精品解析：2023年广东省深圳中学共同体中考数学一模试卷（3月）

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1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ）
A. ﹣2B. 3C. 0D. ﹣3
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的意义，计算出各选项的绝对值，然后再比较大小即可．
【详解】解：|－2|＝2，|3|＝3，|0|＝0，|－3|＝3，
所以绝对值最小的是0．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值及有理数大小比较，正确求出各数的绝对值是解题的关键．
2. 已知点与点关于原点对称，则值为（ ）
A. B. 5C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于原点对称的两点横纵坐标都互为相反数，可得出a、b的值，即可计算的值．
【详解】∵与点关于原点对称，
∴，，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查中心对称，理解关于原点对称的两点的关系是解题的关键．
3. 如图是一个长方体切去部分得到的工件，箭头所示方向为主视方向，那么这个工件的主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看主视图为长方形，且长方形内有一条斜线．
故选：B．
【点睛】此题考查了三视图的知识，解题的关键是知道主视图是从物体的正面看得到的视图．
4. 如图，在中，对角线与相交于点O，如果添加一个条件，可推出是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据四边形是平行四边形，，即可得四边形是菱形．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
故选：C．
【点睛】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定方法．
5. 因深圳市委正紧紧围绕打造“志愿者之城”4.0升级版，推动志愿服务事业朝着更专业、更精细、更规范的方向不断迈进，截至2022年底，深圳市注册志愿者已达3510000人，平均每5个深圳市民里就有一个志愿者．其中数据3510000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（ ）
A. 115°B. 120°
C. 145°D. 135°
【答案】D
【解析】
【分析】由下图三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．
【点睛】此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形结合思想的应用．
7. 如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）
A. 当时，B. I与R的函数关系式是
C. 当时，D. 当时，I的取值范围是
【答案】D
【解析】
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，
∵反比例函数，I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，的取值范围是，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
8. 如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为41，则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b的比的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理可以求得a2＋b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到2ab的值，然后根据（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab即可求得（a＋b）的值；根据小正方形的面积为（b−a）2＝1即可求得b-a=1，进而联立方程组求得a与b的值，则可求出答案．
【详解】解：∵大正方形的面积是41，设边长为c，
∴c2＝41，
∴a2＋b2＝c2＝41，
∵四个直角三角形的面积是41−1＝40，
又∵一个直角三角形的面积是ab，
∴2ab＝40，
∴（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab＝41＋40＝41＋40＝81，
∴a＋b＝9．
∵小正方形的面积为（b−a）2＝1，b＞a，
∴b-a=1，
联立，
解得：
∴．
故答案为：D．
【点睛】本题考查了勾股定理、解二元一次方程组以及完全平方公式．注意完全平方公式的展开：（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，还要注意图形的面积和a，b之间的关系．
9. 在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝10，用尺规作图的方法作线段AD和线段DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE的周长是( )
A. 8B. 5C. D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠B=45°，根据尺规作图可知AD平分∠CAB，根据角平分线的性质定理解答即可．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠B=45°，
由尺规作图可知，AD平分∠CAB，DE⊥AB又，∠ACB=90°，
∴DE=DC，又∠B=45°，
∴DE=BE，
∴△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=10，
故选D．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及尺规作图，掌握等腰直角三角形的性质和基本尺规作图是解题关键．
10. 如图，在中，，作于点D，以为边作矩形，使得，延长，交于点G，作交于点H，作分别交，于点M、N，若，，则边的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依据条件可判定，即可得到，，易证四边形是矩形，四边形是矩形，则 ，，，，又，则，设，则，，，再证，得，则，在中，由勾股定理，得
，因为，所以，即，解之求出x值，即可求解．
【详解】解：，，
，
，，
，
．
在和中，
，
，
，．
∵矩形，，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，
∴ ，，，
，
又∵，
，
设，则，，，
∵，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得
，
∵
∴，
化简整理，得．
解得：或（不符合题意，舍去），
∴
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，解一元二次方程，本题属四边形综合题目，熟练掌握相似三角形判定与性质，全等三角形判定与性质是解题的关键．
二、填空题
11. 因式分解：x2y﹣y=_____．
【答案】y（x+1）（x﹣1）．
【解析】
【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行二次分解即可．
【详解】解：原式=y（x2﹣1）=y（x+1）（x﹣1），
故答案为y（x+1）（x﹣1）．
【点睛】本题考查因式分解.熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.
