2022-2023学年上海市松江区八年级下学期期末数学试题

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（完卷时间90分钟，满分100分） 2023.6
考生注意：
1．本试卷含四个大题，共26题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 一次函数y＝2x－5的图象不经过的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】分析：由直线的解析式得到k＞0，b＜0，利用一次函数的性质即可确定直线经过的象限．
详解：∵y=2x-5，
∴k＞0，b＜0，
故直线经过第一、三、四象限．
不经过第二象限．
故选B．
点睛：此题主要考查一次函数的图象和性质，它的图象经过的象限由k，b的符号来确定．
2. 在下列方程中，有实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的非负性对A进行判断；利用根的判别式的意义对B进行判断；解无理方程对C进行判断；解分式方程对D进行判断．
【详解】解：A、移项得：，∵，所以原方程没有实数解，所以A选项不符合题意；
B、因为，所以原方程没有实数解，所以B选项不符合题意；
C、给方程两边同时平方得：，化为一般形式为：，解得，经检验时不满足原方程，所以，所以C选项符合题意；
D、解方程得，经检验当时分母为零，所以原方程无实数解，所以D选项不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了解无理方程、一元二次方程、分式方程等知识点，解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解．
3. 下列等式中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的线性计算，逐一进行判断即可．
【详解】解：A.，原式错误；
B.，正确；
C.，正确；
D.，正确；
故选：A．
【点睛】本题考查向量的线性计算．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4. 解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据，设，代入得，再左右同乘化简即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了换元法将分式方程化为整式方程，换元代入是解题的关键．
5. 下列各事件中，属于必然事件的是（ ）
A. 拋一枚硬币，反面朝上；
B. 早上出门，在第一个路口遇到绿灯；
C. 6本书分放在5个抽屉，至少一个抽屉内有2本书．
D. 在平面内，度量一个三角形的内角度数，内角和为360°
【答案】C
【解析】
【分析】必然事件就是一定发生的事件，根据定义判断即可．
【详解】A选项，抛一枚硬币反面朝上，是随机事件，不符合题意；
B选项，早上出门，在第一个路口遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
C选项，6本书分放在5个抽屉，至少一个抽屉内有2本书，是必然事件，符合题意；
D选项，在平面内，度量一个三角形的内角度数，其和为180°，不可能是360°，是不可能事件，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了必然事件、随机事件、不可能事件的概念，掌握概念正确判断是解题的关键．
6. 乐乐家与学校相距1000米，某天乐乐上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是乐乐与家距离y（米）关于时间x（分钟）的函数图像，下列说法错误的是（ ）

A. 乐乐走了200米后返回家拿书B. 乐乐在家停留了3分钟
C. 乐乐以每分钟200米的速度加速赶到学校D. 乐乐在第10分钟的时候赶到学校
【答案】B
【解析】
【分析】从图像可以知道，2分钟时乐乐返回家，在家一段时间后，5分钟又开始回学校，10分钟到达学校．
【详解】解：A、乐乐走了200米后返回家拿书，正确，不合题意；
B、乐乐在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意；
C、乐乐以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意；
D、乐乐在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了函数图像，正确认识图像是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 直线的截距是____________．
【答案】-1
【解析】
【分析】根据截距的定义：直线y=kx+b中，b就是截距，即可得到答案．
【详解】解：令x=0，得y=-1，
∴直线y=2x-1的截距是-1，
故答案为：-1．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数性质，熟记截距的定义是解题的关键．
8. 方程的解是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式的性质以及立方根的意义求解即可．
【详解】移项，得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了立方根和等式的基本性质，熟练掌握立方根的意义是解决问题的前提．
9. 方程的根是 ．
【答案】
【解析】
【分析】方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x的值，然后代入原方程进行检验即可．
【详解】方程两边同时平方得：x+1=4，
解得：x=3．
检验：x=3时，左边==2，则左边=右边．
故x=3是方程的解．
故答案是：x=3．
10. 关于的方程：的根为___________．
【答案】
【解析】
【分析】利用直接开平方法解得即可．
【详解】解：
∴．
∴．
故填：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握直接开平方法是解此题的关键．
11. 已知一个多边形的内角和等于，则这个多边形的边数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据多边形的内角和计算公式作答．
【详解】解：设这个多边形边数为，
依题意，得：，
解得：，
∴这个多边形的边数是7．
故答案为：．
【点睛】本题考查根据多边形内角和计算公式求多边形的边数，边形的内角和为（且为整数）．会根据公式进行正确运算、变形和数据处理是解题的关键．
12. 布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球，这些球除颜色外其余都相同，那么从这个布袋里摸出一个黑球的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】由于每个球被摸到的机会是均等的，故可用概率公式解答．
【详解】解：∵布袋里装有3个红球、5个黄球、6个黑球，
∴P（摸到黑球）=．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了概率公式，如果在全部可能出现的基本事件范围内构成事件A的基本事件有a个，不构成事件A的事件有b个，则出现事件A的概率为： ．
13. 平行于直线，且与轴交于点的直线表达式是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据两平行直线表达式的相等，以及与轴交点纵坐标等于表达式中的，即可写出直线表达式．
【详解】平行于直线，
，
与轴交于点，
，
直线表达式是，
故答案为：
【点睛】本题考查了两平行直线表达式的关系，以及轴交点与表达式中的的关系，理解掌握关系写出表达式是解题的关键．
14. 如图：点在直线上，则不等式关于的解集是______．

