精品解析：2023年广东省深圳市石岩公学中考模拟数学试题

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一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分）
1. 下列互为倒数是（ ）
A. 和B. 和C. 和D. 和
【答案】B
【解析】
【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：A、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；
B、，∴和互为倒数，符合题意；
C、和，∴和不互为倒数，不符合题意；
D、∵，∴和不互为倒数，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是倒数的定义，熟知乘积是1的两个数叫互为倒数是解题的关键．
2. 下面四个化学仪器示意图中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．
3. 深圳是改革开放后党和人民一手缔造的崭新城市，是中国特色社会主义在一张白纸上的精彩演绎。深圳广大干部群众披荆斩棘、埋头苦干，用40年的时间走过了国外一些国际大都市上百年走完的历程。深圳经济特区生机勃勃，向世界展示了我国改革开放的磅礴伟力，年深圳市年度为万亿，用科学计数法表示年深圳为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：万亿，
故选A．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. (D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据整式的加法运算法则、负指数幂的运算法则，积的乘方的运算法则，单项式除以单项式的运算法则即可解答．
【详解】解：∵，
∴错误，
∴不符合题意；
∵，
∴错误，
∴不符合题意；
∵(，
∴(错误，
∴不符合题意；
∵，
∴符合题意；
故选．
【点睛】本题考查了整式的加法运算法则、负指数幂的运算法则，积的乘方的运算法则，单项式除以单项式的运算法则，掌握对应法则是解题的关键．
5. 已知锐角，如图，按下列步骤作图：①在边取一点，以为圆心，长为半径画，交于点，连接．②以为圆心，长为半径画，交于点，连接．则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据画图过程，得到OD=OC，由等边对等角与三角形内角和定理得到∠ODC=∠OCD=，同理得到∠DOE=∠DEO=40︒，由∠OCD为△DCE的外角，得到结果．
【详解】解：∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOB=40︒，
∴∠ODC=∠OCD=，
∵以为圆心，长为半径画，交于点，
∴DO=DE，
∴∠DOE=∠DEO=40︒，
∵∠OCD为△DCE的外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE，
∴70︒=40︒+∠CDE，
∴∠CDE=30︒，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、以及三角形外角的性质，关键在于等边对等角与三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和两个知识点的熟练运用．
6. 假如控制双眼皮的基因为A，控制单眼皮的基因为，（即基因为时，则为单眼皮）如图为一对夫妻的基因遗传图谱，则生一个孩子为双眼皮的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基因遗传图谱，可得共有种等可能结果，有种是双眼皮，据此即可求解．
【详解】解：依题意，共有4种等可能结果，有种可能是双眼皮，
则生一个孩子为双眼皮的概率为，
故选：D．
【点睛】本题考查了列树状图求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
7. 下列命题错误的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形
B. 切线垂直于经过切点的半径
C. 将一次函数图像向上平移1个单位得到的图像
D. 有一组角相等及两边对应成比例的两个三角形相似
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理即可判断A；根据切线的定义即可判定B；根据一次函数图象的平移规律即可判断C；根据相似三角形的判定定理即可判定D．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题正确，不符合题意；
B、切线垂直于经过切点的半径，原命题正确，不符合题意；
C、将一次函数图像向上平移1个单位得到的图像，原命题正确，不符合题意；
D、两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，原命题错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了判断命题真假，相似三角形的判定，切线的定义，一次函数图象的平移规律，矩形的判定定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
8. 如图，在菱形中，，，以点A为圆心画圆弧交于点E，则阴影部分的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接交于点O，利用菱形的性质求得，，，解直角三角形求得和的长，再根据三角形和扇形面积公式求解即可．
【详解】解：连接交于点O，

∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴阴影部分的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案
【详解】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4
设物价是钱，则根据可得：
故选D．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键．
10. 如图，在矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点G．若，则的长度为（ ）

A. 6B. 12C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】连接，根据矩形的性质可得，再根据相似三角形的判定与性质即可求解．
【详解】解：连接，在矩形中，，，
∴，，
∴垂直平分于点G，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分．）
11. 因式分解=______．
【答案】．
【解析】
【详解】解：
=
=，
故答案为．
12. 如图，二次函数与x轴交点坐标为，，当时，x的取值范围是___________
【答案】##
【解析】
【分析】写出图象在x轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：由图象可知，当时，．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想．
13. 数学小组研究如下问题：深圳市的纬度约为北纬，求北纬纬线的长度．小组成员查阅相关资料，得到如下信息：信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线；
信息二：如图2，赤道半径约为千米，弦，以为直径的圆的周长就是北纬纬线的长度；（参考数据：，，，）
根据以上信息，北纬纬线的长度约为______千米．

