精品解析：2023年广东省深圳市南山区下学期中考三模数学试题

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1. ﹣3的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
【详解】根据相反数的定义可得：－3的相反数是3，
故选D．
【点睛】本题考查相反数，题目简单，熟记定义是关键．
2. 万！梅西卡塔尔世界杯夺冠后的个人动态点赞数打破吉尼斯纪录，成历史第一．万用科学记数法表示（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：万．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式进行计算即可求解．
【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式是解题的关键．
4. 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看可得上面第一层有3个正方形，第二层左边和有一个正方形，如图所示：
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5. 年月日，杨倩以环的成绩获得年东京奥运会射击女子米气步枪项目金牌，为中国队收获东京奥运会的首枚金牌．她的其中个成绩（单位：环）分别是：、、、、；关于这组数据，以下结论错误的是（ ）
A. 众数为9B. 中位数为9C. 平均数为9D. 方差为2
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义，分别求解即可．
【详解】解：数据、、、、
从小到大重新排列为：、、、、，
众数为，中位数为，平均数为，
方差为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了众数，中位数，平均数，方差的定义，熟练掌握众数，中位数，平均数，方差的定义是解题的关键．
6. 将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解不等式，得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示：
故选：B．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的方法是解答此题的关键．
7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出，，根据异分母分式的加法进行计算即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、，
∴，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系：若是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 两点之间，直线最短
B. 线段垂直平分线上点到这条线段两个端点的距离相等
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点之间线段最短，垂直平分线的性质，平行四边形的判定定理，圆周角定理逐项分析判定即可求解．
【详解】解：A. 两点之间，线段最短,
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形
D.同弧或等弧所对圆周角的度数等于圆心角度数的一半
故选：B．
【点睛】本题考查了两点之间线段最短，垂直平分线的性质，平行四边形的判定定理，圆周角定理，熟练掌握以上性质定理是解题的关键．
9. 南山文体中心打算购买李宁、安踏两种不同品牌的篮球，已知李宁篮球的单价是安踏篮球的单价的倍，且用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个，设安踏篮球的单价为元，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设安踏篮球的单价为元，则李宁篮球的单价是，根据用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个，列出分式方程，即可求解．
【详解】解：设安踏篮球的单价为元，则李宁篮球的单价是，根据题意得，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了列分式方程，根据题意找到等量关系，列出方程是解题的关键．
10. 如图，四边形中，，以为直径的经过点C，连接、交于点.连接交于点，连接，若，，则以下结论：①；②为的切线；③；④；则正确的结论个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】①连接，证得，又知；
②、则、，证为中位线知、，进一步求得，再在中利用勾股定理逆定理证即可得出结论；
③连接，证明四点共圆，进而根据通弧所对的圆周角相等，即可得证；
④先证得，再证得，联立得，即，结合知，据此可得，结合可得相关线段的长，代入计算可得．
【详解】解：①连接，
在和中，
，
，
②由①得，
，
，
为的直径，
，
，即，
，
，，
，
，且，
，，
在中，，
在中，，
，
，
，
则与相切；
③连接，
，是圆的切线，
为等腰直角三角形，
为直径，
，，
，
四点共圆，
，故③正确
④是的直径，
，
，
，
，即，
又，，
，
，即，
由可得，即，
又，
，
，
，，，，，
，即，
解得：，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 分解因式：_________．
【答案】2（a+1）2
【解析】
【分析】
【详解】2（a+1）2.
故答案为2（a+1）2
考点：因式分解
12. 从1～9这9个自然数中，任取一个，是3的倍数的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解： ∵1～9这9个自然数中，是3的倍数的有3，6，9，共3个，
∴从1～9这9个自然数中，任取一个，是3的倍数的概率是．
故答案为：．
13. 如图，已知直线，的顶点在直线上，，，则的度数是______．
【答案】##度
【解析】
【分析】过点作，则，根据平行线性质得出，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作，则
∴
∵，，
∴
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
14. 如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，轴，点为轴上一点，过点作，交轴于点，若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据证明得出，根据三角形的面积公式得出，则，进而即可求解．
【详解】解：设，
则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得到是解题的关键．
15. 如图所示，，，以为底边向上构造等腰直角三角形，连接并延长至点P，使，则长的取值范围为 ____．
【答案】
【解析】
【分析】以为斜边作等腰直角三角形，延长至点E．使，连接．利用等腰直角三角形的性质得出利用相似三角形的性质求出，再利用三角形中位线的性质求出，由是等腰直角三角形，，得出垂直平分，进而求出，继而利用三角形的三边关系即可求出答案．
【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，延长至点E．使，连接、．
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴是的中位线，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确作出辅助线是解决问题的关键．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18题8分，第19题9分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
16. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，化简绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，从，，，，中取一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】；当时，原式；当时，原式
【解析】
【分析】根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件确定x的值，将字母的值代入求解．
【详解】
，
∵
∴当时，原式，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
18. 某校校园文化节中组织全校学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：级为特等奖，级为一等奖，级为二等奖，级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：

