明：连接交于F点，如图，
∵与相切，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即点A是的中点；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
即的长为．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
20. 铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销时的2倍．
（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元？两次共购进多少苹果？
（2）如果超市将该品种苹果按每千克10元定价出售，当大部分苹果售出后，余下的500千克按定价的六折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？
【答案】（1）试销时该品种苹果的进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
（2）超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【解析】
【分析】（1）设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，根据“这次的进货价比试销时每千克多了元，购进苹果数量是试销的2倍”，列出分式方程，即可求解；
（2）根据总销售额总成本销售盈利，列出算式，即可求解．
【小问1详解】
解：设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二次购进该品种苹果的进价是每千克元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的根，且符合题意．
（千克），
答：试销时该品种苹果进价是每千克5元，两次共购进3000千克苹果；
【小问2详解】
解：（元）．
答：超市在这两次苹果销售中共盈利12000元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出方程，是解题的关键．
21. 在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式，利用函数图象研究其性质，运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．学习了一次函数之后，现在来解决下面的问题：
在中，下表是y与x的几组对应值．

（1）______，______；
（2）平面直角坐标系中，画出函数的图象；
（3）根据图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的打√，错误的打×．
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线．（ ）
②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（ ）
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值．（ ）
（4）若方程组有且只有一个公共解，则t的取值范围是______．
【答案】（1）2，
（2）见解析 （3），，
（4）
【解析】
【分析】(1)观察表格，函数图象经过点，，将这两点的坐标分别代入解析式，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；再把和分别代入所求的解析式，即可求出m， n的值；
(2)根据表中的数据，通过描点、连线，即可画出函数图象；
(3)根据函数图象即可一一判定；
(4)当函数的图象经过点时，可得，此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，再结合图象即可解答．
【小问1详解】
解：观察表格，此函数图象经过点，，将这两点坐标分别代入解析式，
得，
解得，
∴这个函数的表达式为；
∴当时，，
当时，，
故答案为：5，；
【小问2详解】
解：列表如下：
描点、连线，画图如下：
【小问3详解】
解：根据图象，判断如下：
①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线．（）
②当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小．（×）
③该函数在自变量的取值范围内有最小值，当时有最小值．（）
故答案为：，，；
【小问4详解】
解：当函数的图象经过点时，，
解得，
此时函数在点右侧的图象与函数的图象重合，
故当时，函数的图象与函数的图象有且只有一个交点，
即方程组有且只有一个公共解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，画出函数的图象，利用数形结合的思想是解题的关键．
22. 平行四边形中，点E在边上，连，点F在线段上，连，连．
（1）如图1，已知，点E为中点，．若，求的长度；
（2）如图2，已知，将射线沿翻折交于H，过点C作交于点G．若，求证：；
（3）如图3，已知，若，直接写出的最小值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据“直角三角形的中线等于斜边长一半”，可以得到，再在直角中，利用勾股定理求出，则，即可求解；
（2）由题意可得，是的角平分线，且，故延长交于点M，可证，要证，而，即证明即可，延长交于N，过E作于P，先证明，可以得到，再证明四边形是正方形，得到，接着证明即可解决；
（3）如图3，分别以和为边构造等边三角形，构造“手拉手”模型，即可得到，所以，则，当B，F，M，N四点共线时，所求线段和的值最小，利用，解即可解决．
【小问1详解】
解：∵，如图1，
∴，
E为的中点，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，设射线与射线交于点M，
由题可设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
延长交于N，
∴，
过E作于P，
则，
在与中，
，
∴，
∴，
过E作于Q，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图3，把绕点A逆时针旋转得到，得到等边，同理以为边构造等边，
∴，，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
当B，F，M，N四点共线时，最小，
即为线段BN的长度，如图4，
过N作交其延长线于T，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为 ．
【点睛】本题是一道四边形综合题，考查了线段的“截长补短”在证明三角形全等中的应用，同时要注意基本辅助线构造方法，比如第（2）问中的线段既是角平分线，又是垂线段，延长相交构等腰就是本题的突破口，再结合线段的截长补短来构造全等，还考查了多条线段和的最值问题，利用旋转变换来转化线段是解决此问的关键．…
0
1
2
3
…
…
7
3
1
1
3
…
…
0
1
2
3
…
…
7
5
3
1
1
3
…