【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的性质可知，在中，利用锐角三角函数求出，即为以为直径的圆的半径，求出周长即可．
【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，

根据题意，
∵，
∴，
∵在中， ，
∴，
∵，
∴由垂径定理可知：，
∴以为直径的圆的周长为，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，平行线的性质，解题的关键是熟练三角函数的含义与解直角三角形的方法．
14. 如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象经过顶点C、D，若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由菱形的性质可得BC＝CD，AD∥BC，可证四边形DEBF是矩形，可得DF＝BE，DE＝BF，在Rt△DFC中，由勾股定理可求DE＝1，DF＝3，由反比例函数的性质可求k的值．
【详解】如图，过点D作DF⊥BC于点F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AD∥BC，
∵∠DEB＝90°，AD∥BC，
∴∠EBC＝90°，且∠DEB＝90°，DF⊥BC，
∴四边形DEBF是矩形，
∴DF＝BE，DE＝BF，
∵点C横坐标为5，BE＝3DE，
∴BC＝CD＝5，DF＝3DE，CF＝5﹣DE，
∵CD2＝DF2+CF2，
∴25＝9DE2+(5﹣DE)2，
∴DE＝1，
∴DF＝BE＝3，
设点C(5，m)，点D(1，m+3)，
∵反比例函数y＝图象过点C，D，
∴5m＝1×(m+3)，
∴m＝，
∴点C(5，)，
∴k＝5×＝，
故答案为
【点睛】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出DE的长度是本题的关键．
15. 在和中，，点D在上，且，若，则的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】过点A作，垂足为M，先通过三角函数的值求出，，通过勾股定理求得，再通过求得，再根据，求得，再证明，通过求得答案．
【详解】解：如下图所示，过点A作，垂足为M，

∵，，
∴
∴，
∴，,
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴,
∴,
∵，
∴,
，
∵，，
∴，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形和三角函数，解题关键是根据三角函数的值，结合相似三角形的相似比，推算出和的等量关系．
三、解答题
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据负数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，绝对值的性质，二次根式的性质即可解答．
【详解】解：
；
【点睛】本题考查了负数指数幂的运算法则，零指数幂的运算法则，绝对值的性质，二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中满足．
【答案】1
【解析】
【分析】先利用分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将等式变形，代入化简式子中求解即可．
【详解】解：原式
∵，
∴，
则原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序，利用整体代入的思想方法是解答的关键．
18. 现在越来越多的孩子从小学习很多乐器，吉他就是很热门的一个，中国音乐协会为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对敦煌、凤灵两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表

敦煌、凤灵两种吉他得分统计表
（1）___________，___________；
（2）从方差的角度看，___________种吉他的得分较稳定（填“敦煌”或“凤灵”）；
（3）小明认为敦煌的吉他品质较好些，小军认为凤灵的吉他品质较好些．请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
【答案】（1）89，90
（2）敦煌 （3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的意义求解即可；
（2）根据数据大小波动情况，直观可得答案；
（3）从中位数、众数的比较得出答案．
【小问1详解】
解：将凤灵吉他的得分从小到大排列，处在中间位置的一个数是89，因此中位数是89，即，
敦煌吉他的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即，
故答案为：89，90；
【小问2详解】
解：由甲、乙两种吉他得分的大小波动情况，直观可得，
∴敦煌吉他的得分较稳定，
故答案为：敦煌；
【小问3详解】
解：敦煌吉他的品质较好些，理由为：敦煌吉他得分的平均数、中位数比凤灵的高．
凤灵吉他的品质较好些，理由为：凤灵吉他得分的众数比敦煌的高．
【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
19. 某新型高科技商品，每件的售价比进价多10元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖4件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）设每天的销售利润为w元，但物价部门规定其销售单价不高于进价的1.8倍，则当售价为多少元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）售价为40元，进价为每件30元
（2）当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为3456元
【解析】
【分析】（1）设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设售价上涨a元/件根据题意表示出利润w，然后根据二次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
设该商品每件的售价为x元，进价为每件y元，由题意得：，
解得，
∴该商品每件的售价为40元，进价为每件30元；
【小问2详解】
设售价上涨a元/件，
由题意得：
，
∵售价不得高于进价的1.8倍，
∴，
解得，
∵当时，w是随a的增大而增大
∴当时，w有最大值，最大值为3456，此时售价为（元），
∴当售价为54元时，该商品每天的销售利润最大，最大利润为3456元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
20. 如图，在中，，以为直径作，交于点，过点作交延长线于点，为上一点，且．