【答案】
【解析】
【分析】由图象即可知不等式的解集．
【详解】由图象可知：当时，直线的图象在直线的上方，
当时，不等式，
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合的思想通过一次函数的图象解一元一次不等式是解题的关键．
15. 在四边形ABCD中，已知∠A+∠B=180°，要使四边形ABCD是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是______．（只需填写一种情况）
【答案】AB∥CD
【解析】
【详解】由条件∠A+∠B=180°可推出AD∥BC，再加上条件AB∥CD，可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形ABCD是平行四边形．
16. 菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是________．
【答案】24
【解析】
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是4，根据勾股定理，得要求的对角线的一半是3，则另一条对角线的长是6，进而根据菱形面积公式即可得出结论．
【详解】解：根据题意，画出图形如下：
在菱形ABCD中，AB＝5，BD＝8，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB＝90°，BO＝4，
在Rt△AOB中，，
∴AC＝2AO＝6，
∴则此菱形面积是：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平分，熟练运用勾股定理求线段长，并熟记用对角线求菱形的面积公式是解决问题的关键．
17. 如图，在梯形中，，，，，，那么梯形的周长为______cm．

【答案】36
【解析】
【分析】延长射线，过点作交于，推理证明四边形是平行四边形、，再计算长度，即可计算梯形的周长．
【详解】如下图，延长射线，过点作交于，

，，
，，
四边形是平行四边形，
，（平行四边形对边相等），
又，
，
，
，
梯形的周长
故答案为：36
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行四边形的判定和性质、图形周长计算，掌握平行线的性质、平行四边形的判定和性质是解题的关键．
18. 已知：如图，在矩形中，．点P是边上一点，且．连接，将四边形沿所在直线翻折，点A、B的对应点分别为点E、F，边与边的交点为点G．则______；

【答案】
【解析】
【分析】设,则，在RT△DGC中，CG=a,DG=3-a,CD=2，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：由题意得：四边形与四边形全等．
∴．,
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设,则，
则在中，，且，
∴，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
三、简答题：（本大题共4题，每题6分，满分24分）
【将下列各题的解答过程，做在答题纸上】
19. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】先移项将原方程进行变形，再等式两边平方得到，然后整理解一元二次方程即可解答．
【详解】解：移项：，
两边平方：，
整理得：，解得：．
经检验：是原方程的根，是增根，舍去．
所以，原方程的根是．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，将原方程化成一元二次方程是解答本题的关键．
20. 解方程组：
【答案】，
【解析】
【分析】先将第①个方程变形为，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．
【详解】解：由方程①得则：或
原方程组可化为或
解这两个二元一次方程组，得，．
所以，原方程组的解为，．
【点睛】本题主要考查的是高次方程、因式分解的应用、解二元一次方程组等知识点，通过分解、把高次方程降次，得到二元一次方程组是解答本题的关键．
21. 如图，已知在平行四边形中，点E、F分别在边上，且，，连接．

