2022-2023学年上海市金山区七校联考八年级上学期数学期末考试

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完卷时间90分钟；满分100分
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解答的步骤．
一、选择题（本大题共6小题，每题3分，满分18分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A. ，故不符合题意；
B. ，故不符合题意；
C. ，故不符合题意；
D. ，最简二次根式，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，熟记最简二次根式的定义是解题的关键．
2. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【详解】解：∵，
A、，与不是同类二次根式．
B、，与不是同类二次根式．
C、，与是同类二次根式．
D、，与不是同类二次根式．
故选：C．
【点睛】本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3. 下列关于x的方程中一定没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.
【详解】解: A. x2-x-1=0,△=1+4=50,∴原方程有两个不相等的实数根,
B. , △=36-144=-1080,∴原方程没有实数根,
C. , , △=10,∴原方程有两个不相等的实数根,
D. , △=m2+80,∴原方程有两个不相等的实数根,
故选B.
【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.
4. 关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A. 它的图象是双曲线
B. 它的图象在第一、三象限
C. 的值随的值增大而减小
D. 若点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】C
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象上点的坐标特征，以及该函数的图象的性质进行分析．
【详解】A．反比例函数的图象是双曲线，正确，不符合题意；
B．，图象位于一、三象限，正确，不符合题意；
C．在每一象限内，y的值随x的增大而减小，错误，符合题意；
D．，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，故正确，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查反比例函数的性质．注意：描述反比例函数的增减性时要指明在每一象限内．
5. 下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. ；B. ；C. ；D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理判断即可．
【详解】解： ，，，
∵，且，
∴为三角形的三边可以构成直角三角形，
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是准确进行计算，熟练运用勾股定理逆定理进行判断．
6. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的垂直平分线
B. 到一个角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线
C. 到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是以点A为圆心的圆
D. 经过已知点P和点Q的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质、圆的轨迹、垂直平分线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可．
【详解】A. 底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的垂直平分线，底边的中点除外，故该命题是假命题，不符合题意；
B.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故该命题是假命题，不符合题意；
C. 到点A的距离等于2厘米的点的轨迹是以点A为圆心厘米为半径的圆，故该命题是假命题，不符合题意；
D. 经过已知点P和点Q的圆的圆心的轨迹是线段的垂直平分线，该命题是真命题，符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、垂直平分线和线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共12小题，每题2分，满分24分）
7. 化简：__．
【答案】
【解析】
【分析】进行分母有理化运算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查分母有理化运算，掌握分母有理化是解题的关键．
8. 函数的定义域是__.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0，分析原函数式可得关系式，解可得自变量x的取值范围．
【详解】解：根据题意有，
解可得．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数定义域，解题的关键是掌握理解分式有意义的条件是分母不等于0．
9. 已知，那么__．
【答案】2
【解析】
【分析】根据函数的定义，将代入即可．
【详解】解：将代入，
得：．
故答案为：2．
【点睛】本题考查求函数值，把自变量的值代入函数解析式进行计算即可，正确掌握函数值的求法是解题的关键．
10. 已知关于x的一元二次方程的一个根是0，那么__．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义得到，由方程的解的定义，把代入已知方程，列出关于m的新方程，通过解新方程来求m的值．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为0，
∴，且，
解得，，
故答案是：3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．
11. 在实数范围内分解因式：__．
【答案】
【解析】
【分析】根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．
【详解】解:原式
故答案为：
【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．
12. 某种产品原来每件100元，经过两次降价，现在每件售价为81元，如果每次降价的百分率相同，设这个百分率为，则根据题意，可列出方程为__．
【答案】
【解析】
【分析】设每次降价百分率为x，根据原来每件售价为100元，经过两次降价后，现在每件售价为81元，可列出方程．
【详解】解：每次降价百分率为x，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查理一元二次方程的应用，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，列出方程是关键．
13. 已知正比例函数的图象经过点，则的值随着的值增大而__（填“增大”、“减小”、或“不变”）．
【答案】减小
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】解：函数的图象经过点，
∴
∴
∴y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数的性质：正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当时，该直线经过第一、三象限，且y的值随x的值增大而增大；当时，该直线经过第二、四象限，且y的值随x的值增大而减小．
14. 命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是_____命题．（填入“真”或“假”）
【答案】假
【解析】
【详解】解：原命题的逆命题为：面积相等的两个三角形为全等三角形，则这个命题为假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题的真假性，解决此题的关键是会写出原命题的逆命题．
15. 在中，，，于D，则__度．
【答案】35
【解析】
【分析】由已知可得，，所以.
【详解】解：如图：
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：35
【点睛】本题考查直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，解题的关键是掌握以上相关知识点．
16. 如图，在中，，点在上，，垂足为点，且，那么______度．
【答案】
【解析】
【分析】证明，得到，设，则，，中，勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得出，进而根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵在中，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，设，则，，
在中，，
在中，设，则，
∴，，
∴，
解得，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又，
中，，
即，
∴,
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，等角对等边，垂直平分线的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
17. 如图，在中，斜边的垂直平分线交于点D，交于点E，，，则__．
【答案】
【解析】
【分析】证明，得到，设，则，求出，在中，由勾股定理可求解．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
设，则，
∵是直角三角形，，，
∴，
在中，由勾股定理可得：，解得：．
故答案为：
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义、全等三角形的判定及性质、勾股定理，熟练掌握以上相关知识点是解题关键．
18. 如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为__．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据翻折的性质可得，，，由可得是等腰直角三角形，可求出，根据等腰三角形的性质可求出，即可求出，由直角三角形两锐角互余可得，即可求出，可证明是等腰直角三角形，可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可求出的长，根据可求出的长，即可得的长．
【详解】连接，如图
∵沿直线翻折后点A落在点E处，
∴，，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了翻折的性质，含角的直角三角形的性质及勾股定理，翻折前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等；角所对的直角边等于斜边的一半，正确得出翻折后的对应边及对应角并熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8题，满分58分）
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和混合运算，熟知其运算法则是解题的关键．
20. 解方程： ．
【答案】，
【解析】
【分析】先移项把方程化为，再配方得到，再利用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：∵
∴
∴，即
∴
解得：或
∴ 原方程的解是，．
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，掌握“利用配方法解一元二次方程”是解本题的关键．
21. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值，并求出此时方程的根.