（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，以及等腰三角形的性质、直角三角形两个锐角互余，证明，即可证明为的切线．
（2）连接，根据，求得，根据勾股定理求得，证明，进而根据相似三角形的性质列出比例式，即可求出长度．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，，
，，
，
，
．
为的直径，
为的切线．
【小问2详解】
解：解：连接BF，如图所示，

为的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，．
，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线判定，相似三角形的性质与判定，正切值和勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质和定理以及通过正切求边长．
21. 在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称，其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点，关于x轴斜对称，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
（1）下列各点中，与点A关于x轴斜对称的点是________（只填序号）；
①，②，③，④．
（2）若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线上，的面积为3，求k的值；
（3）抛物线上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且为等腰直角三角形，则b的值为________．
【答案】（1）①④ （2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴斜对称的定义进行逐一判断即可；
（2）根据关于x轴纵对称的点的定义，设，如图所示，设与x轴相交于点C，根据三角形面积公式求出，再分点C在x轴正半轴和在x轴负半轴两种情况求出直线的解析式，进而求出点B的坐标，再把点B的坐标代入到直线中进行求解即可；
（3）根据成纵对称的点的定义，可知这两个点的纵坐标为，再令，则，可得点M的坐标为，点，然后根据为等腰直角三角形，可得，可得到关于b的方程，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意得，与点关于x轴斜对称的点是，，
故答案为：①④；
【小问2详解】
解：由斜对称的定义可设，且，
如图所示，设与x轴相交于点C，
∴，
；
①当C在x轴正半轴时：，，
设直线的函数解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的函数解析式为：，
把代入中得，
∴，
把代入中得；
②当C在x轴负半轴时：，
同理可得的函数解析式为：
把代入中得得，
∴，
把代入中得；
综上所述，或；
【小问3详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点D的坐标为，
∵点M，N与点A关于x轴斜对称，
∴点M，N的纵坐标为，
令，则，
解得：，
∴点M的坐标为，点，
∵为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，
解得：或0（舍去），
∵当时，N不是A关于x轴的斜对称，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于新定义题，是一次函数与几何图形，二次函数与一元二次方程的综合，难度较大，解题的关键是理解新定义，并能灵活运用所学知识进行解答．
22. 在一节数学探究课中，同学们遇到这样的几何问题：如图1，等腰直角三角形
和共顶点，且、、三点共线， ，连接，是的中点，连接和，请思考与具有怎样的数量和位置关系？

【模型构建】小颖提出且并给出了自己思考，以是中点入手，如图2，通过延长与相交于点，证明，得到，随后通过得，即，又，所以且．
（1）请结合小颖的证明思路利用结论填空：当，时， ___________；___________．
【类比探究】
（2）如图3，若将绕点逆时针旋转度（），请分析此时上述结论是否成立？如果成立，请写出证明过程，如果不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若将绕点逆时针旋转度（），当时，请直接写出旋转角的度数为___________．
【答案】（1），．
（2）依然成立，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）过作交的延长线于，依题意，，中，勾股定理求得，证明四边形是正方形，在中,勾股定理求得，即可求解；
（2）根据模型的方法，作出辅助线，延长至，使，分别连接、、，过作，交于，交于，与交于，证明，，得出，根据等腰三角形的性质，即可得出，；
（3）取的中点，连接，则是的中位线，连接，根据题意，得出当时，垂直平分，然后分类讨论即可求解．
小问1详解】
解：如图，过作交的延长线于，

由小颖得证明思路得：
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
又，
则四边形是正方形，
，
，
在中：
．
故答案：，．
【小问2详解】
解：依然成立，
证明：如图，延长至，使，分别连接、、，过作，交于，交于，与交于，

，，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，，
∴,
且．
【小问3详解】
取中点，连接，则是的中位线，连接，
∴，
当时，且点在的上方，如图所示，

∴垂直平分，
∴
∴
如图所示，当点在的下方时，此时点在的下方，

∴，
综上所述，或，
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
敦煌（分）
81
82
83
88
90
90
90
92
95
凤灵（分）
74
75
85
88
89
90
91
97
97
平均数
中位数
众数
敦煌
90
b
凤灵
a
97