（1）写出与相等的向量______；
（2）填空_____；
（3）求作：．（保留作图痕迹，不要求写作法，请说明哪个向量是所求作的向量）
【答案】（1）
（2）或
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后求出，再根据向量的定义即可解答；
（2）求出，连接，根据向量的三角形法则可得，再根据，再利用三角形法则求解即可；
（3）过点A作，取，根据向量的三角形法则求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴与相等向量是．
故答案为．
【小问2详解】
解：如图，连接AF，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵
∴或．
故答案为：或．
【小问3详解】
解：如图：即为所求作．
【点睛】本题主要考查了平面向量、平行四边形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形法则与三角形法则是解题的关键．
22. 如图，甲、乙两人到距离A地35千米的B地办事，甲步行先走，乙骑车后走，两人行进的路程和时间的关系如图所示，根据图示提供的信息解答：
（1）乙比甲晚 小时出发；乙出发 小时后追上甲；
（2）求乙比甲早几小时到达B地？
【答案】（1）2； 2； （2）乙比甲早1.5小时到达B地
【解析】
【详解】分析：（1）结合图象，即可得出答案；
（2）分别求出、甲乙函数解析式，再令S＝35即可求出甲、乙分别到达B地的时间，作差即可得出答案.
详解：（1）由图象可知，乙比甲晚2小时出发；乙出发2小时后追上甲；
故答案为2； 2；
（2）甲的路程与时间的函数解析式为 S=5t，
当S=35时，t=7，
设乙的路程与时间的函数解析式为 S=kt+b，
根据题意，得，
解得，
∴乙的路程与时间的函数解析式为S=10t-20，
当S=35时，t=5.5，
∴7-5.5=1.5，
答：乙比甲早1.5小时到达B地．
点睛：本题是一道一次函数图象问题.结合图象中的信息来分析路程与时间的关系是解题的关键.
四、解答题（本大题共2题，每题8分，满分16分）
23. 松江区于4月22日，举办“”上海佘山半程马拉松比赛．主办方打算为参赛选手定制一批护膝，并交由A厂家完成．已知A厂家要在规定的天数内生产3600对护膝，但由于参赛选手临时增加，不但要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成．经预测，要完成新计划，平均每天的生产总量要比原计划多20对．求原计划每天生产多少对护膝．
【答案】原计划每天生产护膝100对
【解析】
【分析】设原计划每天生产的护膝x对，则实际每天护膝对．根据等量关系“要求A厂家在原计划基础上增加10%的总量，而且还要比原计划提前3天完成”列分式方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天生产的护膝x对，则实际每天护膝对．
根据题意，可列方程．
两边同时乘以，再整理，得．
解得．
经检验，．都是原方程的解，但护膝得对数不能为负数，所以取．
答：原计划每天生产护膝100对．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程和检验是解答本题的关键．
24. 已知：如图，是等边三角形，点D在边上，且是等边三角形，边与交于点O．过点E作，分别与线段相交于点F、G、H，联结．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接，如果，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，，然后证明出，进而得到，结合即可证明出四边形是平行四边形；
（2）连接，根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证明即可．
【小问1详解】
∵是等边三角形，
∴．
同理可知，．
∴．
∴．
∴．
∴在和中，
∴
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
【小问2详解】
如图所示，

∵，
∴．
又∵是等边三角形，
∴
∴
∵
∴．
∵四边形是平行四边形
∴
∴
∴
∴
又∵是等边三角形
∴
∴
∴．
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形DGEC是菱形．
【点睛】此题考查了平行四边形和菱形的判定，等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
五、解答题（本大题共2题，第25题8分，第26题10分，满分18分）．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴、y轴分别相交于点A、B，直线DE与x轴交于点，与直线相交于点E，点E在第二象限，已知的面积为18

（1）求直线的表达式；
（2）点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，如果以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点P、Q的坐标．
【答案】（1）
（2）或，
【解析】
【分析】（1）把点代入可得直线的表达式，可得B点坐标，根据的面积为18可求出E点坐标，根据D，E坐标即可求出直线的表达式；
（2）根据点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，设出P，Q点坐标，根据以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，进行分类讨论，分为两类：①当且时，轴，求出P点坐标，根据求出Q点坐标；②当且时，轴，求出P点坐标，根据求出Q点坐标即可解答；
【小问1详解】
把点代入得，
解得 ，
∴直线的表达式为：，
，
，，
设，
，解得，点，
设直线的表达式为，
把代入上式得解得，
∴直线的表达式为；
【小问2详解】
点P是直线上一点，点Q是y轴上一点，P是直线上一点，
设 ， ，
∴直线的表达式为：，
，
以B、C、P、Q为顶点的四边形是等腰梯形，
①当且时，轴，
P 点纵坐标为1，
代入直线的表达式得，
，
，
，
；
②当且时，轴，
P点横坐标为1，
代入直线的表达式得，
，
，
，
，
；
综上所述或，．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像上点的特征，一次函数解析式求解以及一次函数与等腰梯形相结合的存在性问题，该题解题的关键是根据等腰梯形腰相等以及上下两底互相平行的性质结合图像进行分类讨论并合理转化．
26. 正方形中，边长为，点在对角线上，连接，过点作，交直线于点．

（1）如图，当点在边上时，求证：；
（2）当点在的延长线上时，设，面积为，求关于的解析式，并写出定义域；
（3）若，求BM的长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）过点作于点，于点，通过正方形性质可得，通过证明，可得出最后结论；
（2）过点作于点，交于点，可证得四边形为矩形，通过矩形性质可得，在中，，由勾股定理可得，可得出，进一步证明，所以，，可求出；
（3）当点在边上时，连接，交于，过作于，由正方形性质得到，由等腰三角形的性质可求得，由三角形面积关系得到，可证明，所以，当点在的延长线上时，同理可得．
【小问1详解】
过点作于点，于点，

，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
过点作于点，交于点．

，
在正方形中，，，
四边形为矩形，
，，，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，
，
，
；
【小问3详解】
当点在边上时，连接，交于，过作于，

在正方形中，，，
，
在中，，则，
，，且，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
当点在的延长线上时，同理可得．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形判定与性质，勾股定理，三角形面积等知识，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键．