（1）本次被抽取的部分人数是______名，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是______；
（3）根据抽样结果，请估计该校1800名学生获得特等奖的人数是______名；
（4）调查数据中有3名获特等奖的学生甲、乙、丙，要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求丙被选中的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据级的人数与占比求得总人数，进而求得级的人数，补全统计图；
（2）根据级的占比乘以，即可求解；
（3）用乘以等级的占比即可求解；
（4）根据树状图求解概率即可；
【小问1详解】
解：本次抽样测试的人数是（名），
故答案为：；
条形图中，级的人数为： （名），
把条形统计图补充完整如图：
【小问2详解】
扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是，
故答案为：，
【小问3详解】
估计该校获得特等奖人数为：（名）
故答案为：，
【小问4详解】
画树状图如图：

共有6个等可能的结果，丙被选中的结果有4个，
∴丙被选中的概率为：．
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图、画树状图求概率，从统计图中获取信息是解题的关键．
19. 开学季，某文具店购进甲、乙两种笔记本共本，总成本为元，两种笔记本的成本和售价如下表：
（1）文具批发店购进甲、乙两种笔记本各多少本？
（2）该文具店觉得这两种笔记本很物销，准备再购进本，但是成本不能超过元，则文具店第二次进货的最大利润是多少？
【答案】（1）文具批发店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本
（2）文具店第二次进货的最大利润是元
【解析】
【分析】（1）设文具批发店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，根据题意得出，设文具店第二次进货的利润为，则，根据一次函数的性质求最值即可求解．
【小问1详解】
解：设文具批发店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本，根据题意得，
解得：
答：文具批发店购进甲种笔记本本，乙种笔记本本；
【小问2详解】
解：设购进甲种笔记本本，则购进乙种笔记本本，
解得：，
设文具店第二次进货的利润为，则，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为
答：文具店第二次进货的最大利润是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式，以及一次函数的性质是解题的关键．
20. 如图，抛物线经过点，点，且．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，

设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21. 如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆直径AB在线段AE上．
（1）试说明CE是⊙O的切线；
（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示⊙O的直径AB；
（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CD+OD的最小值为6时，求⊙O的直径AB的长．
【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB=；（3）．
【解析】
【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，
∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，
∴∠OCE=90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，
如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，
∴h=OC•sin60°=OC，∴OC==，
∴AB=2OC=；
（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，
如图3，则∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°﹣60°）=60°，
∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，
∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，
∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD（即CD+OD）最小，此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6，则OF=，AB=2OF=，
∴当CD+OD的最小值为6时，⊙O的直径AB的长为．
考点：1．圆的综合题；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的判定与性质；4．菱形的判定与性质；5．锐角三角函数的定义；6．特殊角的三角函数值．
22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究：
（1）【观察与猜想】如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，，则的值为______；

（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，，则的值为______；

（3）【证明与理解】如图3，在矩形中，，，，求的值；

（4）【知识点应用】如图4，在中，，，，将沿翻折后得到，点在边上，点在边上，，求的值．

【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质，互余的性质，证明即可；
（2）根据矩形的性质，互余的性质，证明即可；
（3）如图3，过点作，垂足为，根据矩形的性质，互余的性质，证明即可；
（4）过点作于点，连接交于点，根据正切的定义得到，根据勾股定理分别求出、，根据三角形的面积公式求出，计算即可．
【小问1详解】
解：如图1，四边形是正方形，
，，
，

，，
，
，
，
，
故答案为：．
【小问2详解】
如图，四边形是矩形，
，
，

，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【小问3详解】
如图，过点作，垂足为，
四边形是矩形，
，，
，
，
，

，
，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故答案为：．
【小问4详解】
解：过点作于点，连接交于点，如图所示：

，，
，
，
，
，
，
在中，，
，即，设，则，
，
，
（负值舍去），
，，
，
，
，
，
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，方程组，三角函数，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键．
笔记本
成本（元/本）
售价（元/本）
甲
乙