12. 一个不透明的箱子里装有2个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．从箱子里摸出1个球，是红球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出总的球数，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：在一个不透明的箱子里装有2个白球，3个红球，共5个球，
随机从中摸出一个球，摸到红球的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A出现m种结果，那么事件A的概率，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
13. 紫砂並是我国特有的手工制造陶土工艺品，其制作过程需要几十种不同的工具，其中有一种工具名为“带刻度嘴巴架”，其形状及使用方法如图1．当制壶艺人把“带刻度嘴巴架”上圆弧部分恰好贴在壶口边界时，就可以保证要粘贴的壶嘴、壶把、壶口中心在一条直线上．图2是正确使用该工具时的示意图．如图3，为某紫砂壶的壶口，已知A，B两点在上，直线l过点O，且于点D，交于点C．若，，则这个紫砂壶的壶口半径r的长为______mm．
【答案】25
【解析】
【分析】根据题意，得到，，利用勾股定理计算即可．
【详解】∵，，半径r，，
∴，，
根据勾股定理，得，
解得，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键．
14. 如图，在直角坐标系中点，，将向右平移，某一时刻，反比例函数的图像恰好经过点A和OB的中点，则k的值为______．
【答案】6
【解析】
【分析】先作出平移后的图形，设平移距离为a，如下图，分别表示出点C、F坐标，利用k的几何意义即可求解．
【详解】
设平移距离为a，为平移后的图形，
则
又∵点F是中点
∴
∵点C、F在图像上，根据k的几何意义
∴
解得
∴
故答案为6．
【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
15. 如图，点E是正方形边上的一点，已知，分别交边，于点G，F，且满足，则的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】先判定A、E、G、D四点共圆，从而得出是等腰直角三角形，则，再证明，得出，即 ，把，代入即可求出的长．
【详解】解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴A、E、G、D四点共圆，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质，四点共圆，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，得出A、E、G、D四点共圆是解题的关键．
三、解答题
16 计算：．
【答案】1．
【解析】
【分析】先计算乘方和开方，并求绝对值和把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握零指数幂、特殊的三角函数值和求绝对值运算是解题的关键．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先化简括号，再算乘除，最后计算加减，再代值求解即可.
【详解】解：原式=
=
=
=
当时，原式==
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值以及二次根式的计算，正确的计算能力是解决问题的关键.
18. 某校对九年级学生进行了一次防疫知识竞赛，并随机抽取甲、乙两班各50名学生的竞赛成绩（满分100分）进行整理，描述分析．下面给出部分信息：甲班成绩的频数分布直方图如图所示（数据分为6组：，，，，，），其中90分以及90分以上的人为优秀；甲班的成绩在这一组的是：72，72，73，75，76，77，77，78，78，79，79，79，79．甲、乙两班成级的平均数、中位数、众数和优秀人数如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中的______；
（2）在此次竞赛中，你认为甲班和乙班中，______班表现的更优异，理由是______；
（3）如果该校九年级学生有600名，估计九年级学生成绩优秀的有多少人？
【答案】（1）78 （2）甲，甲班的平均分（中位数、众数）比乙班的平均分（中位数、众数）高；
（3）该校九年级600名学生中成绩优秀的大约有54人
【解析】
【分析】（1）根据甲班的中位数是从小到大排列后的第25个和26个数据的平均数进行求解即可；
（2）根据各统计量进行分析解答即可；
（3）根据样本估计总体，用该校九年级总人数乘以抽取学生中优秀人数的占比即可求解．
【小问1详解】
解：由题意可知甲班的中位数是从小到大排列后的第25个和26个数据的平均数，即，、
故答案为：78
【小问2详解】
甲班成绩优异，理由是：甲班的平均分（中位数、众数）比乙班的平均分（中位数、众数）高；
故答案为：甲；甲班的平均分（中位数、众数）比乙班的平均分（中位数、众数）高
【小问3详解】
由题意得：（人），
答：该校九年级600名学生中成绩优秀的大约有54人．
【点睛】此题考查了频数分别直方图、平均数、中位数、众数、样本估计总体等知识，读懂题意，准确求解是解题的关键．
19. 探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；______，______，______；
（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集为______．
【答案】（1），3，4
（2）见解析 （3）或
【解析】
【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根据表格所给数据描点、连线即可；
（3）结合函数图象与不等式之间的联系，利用数形结合思想求解．
【小问1详解】
解：由表格可知，点在该函数图象上，
∴将点代入函数解析式可得：，
解得：，
∴原函数的解析式为：；
当时，；
当时，；
∴，，，
故答案为：，3，4；
【小问2详解】
解：通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；
【小问3详解】
解：要求不等式的解集，
实际上求出函数的图象位于函数图象上方的自变量的范围，
∴由图象可知，当或时，满足条件，
故答案为：或．