【答案】,
【解析】
【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，得△=0，即△=，可解得，然后把代入方程，解此方程即可．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，
∴△=，
∴，
∴，
∴，
∴此时的方程为：，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识是解题的关键.
22. 如图，点A在x轴上，，反比例函数在第一象限内的图像与交于点，与交于点．
（1）求该反比例函数的解析式及图像为直线的正比例函数解析式；
（2）求的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1) 把C（4，1）代入得，把代入反比例函数解析式，确定点D的坐标，根据正比例函数的解析式确定即可．
（2）设代入，得，根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
把代入
得，
∴反比例函数的解析式：，
把代入得，
∴；
设直线的表达式：
把代入
得，
∴图像为直线的正比例函数解析式：．
【小问2详解】
设代入，
得，
所以，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法确定函数的解析式，交点坐标意义，勾股定理，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
23. 小强骑车从家到学校要经过一段先上坡后下坡的路，在这段路上小强骑车的距离s(千米)与骑车的时间t（分钟）之间的函数关系如图所示，请根据图中信息回答下列问题：
(1)小强去学校时下坡路长 千米；
(2)小强下坡的速度为 千米/分钟；
(3)若小强回家时按原路返回，且上坡的速度不变，下坡的速度也不变，那么回家骑车走这段路的时间是 分钟.
【答案】（1）2（2）0.5（3）14
【解析】
【分析】（1）根据题意和函数图象可以得到下坡路的长度；
（2）根据函数图象中的数据可以求的小强下坡的速度；
（3）根据题意可以求得小强上坡的速度，进而求得小强返回时需要的时间．
【详解】（1）由题意和图象可得：小强去学校时下坡路为：3﹣1=2（千米）．
故答案为2；
（2）小强下坡的速度为：2÷（10﹣6）=0.5千米/分钟．
故答案为0.5；
（3）小强上坡时的速度为：1÷6=千米/分钟，故小强回家骑车走这段路的时间是：=14（分钟）．
故答案为14．
【点睛】本题考查了函数图象，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24. 已知直角坐标平面内两点，．
（1）利用无刻度直尺、圆规在轴上求作点，使（不要求写出作法和证明，但要求保留作图痕迹，并写出结论）；
（2）求出点的坐标（写出计算过程）；
（3）求出的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线上的点，到线段两端的距离相等，作出的垂直平分线，垂直平分线与x轴的交点即为点P；
（2）设出P点的坐标，利用，建立方程，求解即可；
（3）利用勾股定理的逆定理，证得为直角三角形，即可直接求得面积，也可作轴，轴，用割补法求得的面积．
【小问1详解】
解：如图，连接，以A点和B点为圆心，大于长为半径画弧（半径相同），两弧相交于线段的两侧，连接两交点，该连线与x轴的交点即为点P ，此时；
【小问2详解】
解：设点
，，
，，
，
，
，
解得，
∴点；
【小问3详解】
解：解法一：∵，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，，
的面积：．
解法二：如图，作轴，轴，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，两点之间的距离公式，割补法求面积（或勾股定理判定直角三角形），解决本题的关键在于利用垂直平分线的性质找到点P，并能熟练运用相关的几何定理．
25. 如图，在与中，，，与交于点F，且，

求证：
（1） ；
（2）．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据AAS证明即可；
（2）解法一：连接证明，进而可证明结论成立；解法二：连接，利用等腰三角形的性质和判定方法证明即可．
【小问1详解】
∵，
∴，
即，
在和中
，
∴
∴
【小问2详解】
解法一：连接
∵
∴
在与中
，
∴
∴，
∴，
即
解法二：连接
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定方法有：、、、和；全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等．
26. 如图，在中， ， ，，点 D 是边 上动点（点 D 与点 A、B 不重合），过点 D 作 交射线 于点 E，联结 ，点 F是 的中点，联结、、 ．
（1）当点 E边 上（点 E与点C不重合）时，
①设， ，求出y关于x的函数关系式及定义域；
②当平分时，求出的长；
③求证： 是等边三角形．
（2）如果，请直接写出的长
【答案】（1）① （）；②；③证明见解析
（2）1或2
【解析】
【分析】（1）①根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，然后再根据进行解答即可； ②利用角平分线的性质定理可得，再建立方程求解即可；③先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到，然后即可证明是等边三角形；
（2）先求出的长度，在中，再利用勾股定理求出，再分点E在上与在射线上两种情况求解．
【小问1详解】
解：①∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴；
②∵平分，，
∴，
在中，，
∴ ，
∴ ，
解得，
∴；
③证明：在和中，，
∵点F是的中点，
∴， ，
∴，
∴，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
【小问2详解】
∵，，，
∴，，
在中，，
当点E在上时，，
当点E在射线上时，如图，
∴，
∴的长是1或2．
【点睛】本题主要考查了角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及等边三角形的判定，列一次函数的关系式，综合性较强，只要仔细分析也不难解决．