【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题的关键．
20. 红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
（1）求甲、乙两种灯笼每对进价；
（2）经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对；物价部门规定其销售单价不高于每对65元，乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对
（2）乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元
【解析】
【分析】(1)设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对，根据用3120元购进甲灯笼与用4200元购进乙灯笼的数量相同，列分式方程求解即可；
(2)设乙灯笼每对涨价x元，一天通过乙灯笼获得利润为y元，首先利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式；再由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案．
【小问1详解】
解：设甲种灯笼单价为x元/对，则乙种灯笼的单价为(x+9)元/对
根据题意得：
解得
经检验：是原方程的解，且符合题意
故x+9=26+9=35
答：甲种灯笼单价为26元/对，乙种灯笼的单价为35元/对
小问2详解】
解：设乙灯笼每对涨价x元，一天通过乙灯笼获得利润为y元
根据题意得：y=(50+x-35)(98-2x)=-2x2+68x+1470

函数y有最大值，该二次函数的对称轴所在直线为
物价部门规定其销售单价不高于每对65元


时，y随x的增大而增大
当x=15时，y有最大值，最大值为：
50+15=65
答：乙种灯笼的销售单价为65元时，一天获得利润最大，最大利润是2040元
【点睛】本题考查了分式方程和二次函数的应用，由于前后步骤有联系，第一问解对，后面才能做对．本题还需要根据问题的实际意义来确定销售单价的取值．
21. 【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，是点P对线段的视角．
【应用】
（1）如图②，在直角坐标系中，已知点，，，则原点O对三角形的视角为______；
（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆，以原点O，半径为4画圆，证明：圆上任意一点P对圆的视角是定值；
【拓展应用】
（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或．
【解析】
【分析】（1）延长交x轴于点D，过点C作轴于点E，可得轴，，，进而得到，，再由锐角三家函数可得，即可求解；
（2）过圆上任一点P作圆的两条切线交圆于A，B，连接，，则有，，根据锐角三家函数可得，，从而得到，即可求证；
（3）分三种情况：当在直线与直线之间时，视角是，此时以为圆心，半径画圆，交直线于，；当在直线上方时，视角是，此时以为圆心，半径画圆，交直线于，；当在直线下方时，视角是，此时以为圆心，DC半径画圆，交直线于，，即可求解．
【详解】解：（1）延长交x轴于点D，过点C作轴于点E，
∵点，，，
∴轴，，，
∴轴，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
即原点O对三角形的视角为
过答案：
（2）证明：如图，过圆上任一点P作圆的两条切线交圆于A，B，连接，，则有，，
在中，，，
∴，
∴，
同理可求得：，
∴，
即圆上任意一点P对圆的视角是，
∴圆上任意一点P对圆的视角是定值．
（3）当在直线与直线之间时，视角是，此时以为圆心，半径画圆，交直线于，，
∵，，
不符合视角的定义，，舍去．
同理，当在直线上方时，视角是，
此时以为圆心，半径画圆，交直线于，，不满足；
过点作交延长线于点M，则，
∴，
∴
当在直线下方时，视角是，
此时以为圆心，DC半径画圆，交直线于，，不满足；
同理得：；
综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，勾股定理是解题的关键．
22. 【探究发现】
（1）如图①所示，在等腰直角中，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，则有下列命题：
①；
②；
③；
请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程；
【类比迁移】
（2）如图②所示，在等腰中，，，点D，O分别为边，上一点，且，延长交射线于点E，若，求的值；
【拓展应用】
（3）在等腰中，，，，点D，O分别为射线，上一点，且，延长交射线于点E，当为等腰三角形时，请直接写出的长（用a，b表示）．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或或．
【解析】
【分析】（1）选择①，由等腰直角，，，再由，得，则，即可由相似三角形的判定得出结论；
（2）先证明，得，所以，，再证明，得，设，则，，代入得：，解得：，即可求解；
（3）分两种情况：（Ⅰ）当点D在线段上时，（Ⅱ）当点D在线段延长线上时，分别求解即可．
【详解】解：（1）选择①，是真命题．
证明：∵为等腰直角，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
②③都是真命题．
同理可证②，③．
（2）如图②，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，，代入得：，
解得：，
∴．
（3）或或．
解：（Ⅰ）如图③，当点D在线段上时，
∵，
∴
∵
∴
∴
∵
∴，
∴，即，
所以设，，，
∵，
∴为等腰三角形时，只有这种情况，
即，解得：
∴
（Ⅱ）如图④，当点D在线段延长线上时，
同（Ⅰ）可证，
∴，即，
所以设，，，
∴（i）若时，即有，解得：，
∴
（ii）若时，，
同（Ⅰ）可证：，即有，
解得：，由得：，解得：
∴
（iii）若时，即O在线段的中垂线上，又因为O已在的中垂线上，，所以矛盾，不存在这种情形．
综上：或或．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．平均数
中位数
众数
优秀人数
甲班成绩
78
m
85
3
乙班成绩
75
73
82
6
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
6
5
4
a
2
1
b
7
…